條件概率與全概率公式考點突破

■河北省石家莊二中實驗學校 朱秀華

常言道:知己知彼,百戰百勝。條件概率與全概率公式是新教材新增內容,那么對于這個內容,考試中一般會出現哪些考點呢?

考點1：計算條件概率

例1(1)從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取2個數,事件A=“有一個數是奇數”,B=“另一個數也是奇數”,則P(B|A)=( )。

(2)一個盒子中有4 個白球,m個紅球,從中不放回地每次任取1個,連取2次,已知第二次取到紅球的條件下,第一次也取到紅球的概率為

分析：(1)根據條件概率的定義,可分別求解n(AB),n(A),即可用條件概率的公式運用個數之比求解;(2)根據條件概率的公式計算出結果。

解：(1)任取2 個數,則一奇一偶共有(種)取法,兩個都是奇數共有10(種)取法,所以事件A包含所取兩個數要么為一奇一偶,要么為兩個奇數,故n(A)=20+10=30。

(2)由題知,記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B。

解得m=6或m=0(舍去)。

方法技巧：

(1)條件概率P(B|A)中“|”后面就是條件;(2)若P(A)=0,表示條件A不可能發生,此時用條件概率公式計算P(B|A)就沒有意義了,所以條件概率計算必須在P(A)＞0的情況下進行。

考點2：條件概率的應用

例2(1)2022 年某地區空氣質量的記錄表明,空氣質量一天為優良的概率為0.8,連續兩天為優良的概率為0.6,若今天的空氣質量為優良,則明天空氣質量為優良的概率是( )。

A.0.48 B.0.6

C.0.75 D.0.8

(2)疫情的到來給我們生活學習等各方面帶來種種困難。當年為了順利迎接高考,某省制定了周密的畢業年級復學計劃。為了確保安全開學,全省組織畢業年級學生進行核酸檢測的篩查。學生先到醫務室進行咽拭子檢驗,檢驗呈陽性者需到防疫部門進一步檢測。已知隨機抽一人檢驗呈陽性的概率為0.2%,且每個人檢驗是否呈陽性相互獨立,若該疾病患病率為0.1%,且患病者檢驗呈陽性的概率為99%。若某人檢驗呈陽性,則他確實患病的概率( )。

A.0.99% B.99%

以100 mL復原奶為準，在接種量0.1%，黃精浸提液0.5%，于42℃下發酵6 h，在每100 mL復原奶中分別添加蔗糖5%，6%，7%，8%，9%，按照1.3.1的工藝流程制造黃精酸奶，考查不同蔗糖添加量對黃精酸奶品質的影響，確定蔗糖的最佳添加量。

C.49.5% D.36.5%

分析：(1)設隨后一天的空氣質量為優良的概率是p,利用條件概率公式能求出結果;(2)利用條件概率可求某人檢驗呈陽性時他確實患病的概率。

解：(1)一天的空氣質量為優良的概率為0.8,連續兩天為優良的概率為0.6,設隨后一天空氣質量為優良的概率為p。若今天的空氣質量為優良,明天空氣質量為優良,則,選C。

(2)設A為“某人檢驗呈陽性”,B為“此人患病”,則“某人檢驗呈陽性時他確實患病”為B|A。

方法技巧：

(1)利用定義計算,先分別計算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=即可求解;

(2)借助古典概型計算概率的公式,先求事件A包含的基本事件數n(A),再在事件A發生的條件下求事件B包含的基本事件數n(AB),則

考點3：利用全概率公式求概率

例3(1)制造業直接體現了一個國家的生產力水平,中國制造業作為國家的支柱產業,一直保持較好的發展態勢。通過人口普查發現,A,B兩市從事制造業的人分別占全市人口的8%,12%,這兩市的人口數之比為6∶9?，F從這兩市隨機選取一個人,則此人恰好從事制造業的概率為____。

(2)已知某地市場上供應的燈泡中,甲廠產品占60%,乙廠產品占40%,甲廠產品的合格率是95%,乙廠產品的合格率是90%,則從該地市場上買到一個合格燈泡的概率是_____。

分析：(1)利用條件概率即可求得從這兩市隨機選取一個人,且此人恰好從事制造業的概率;(2)根據獨立事件和互斥事件概率計算方法計算。

(2)從某地市場上購買一個燈泡,設買到的燈泡是甲廠產品為事件A,買到的燈泡是乙廠產品為事件B,則由題意可知P(A)=60%,P(B)=40%。

從甲廠產品中購買一個,設買到的產品是合格品為事件C。

從乙廠產品中購買一個,設買到的產品是合格品為事件D。

則由題可知P(C)=95%,P(D)=90%。

由題可知A、B、C、D互相獨立,故從該地市場上買到一個合格燈泡的概率為:

P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=60%×95%+40%×90%=0.93。

方法技巧：

考點4：利用貝葉斯公式求概率

例4設甲、乙、丙三個地區爆發了某種流行病,三個地區感染此病的比例分別為?，F從這三個地區任抽取一個人。(1)求此人感染此病的概率(結果保留三位小數);

(2)若此人感染此病,求此人來自乙地區的概率(結果保留三位小數)。

分析：(1)由全概率公式求解;(2)由貝葉斯公式求解

解：(1)設事件Ai表示“來自第i個地區,i=1,2,3”;事件B表示“感染此病”。

(2)若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:①任意兩個事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;②A1+A2+…+An=Ω;③0＜P(Ai)＜1,i=1,2,…,n。則對Ω中的任意概率非零的事件B,都有B=BA1+BA2+… +BAn,且P(Aj|B)=