林德勒加速度對修正史瓦西黑洞引力勢及光的軌跡的影響

摘 要：主要研究林德勒加速度對修正史瓦西黑洞周圍引力勢變化及光的軌跡的影響。引入拉格朗日方程，得到修正史瓦西黑洞周圍引力勢變化和光在赤道平面內的偏折規律。在黑洞附近，由于勢壘的存在，一部分光在到達黑洞時發生反射;而光子球附近的光將圍繞黑洞旋轉很多次，然后逃逸到無窮遠處，使得黑洞周圍產生更大的亮度，這也是黑洞周圍“光環”形成的原因;當碰撞參數增大時，勢壘逐漸變小，直至消失，這部分光由于沒有遇到勢壘，進入黑洞內部，形成黑洞內部“陰影”。此外，還討論了不同林德勒加速度對修正史瓦西黑洞事件視界半徑、光子球半徑及碰撞參數的影響，林德勒加速度越大，對應的事件視界半徑、光子球半徑和碰撞參數越小。

關 鍵 詞：林德勒加速度; 引力勢; 事件視界; 碰撞參數

中圖分類號：140.1540 文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2023.02.013

Effect of the Rindler acceleration on the gravitation potential and the trajectory the light around a modified Schwarzschild black hole

LI Huiling， HUANG Yumeng， LI Yao

（College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：In this paper， we mainly study the influence of Lindler acceleration on the gravitational potential change and the trajectory of the light around the modified Schwarzschild black hole. By introducing the Lagrange equation， we obtain the gravitational potential change around the modified Schwarzschild black hole and the deflection law of the light around the modified Schwarzschild black hole in the equatorial plane. Due to the existence of the potential barrier， part of the light near the black hole is reflected when it reaches the black hole. The light near the photon sphere will rotate around the black hole many times， and then escape to infinity， resulting in greater brightness around the black hole， which is also the reason for the formation of the photon ring around the black hole. When the collision parameter increases， the barrier gradually becomes smaller until it disappears. This part of the light enters the black hole， because it does not encounter the barrier， forming the shadow inside the black hole. In addition， we also discuss the influence of different Lindler accelerations on the corrected Schwarzschild black hole event horizon radius， photon sphere radius and impact parameter. The larger the Lindler acceleration value is， the smaller the corresponding event horizon radius， photon sphere radius and impact parameter are.

Key words：Rindler acceleration; gravitation potential; event horizon; impact parameter

關于黑洞的討論由來已久，尤其是在2019年，事件視界望遠鏡合作組織發布第一張黑洞圖像^［1］，由此關于黑洞圖像的相關研究引起人們廣泛關注。Gralla等^［2］研究了史瓦西黑洞附近光的陰影，由于引力勢的存在，使光發生偏轉，導致了黑洞附近出現光環。在四維高斯-博納特黑洞附近的引力勢的研究中發現，不同的耦合常數也將影響引力勢變化^［3］。暗物質對黑洞附近引力勢大小也有影響，由于宇宙視界的存在，不同參數會導致引力勢變化，進而影響黑洞附近光的偏折^［4］。Hu和Zhang^［5］研究了非奇異Hayward黑洞的引力勢及光子運動軌道。Pedraza等^［6］利用基塞列夫得到的解研究了被quintessence暗能量包圍的Hayward黑洞，通過分析Hayward黑洞的零測地線和引力勢，得到Hayward黑洞的不同能級對應的軌道類型。Guerrero等^［7］分析了具有薄盤吸積的black bounces的測地線方程，并且得到了有效勢變化。Guo等^［8］得到了Kerr時空中引力勢方程，并分析了光子運動軌跡。更多關于引力勢的討論在文獻［9-11］中也有研究。本文考慮的林德勒修正的史瓦西黑洞^［12］最初是由Grumiller提出的，以解釋恒定的徑向力^［13］。Halilaoy等^［14］研究了具有林德勒修正的史瓦西黑洞的測地線。關于林德勒加速度如何影響Grumiller黑洞光譜學的研究在文獻［15］中做了詳細討論，更多關于林德勒加速度對黑洞的影響也已經得到了深入的研究^［16-21］。

