隨機變量及其分布單元測試卷（B卷）

■河南省臨潁縣南街高級中學 趙先舉

一、選擇題(本題共12 小題,每小題5分,共計60 分。在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求。)

1.在一次面試中,面試官從提前準備好的10道題目中抽出3道題讓考生回答,若考生小張能回答其中6 道,則小張面試時恰好能正確回答2道題的概率為( )。

2.已知隨機變量ξ～N(μ,σ2),若函數f(x)=P(x≤ξ≤x+3)的圖像關于y軸對稱,則μ=( )。

3.在一次課堂上,老師計劃在班內隨機選取一名學生回答問題,已知該班共有50人,其中女生20人,在女生中有6人住在306宿舍,則在回答問題的學生為女生的條件下,該學生來自306宿舍的概率為( )。

4.小趙在駕校一次通過科目二考試的概率是未通過的5 倍,令隨機變量X=則P(X=0)=( )。

5.隨機變量X的分布列如表1所示,若a,b,c成等差數列,且

表1

則P(X≥4)=( )。

6.甲、乙兩人進行羽毛球比賽,比賽采取5局3勝制,無論哪一方先勝3 局比賽都結束,假定甲每局比賽獲勝的概率均為,則甲以3∶1比分獲勝的概率為( )。

7.已知隨機變量X的分布列如表2所示。

表2

設Y=2X+3,則D(Y)等于( )。

8.設X是一個離散型隨機變量,則下列不能成為X的概率分布列的一組數據是( )。

9.為喜迎“改革開放45周年”,某中學將于2023年5 月10 日在全校舉行“改革開放知識”競賽。在本次競賽中共有40 道選擇題,每道選擇題都有4個選項,其中有且只有一個選項是正確的。評分標準規定:每題只選一個選項,答對得5分;不答或答錯倒扣2分。某學生每道題答對的概率都為,則該學生在本次競賽時得分的均值為( )。

A.96 B.132 C.172 D.186

10.某無人機配件廠商從其所生產的某種無人機配件中隨機抽取了一部分進行質量檢測,其某項質量測試指標值X服從正態分布N(18,4),且X落在區間[20,22]內的無人機配件個數為2 718,則可估計所抽取的這批無人機配件中質量指標值X低于14的個數大約為( )。

附:若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3。

A.228 B.455 C.27 D.40

11.若隨機變量ξ～N(0,1),φ(x)=P(ξ≤x),其中x＞0,則下列等式成立的有( )。

①φ(-x)=1-φ(x);

②φ(2x)=2φ(x);

③P(|ξ|≤x)=2φ(x)-1;

④P(|ξ|＞x)=2-φ(x)。

A.①② B.②③

C.①③D.②④

12.多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求。全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分。若選項中有i(其中i=2,3,4)個選項符合題目要求,隨機解答該題時(至少選擇一個選項)所得的分數為隨機變量ξi(其中i=2,3,4),則有( )。

A.E(ξ2)+2E(ξ4)＜3E(ξ3)

B.E(ξ2)+2E(ξ4)＞3E(ξ3)

C.2E(ξ2)+E(ξ4)＜3E(ξ3)

D.2E(ξ2)+E(ξ4)＞3E(ξ3)

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共計20分。)

14.已知隨機變量X～N(2,σ2),如圖1 所示,若P(X＜a)=0.32,則P(a≤X≤4-a)=____。

圖1

15.如圖2,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割成125個同樣大小的小正方體。經過攪拌后,從中隨機取出一個小正方體,記它的涂油漆面數為X,則X的均值為_____。

圖2

16.盒中有2 個白球,3 個黑球,從中任取3個球,以X表示取到白球的個數,η表示取到黑球的個數。給出下列各項:

說法正確的項有____。(填上所有正確項的序號)

三、解答題(本大題共6小題,第17題10分,其他題每題12分,共計70分。解答時應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。)

17.(本小題10 分)現有來自甲、乙兩班學生共7名,從中任選2名都是甲班的概率為

(1)求7名學生中甲班的學生數;

(2)設所選2 名學生中甲班的學生數為ξ,求ξ≥1的概率。

18.(本小題12分)為了了解疫情后夜市經濟推廣效果,某地對夜市消費情況進行了一次隨機調查,得到每次逛夜市的平均消費情況,如表3所示。

表3

(1)根據上表,估計男、女顧客每次平均消費大于50元的概率;

(2)若在夜市上隨機選取一名男顧客和一名女顧客,記X為消費大于50元的人數,求X的分布列與數學期望。

19.(本小題12分)為做好黨的二十大宣講工作,某地從三所高校選取一部分大學生作為宣講志愿者。已知來自甲高校的學生有12名,其中女生8 名;來自乙高校的學生10名,其中女生4 名;來自丙高校的學生9 名,其中女生3名。

(1)若從參與宣講的學生中選取一人作為隊長,求在選取甲高校學生的條件下,該學生為女生的概率;

(2)若從某一高校參與宣講的同學中隨機選取2人在網上進行直播,求這2人恰好是一男一女的概率。

20.(本小題12 分)某 貧困地區扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求,帶領廣大農村地區人民群眾奔小康。經過奮力拼搏,新農村建設取得巨大進步,農民年收入也逐年增加,為了制定提升農民收入的工作計劃,該地扶貧辦統計了2020年50位農民的年收入并制成頻率分布直方圖(圖3)。

圖3

(1)根據頻率__分布直方圖,估計50 位農民的年平均收入(單位:千元)(同一組數據用該組數據區間的中點值表示)。

(2)由頻率分布直方圖,可以認為該地區農民收入X服從正_態分布N(μ,σ2),其中μ近似為年平均收入近似為樣本方差s2,經計算得s2=6.92,利用該正態分布,求:

①在扶貧攻堅工作中,若使該地區約有84.14%的農民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準,則最低年收入大約為多少千元?

②為了調研“精準扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了1 000位農民。若每位農民的年收入互相獨立,記這1 000位農民中的年收入高于12.14千元的人數為ξ,求E(ξ)。

P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。

21.(本小題12 分)某校在2023 年4 月舉行春季運動會,已知小趙同學在運動會定點投籃比賽項目中每次投籃命中的概率都為,且每次投籃是否命中相互獨立。

(1)求該同學在3 次投籃中至少命中2次的概率;

(2)若該同學在10次投籃中恰好命中k次(k=0,1,2,…,10)的概率為Pk,k為何值時,Pk值最大?

22.(本小題12分)一個袋中分別裝著20個標號為1的小球和10個標號為2的小球(所有小球除了標號,大小形狀完全相同)。若從袋中隨機取出一個小球,標號為1,則放回袋中;若標號為2,則不再放回,另補一個標號為1的小球放入袋中。在進行n次重復這樣的試驗后,記袋中所有小球標號之和為xn。

(1)求x2的分布列和數學期望。

(2)若xn的數學期望為E(xn)。

①求證:{E(xn)-30}為等比數列;

②求E(xn)。