相場法模擬中取向與熱擴散參數對Ni-Sn合金枝晶形貌的影響

摘 要：利用相場模型與溫度場進行耦合的控制方程來模擬Ni-Sn二元合金凝固過程中的枝晶生長情況。依據熱力學定律、自由能泛函與熵泛函原理，建立Ni-Sn合金相場和溫度場耦合的模型。用相場法模擬合金在非均勻溫度下枝晶生長過程和枝晶生長形貌的情況。對形成的圖像進行對比，研究各向異性強度參數與熱擴散參數對枝晶生長形貌和生長速度的影響。模擬研究表明：在非均勻溫度場下，當各向異性強度參數增大時，枝晶的生長速度會隨之增大，并且二次支臂的生長數量也會增加。此外，當熱擴散參數增大時，枝晶的生長速度會隨之減小，枝晶主干變細，并且二次支臂的生長數量會有明顯減少。

關 鍵 詞：相場法; 枝晶生長; 數值模擬; Ni-Sn合金

中圖分類號：TG113 文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2023.02.006

Effects of orientation and thermal diffusion parameters on dendrite morphology of Ni-Sn alloy in phase field simulation

GAO Ming， JIAO Yiwei

（College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：The phase field model coupled with the temperature field is used to simulate the dendrite growth of Ni-Sn binary alloy during solidification. Based on the thermodynamic law， free energy functional and entropy functional， the coupling model of Ni-Sn alloy phase field and temperature field is established. The phase field method is used to simulate the dendrite growth process and morphology of the alloy at non-uniform temperature. The images are compared to study the effects of anisotropic strength parameters and thermal diffusion parameters on dendrite growth morphology and growth rate. The simulation results show that the growth rate of dendrites and the number of secondary arms will increase with the increase of anisotropic strength coefficient in the non-uniform temperature field. In addition， when the thermal diffusion coefficient increases， the growth rate of dendrites will decrease， the main dendrite will become thinner， and the number of secondary arms will be significantly reduced.

Key words：phase-field method; dendrite growth; numerical simulation; Ni-Sn alloy

材料的力學性能與其微觀組織密切相關，枝晶是最常見的微觀結構組織，所以它的形貌對材料的宏觀特性有著至關重要的作用^［1］。金屬凝固過程中由于傳熱和動量傳輸的復雜性，需要控制大量參數和復雜條件。一般說來，枝晶的尺度大多在微米級，通過實驗手段對其凝固過程中的生長進行研究較為困難，而采用相場法能夠實現枝晶生長過程微觀與宏觀的統一^［2-3］。由于相場法能夠引入序參量，這就可以避免追蹤固液界面，使模擬效果更接近真實情況^［4］。

相場法基于統計物理學，以Ginzburg-Landau 相變理論為基礎，使用微分方程來表示復雜的擴散效應、有序化勢和熱力學驅動力^［5］。引入相場變量φ描述固相與液相界面上的狀態，并確定相場變量φ的控制方程與溫度場的控制方程，從而更好地反映出金屬凝固的真實情況^［6-7］。

本文采用相場與溫度場耦合的方法，模擬了Ni-Sn二元合金枝晶生長過程，研究了各向異性強度參數和熱擴散參數對枝晶生長的影響，并且分析了各參數對二元合金枝晶生長形貌及速度的影響，為合理選擇控制參數提供了理論支持^［8］。

1 Ni-Sn二元合金相場模型

1.1 相場控制方程

基于熱力學一致性，推導相場控制方程的過程可分為2種，一種為自由能泛函推導，另一種為熵泛函推導。本文以熵泛函理論為基礎，結合熱力學第二定律，假設系統密度均勻，液相無對流，并且在絕熱的前提下推導相場方程^［9-10］，過程如下：

其中：φ為相場參量;M_φ為相場參數;T為無量綱溫度;ε為界面厚度有關的參數;上標A，B分別表示合金中組分Ni和Sn;c為合金中Ni的組分;δ為各向異性強度參數;j為各向異性強度參數的模數。

1.2 溫度場控制方程

其中：κ為無量綱熱擴散參數，與潛熱成正比;D_T為合金的熱擴散參數;C_P為合金的比熱容;L^A，L^B分別為合金中的組分Ni，Sn金屬的熔化潛熱;c為合金中Ni的組分。

