聚焦全概率公式及其應用

■江蘇省無錫市第六高級中學 陳 敏

■江蘇省無錫市青山高級中學 張啟兆

全概率公式已經納入了《普通高中數學課程標準》(2017年版、2020年修訂)中,全概率公式是人教社2017年A 版高中數學選擇性必修第三冊的內容,2019年全國Ⅰ卷理科第22題間接考查了全概率公式,同學們要重視對這個新增內容的理解與應用。

1.正確理解全概率公式

(1)全概率公式。

在全概率的實際問題中我們經常會碰到一些較為復雜的概率計算,這時,我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進行考慮。

一般地,設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪… ∪An=Ω,且P(Ai)＞0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,有

我們稱上面的公式為全概率公式,全概率公式是概率論中最基本的公式之一。

(2)貝葉斯公式。

在貝葉斯公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為先驗概率和后驗概率。

2.準確應用全概率公式

例1盒中有a個紅球,b個黑球,現在隨機地從中取出一個,觀察其顏色后放回,并加上c個同色球,再從盒中抽取1個球,則第二次抽出的是紅球的概率是( )。

分析：設“第一次抽出的是紅球”為事件A,“第二次抽出的是紅球”為事件B,則B=,再利用全概率公式求解。

解：設“第一次抽出的是紅球”為事件A,“第二次抽出的是紅球”為事件B,則B=

由全概率公式得P(B)=P(A)·

評注:全概率公式的使用要點:(1)如果所考慮問題的試驗分兩步,第一步試驗結果可確定為樣本空間的一個劃分,求與第二步試驗結果有關的事件的概率,此時可用全概率公式解決;(2)用全概率公式解題的關鍵是確定樣本空間的一個劃分,這可以從第一步試驗的結果確定。

例2(多選題)已知編號為1,2,3 的三個盒子,其中1號盒子內裝有兩個1號球,一個2號球和一個3號球;2號盒子內裝有兩個1號球,一個3號球;3號盒子內裝有三個1號球,兩個2號球。若第一次先從1號盒子內隨機抽取一個球,將取出的球放入與球同編號的盒子中,第二次從該盒子中任取一個球,則下列說法正確的是( )。

A.在第一次抽到2號球的條件下,第二次抽到1號球的概率為

C.如果第二次抽到的是1 號球,那么它來自2號盒子的概率最大

D.如果將5個不同的小球放入這三個盒子內,每個盒子至少放1個,那么不同的放法有300種

分析：計算條件概率判斷A;利用全概率公式計算判斷B;利用貝葉斯公式求解判斷C;求出不同元素的分組分配種數判斷D。

對于A,在第一次抽到2號球的條件下,把2號球放入2號盒子內,因此第二次抽到1號球的概率為正確。

第二次的球取自盒子的編號與第一次取的球的號數相同。

故選AB。

評注:全概率公式和貝葉斯公式使用時有區別,若隨機試驗可以分兩個階段進行,且第一階段的各試驗結果具體怎樣未知,那么(1)如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率,則用全概率公式;(2)如果第二個階段的某一個結果是已知的,要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率,一般用貝葉斯公式。

例3由于身體及心理方面的差異,人們往往認為女性駕駛員比男性駕駛員更容易發生交通事故。為調查女性駕駛員是否比男性駕駛員更容易發生交通事故,同學們組成了調查小組,對其所在城市進行了調查研究。結果卻顯示為:該市2022年男女駕駛員的比例為7∶3,男性駕駛員平均萬人的發案數為2.20,女性駕駛員平均萬人的發案數為0.25。(發案即發生了交通事故,暫不區分其是否為肇事責任人。)

(1)若在全市駕駛員中隨機抽取3人,則恰有1位女駕駛員的概率是多少?

(2)若該市一名駕駛員在2022年發生了交通事故,則其為女性的概率是多少? (結果保留到小數點后第三位)

分析：(1)設在全市駕駛員中隨機抽取3人,女駕駛員的人數為X,則X～B(3,0.3),再根據二項分布的概率公式求解即可。(2)設事件A為“駕駛員為女性”,事件B為“駕駛員發生的交通事故”,進而結合全概率公式和條件概率公式求解即可。

解：(1)因為該市2022 年男女駕駛員的比例為7:3,所以在全市駕駛員中隨機抽取1人是女駕駛員的概率為0.3。

設在全市駕駛員中隨機抽取3 人,女駕駛員的人數為X,所以X～B(3,0.3)。

恰有1位女駕駛員的概率是P(X=1)

(2)設事件A為“駕駛員為女性”,事件B為“駕駛員發生的交通事故”。

故該市一名駕駛員在2022 年發生了交通事故,則其為女性的概率是0.046。

評注:在運用全概率公式時,已知、未知條件為:(1)劃分后的每個小事件的概率,即P(Bi),i=1,2,…,n;(2)每個小事件發生的條件下,A發生的概率,即P(A|Bi),i=1,2,…,n;(3)求解目標是計算事件A發生的概率,即P(A)。

例4有甲、乙、丙三個廠家生產同種規格的產品,甲、乙、丙三個廠家生產的產品的合格率分別為0.95、0.90、0.80,已知甲、乙、丙三個廠家生產的產品數所占比例為2∶3∶5,將三個廠家生產的產品混放在一起,現從混合產品中任取1件。

(1)求這件產品為合格品的概率;

(2)已知取到的產品是合格品,問它是哪個廠家生產的可能性最大。

分析：(1)設事件A表示取到的產品為合格品,B1、B2、B3分別表示產品由甲、乙、丙廠生產,由題意可得出P(Bi)(i=1,2,3)以及P(A|Bi)(i=1,2,3)的值,再利用全概率公式可求得所求事件的概率;(2)計算出P(B1|A)、P(B2|A)、P(B3|A)的值,比較大小后可得出結論。

解：(1)設事件A表示取到的產品為合格品,B1、B2、B3分別表示產品由甲、乙、丙廠生產。

已知Ω=B1∪B2∪B3,且B1、B2、B3兩兩互斥,則P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8。

所以,P(B3|A)＞P(B2|A)＞P(B1|A),這件產品由丙廠生產的可能性最大。

評注:在運用貝葉斯公式時,一般已知、未知條件為:(1)事件B的多種情況中到底哪種情況發生了是未知的,但是每種情況發生的概率已知,即P(Bj),j=1,2,…,n;(2)事件A是已經發生的確定事實,且已知每種事件B發生條件下事件A發生的概率,即P(A|Bj),j=1,2,…,n;(3)P(A)未知,需要使用全概率公式計算得到。

練一練：

“青團”是江南人家在清明節吃的一道傳統點心,據考證“青團”之稱大約始于唐代,已有1 000多年的歷史。現有甲、乙兩個箱子裝有大小外觀均相同的“青團”,已知甲箱中有4個蛋黃餡的“青團”和3 個肉松餡的“青團”,乙箱中有3個蛋黃餡的“青團”和2個肉松餡的“青團”。

(1)若從甲箱中任取2個“青團”,求這2個“青團”餡不同的概率;

(2)若先從甲箱中任取2 個“青團”放入乙箱中,然后再從乙箱中任取1個“青團”,求取出的這個“青團”是肉松餡的概率。