在本文中，主要考慮了林德勒加速度對黑洞周圍引力勢及光的軌跡的影響。對于不同的參數，黑洞勢壘發生改變，進而影響黑洞周圍光的偏折軌跡，對黑洞周圍光環亮度產生影響。

1 林德勒修正的史瓦西黑洞度規和事件視界

格魯米勒構建了一個星系外中心物體引力的有效模型，稱為林德勒修正的史瓦西黑洞幾何。黑洞時空中的林德勒項導致測試粒子測地線的加速度異常。林德勒修正的史瓦西黑洞是由下列作用量所描述的一般有效引力理論的解^［17］：

這里：g是度規張量的行列式;Φ表示標量場;Λ是宇宙常數;R是里奇標量;a代表林德勒加速度。將變分原理應用于作用量并求解相應的場方程后，可以得到以下模擬紅外引力的球對稱度規：

其中

這里M是黑洞質量。當a=Λ=0時，將回到史瓦西黑洞。此外，如果M=Λ=0，將變成二維林德勒度規。由于本文的討論不包含Λ，故取Λ=0。式（3）可以改寫為

解方程f（r）=0，可以得到事件視界：

2 林德勒修正的史瓦西黑洞附近的引力勢及光的偏折規律

首先引入拉格朗日方程：

這里λ 是仿射參量，μ是四速度，L是角動量，其形式如下：

一般來說，關注的是赤道平面內的光的偏折，即θ=π/2和=0。考慮到拉格朗日方程中不包含t和ψ，即

它們對應著守恒量E和L，即全部的能量和全部的角動量。結合式（4）、式（6）和式（7），可以得到時間、方位角和四速度下的徑向分量的表達式：

其中方程（11）的“-”號和“+”號分別表示為方位角沿著順時針和逆時針方向，而參數b滿足b=LE。通過改寫方程（12）可以得到

這里V′（r）表示對r求導，基于方程（13）和（14），能得到光子球的半徑r_ph和碰撞參數b_ph。不同的a對應不同的r+，r_ph和b_ph，結果見表1。顯然，r+，r_ph和b_ph都隨著a的增大而減小。

圖1分別表示出了a=0.001和a=0.02時的有效勢。可以看出，在事件視界處有效勢消失，而在光子球處，有效勢達到最大值，隨后又隨著r的增大而減小。當光沿著徑向移動的時候，有效勢將影響它的運動軌跡。在區域1，光線遇到勢壘后向外輻射;在區域2，光漸進地接近光子球，由于角速度是非零的，光將繞著黑洞旋轉很多次;在區域3，光將繼續向內移動，并且沒有遇見勢壘，最后進入黑洞內部。

基于運動方程，結合式（11），光的運動軌跡可以表示為

把u=1/r帶入式（15），可以得到

解式（16），可以得到光的軌跡，即圖2。光從右側進入黑洞，在區域1（blt;b_p），光由于沒有遇到勢壘而進入到黑洞內部;在區域2（b=b_p），光圍繞黑洞旋轉很多次;在區域3（bgt;b_p），由于勢壘作用，光軌跡發生偏折，不能進入黑洞。這與圖1相對應。

3 結 論

本文討論了林德勒加速度對修正史瓦西黑洞周圍引力勢及光的軌跡的影響。黑洞附近的光在引力的作用下會偏轉，黑洞周圍出現不同的亮度。由于勢壘的存在，一些光被反射。光子球附近的光圍繞黑洞旋轉無數次，從而產生更大的亮度。當b小于b_p時，勢壘不再阻礙光的運動，光進入黑洞內部。通過計算，得到了不同林德勒加速度對應的事件視界半徑、光子環半徑和碰撞參數的大小。顯然，隨著林德勒加速度的增加，事件視界半徑、光子環半徑和碰撞參數都在減小，這改變了觀測者與事件視界之間的距離，并影響了觀測圖像。

本文只討論了修正常數對黑洞引力勢及光的軌跡的影響，有關黑洞周圍陰影及光子環的其他問題，在本文并沒有討論。在未來的工作中，也可以進一步計算黑洞周圍光子環和陰影的變化。

參考文獻：

［1］AKIYAMA K，ALBERDI A，ALEF W，et al. First M87 event horizon telescope results. Ⅳ. Imaging the central supermassive black hole［J］. Astrophys J Lett， 2019，875（1）：L4.