2 數值模擬

本文采用有限差分法，把模擬區域分成300×300網格，設初始晶核半徑為r，并且使其位于計算區域中心，并設置如下條件^［12］：

在網格邊界區域，選擇Zero-Neumann邊界條件^［13-14］。Ni-Sn合金的物性參數^［15］見表 1。

3 模擬結果與分析

3.1 各向異性強度參數對枝晶生長的影響

3.1.1 各向異性強度參數對枝晶形貌的影響

模擬時，只改變各向異性強度參數δ，即δ=0.005，δ=0.007和δ=0.009，并且選擇了3個不同的時間步長進行計算，計算結果繪制為3組圖片（圖1）。其中，a，b，c對應著時間步長n=1000，n=2000，n=3000;1，2，3則分別對應每個時間步長下，各向異性強度參數δ分別為0.005，0.007和0.009時的枝晶形貌。

從圖1可以看出，當各向異性強度參數值為0.005時，晶粒主要沿著主軸方向生長，沒有體現某一方向上的生長優勢，二次支臂生長也不明顯;當各向異性強度參數值為0.007時，隨著各向異性強度增強，晶粒在主軸方向的支臂變得發達且細長，同時也能發現有二次支臂的生長;當各向異性強度參數值為0.009時，可以看出較為明顯的二次支臂生長，其數量也有增加，這說明各向異性強度參數的增大會導致固相與液相接觸面的不穩定擾動出現。圖1從縱向對比，可以發現時間步長對枝晶生長的影響。當各向異性強度參數相同時，時間步長的增加會使主干支臂長度和二次支臂的數量都有所增加。

3.1.2 各向異性強度參數對枝晶尖端生長速度的影響

由圖1可知，相同時間步長下枝晶尖端的生長速度也并不相同。為了探究枝晶尖端生長速度與各向異性強度參數之間的關系，繪制了不同各向異性強度參數下主干支臂長度隨著時間步長的變化曲線圖，如圖2所示。從圖2可以看出，當各向異性強度參數從0.005增加到0.009時，支臂長度的直線斜率會隨之變大。這說明隨著各向異性強度參數的增加，枝晶尖端的半徑變小，加快了枝晶生長速度。

3.2 熱擴散參數對枝晶生長的影響

3.2.1 熱擴散參數對枝晶形貌的影響

為了探究熱擴散參數與凝固過程中枝晶形貌之間的關系，選擇3個熱擴散參數分別為κ=1.4， κ=1.6， κ=1.8下的3個時間步長的模擬數據，并繪制了3組圖片（圖3）。其中，a， b， c對應著時間步長n=1000， n=2000， n=3000;1， 2， 3則分別對應每個時間步長下，熱擴散參數κ分別為1.4， 1.6和1.8時的枝晶形貌。

從圖3的橫向對比可以看出，隨著熱擴散參數的增加，枝晶的主干支臂會變小，同時也會抑制二次支臂的生長。這是因為固液界面的前沿部分集中了大量的枝晶生長時釋放的潛熱，隨著熱擴散參數的增加，凝固潛熱釋放也會變快，導致枝晶的主干變得越來越光滑，二次支臂生長也不明顯。從圖3的縱向對比也可以看出時間步長對枝晶生長的影響。隨著時間步長的增加，枝晶主干支臂長度也會隨之減小，二次支臂的數量和長度也會減小。

3.2.2 熱擴散參數對枝晶尖端生長速度的影響

圖4為不同熱擴散參數下枝晶主干支臂長度隨著時間步長的變化曲線圖。從圖4可以看出，隨著熱擴散參數的增加，枝晶主干支臂長度隨之減少，導致枝晶尖端生長速度變慢。這是由于凝固潛熱的釋放速度會隨熱擴散參數增加而變快，導致溫度梯度變大，使枝晶尖端生長速度減慢。

4 結 論

通過對得到的模擬結果進行對比分析，可以得出以下結論：

1） 各向異性強度參數增大會導致枝晶的尖端生長速度變快，二次支臂更容易出現，其數量也會增加。各向異性強度參數相同時，運行的時間步長越多，枝晶的主干支臂生長越發達。

2） 熱擴散參數增大會導致枝晶的尖端生長速度變慢。當熱擴散參數相同時，運行的時間步長越多，枝晶的生長形貌越顯著。

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