［2］GRALLA S E，HOLZ D E，WALD R M. Black hole shadows， photon rings， and lensing rings［J］. Phys Rev D， 2019，100（2）：024018.

［3］ZENG X X，ZHANG H Q，ZHANG H. Shadows and photon spheres with spherical accretions in the four-dimensional Gauss-Bonnet black hole［J］. Eur Phys J C， 2020，80（9）：872.

［4］ZENG X X，ZHANG H Q. Influence of quintessence dark energy on the shadow of black hole［J］. Eur Phys J C， 2020，80（11）：1058.

［5］HU J P，ZHANG Y. Orbital motion of test particles in regular Hayward black hole space-time［J］. Can J Phys， 2019，97（1）：58-62.

［6］PEDRAZA O，L?PEZ L A，ARCEO R，et al. Geodesics of Hayward black hole surrounded by quintessence［J］. Gen Rel Grav， 2021，53：24.

［7］GUERRERO M，OLMO G J，RUBIERA-GARCIA D，et al. Shadows and optical appearance of black bounces illuminated by a thin accretion disk［J］. JCAP， 2021，2021（8）：36.

［8］GUO H，LIU Y，ZHANG C，et al. Detection of scalar fields by extreme mass ratio inspirals with a Kerr black hole［J］. Phys Rev D， 2022，106（2）：024047.

［9］WANG M Z，CHEN S B，JING J L. Chaotic shadows of black holes： A short review［J］. Commun Theor Phys， 2022，74：097401.

［10］GUO S，HE K J，LI G R，et al. The shadow and photon sphere of the charged black hole in Rastall gravity［J］. Class Quantum Grav， 2021，38（16）：165013.

［11］UNIYAL A，PANTIG R C，?VGüN A. Probing a non-linear electrodynamics black hole with thin accretion disk， shadow， and deflection angle with M87* and Sgr A* from EHT［J］. Phys Dark Universe， 2023，40：101178.

［12］GRUMILLER D. Model for gravity at large distances［J］. Phys Rev Lett， 2010，105（21）：211303.

［13］GRUMILLER D，PREIS F. Rindler force at large distances［J］. Int J Mod Phys D， 2011，20（14）：1102058.

［14］HALILSOY M，GURTUG O，MAZHARIMOUSAVI S. Rindler modified Schwarzschild geodesics［J］. Gen Rel Grav， 2013，45（11）：2363-2381.

［15］SAKALI I，MIREKHTIARY S. Spectroscopy of Rindler modified Schwarzschild black hole［J］. Astrophys Space Sci， 2014，350（2）：727-731.

［16］BAGCHI A，BANNERJEE A，CHAKRABORTTY S. Rindler physics on the string worldsheet［J］. Phys Rev Lett， 2021，126（3）：031601.

［17］BOULWARE D G. Quantum field theory in Schwarzschild and Rindler spaces［J］. Phys Rev D， 1975，11（6）：1404.

［18］MIREKHTIARY S，SAKALLI I，BASHIRY V. Fermion tunneling， instability， and first law of Rindler modified Schwarzschild black hole as a thermodynamic system［J］. Can J Phys， 2021，99（2）：118-124.

［19］SAKALLI I，OVGUN A. Hawking radiation and deflection of light from Rindler modified Schwarzschild black hole［J］. EPL-Europhys Lett， 2017，118（6）：60006.

［20］UMAR FAROOQ M，NASEEM A. Spherical accretion flows onto modified Schwarzschild black hole［J］. Astrophys Space Sci， 2019，364（10）：166.

［21］FROLOV V，NOVIKOV I，ISENBERG J. Black hole physics： Basic concepts and new developments［J］. Phys Today， 2000，53（7）：56-58.