隨機(jī)變量的概率及其分布創(chuàng)新題賞析

■江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

數(shù)學(xué)創(chuàng)新題日新月異,層出不窮。那么隨機(jī)變量及其分布創(chuàng)新題有哪些呢? 下面我們來(lái)賞析幾例!

一、數(shù)學(xué)文化類

例11654 年,法國(guó)貴族德·梅雷騎士偶遇數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡,在閑聊時(shí)梅雷談了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟納爾兩人進(jìn)行角力比賽,約定勝者可以喝杯酒,當(dāng)肖恩贏20局且尤瑟納爾贏得40局時(shí)他們發(fā)現(xiàn)桌子上還剩最后一杯酒。此時(shí)酒吧老板和伙計(jì)提議兩人中先勝四局的可以喝最后那杯酒,如果四局、五局、六局、七局后可以決出勝負(fù),那么分別由肖恩、尤瑟納爾、酒吧伙計(jì)和酒吧老板付費(fèi),梅雷由于接到命令需要覲見(jiàn)國(guó)王,沒(méi)有等到比賽結(jié)束就匆匆離開(kāi)了酒館。請(qǐng)利用數(shù)學(xué)知識(shí)做出合理假設(shè),猜測(cè)最后付酒資的最有可能是( )。

A.肖恩 B.尤瑟納爾

C.酒吧伙計(jì) D.酒吧老板

先勝四場(chǎng)比賽結(jié)束,就是比賽采用七局四勝制,設(shè)決出勝負(fù)的場(chǎng)數(shù)為X,于是得:

所以最后付酒資的最有可能是尤瑟納爾。選B。

點(diǎn)評(píng):本例的創(chuàng)新之處在于題目引入新穎的情況,以歷史故事作為題引,可謂引人入勝,考查的是獨(dú)立重復(fù)事件的概率計(jì)算。

二、邏輯推理類

例2某中學(xué)計(jì)劃2023年4月舉行趣味春季運(yùn)動(dòng)會(huì),其中有“夾球跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目,某班代表隊(duì)共派出1 男(甲同學(xué))2女(乙同學(xué)和丙同學(xué))3人參加這兩個(gè)項(xiàng)目,其中男生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為0.6,女生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為a(0＜a＜0.4)。假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響,記這3 名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為ξ。

(1)證明:在ξ的概率分布中,P(ξ=1)的值最大。

(2)對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目,比賽規(guī)則如下:該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃,如果投中,則比賽終止;如果沒(méi)有投中,則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃;如果3 名同學(xué)均未投中,比賽也終止。該班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn),甲、乙、丙3 名同學(xué)投籃命中的概率依次為ti=P(ξ=i)(i=1,2,3),每位同學(xué)能否命中相互獨(dú)立。請(qǐng)幫領(lǐng)隊(duì)分析如何安排3名同學(xué)的出場(chǎng)順序,才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小,并給出證明。

解析：(1)由已知,ξ的所有可能取值為0,1,2,3。

因0＜a＜0.4,故P(ξ=1)-P(ξ=0)=0.2(1-a)(1+3a)＞0,P(ξ=1)-P(ξ=2)=0.2(3a2-8a+3)＞0,P(ξ=1)-P(ξ=3)=-0.2(4a2+2a-3)＞0。

所以概率P(ξ=1)的值最大。

(2)由(1)知,當(dāng)0＜a＜0.4 時(shí),有t1=P(ξ=1)的值最大,且t2-t3=P(ξ=2)-P(ξ=3)=0.2a(6-7a)＞0,故t1＞t2＞t3,所以應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng),才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小。

證明如下:

假設(shè)p1,p2,p3為t1,t2,t3的任意一個(gè)排列,即若甲、乙、丙按照某順序派出,該順序下三人能完成項(xiàng)目的概率為p1,p2,p3,記在比賽時(shí)所需派出的人數(shù)為η,則η=1,2,3,且η的分布列如表1所示。

表1

數(shù)學(xué)期望E(η)=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)=3-2p1-p2+p1p2。

因?yàn)閠1＞t2＞t3,所 以p1≤t1,要 使(1-p1)(1-p2)盡可能小,則需要p1,p2盡可能大。故當(dāng)p1,p2取t1,t2時(shí),(1-p1)·(1-p2)取最小值,即(1-p1)(1-p2)≥(1-t1)(1-t2)。

3-2p1-p2+p1p2=2+(1-p1)(1-p2)-p1≥2+(1-t1)(1-t2)-t1=3-2t1-t2+t1t2,所以應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng),才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小。

點(diǎn)評(píng):本題將隨機(jī)變量概率分布問(wèn)題命制成證明題,使原來(lái)平淡無(wú)奇的題目瞬間提高了一個(gè)檔次。不僅考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng),而且考查同學(xué)們的邏輯推理素養(yǎng)。

三、知識(shí)交匯類

例3現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球,第一次從甲開(kāi)始傳球,甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人,接球后視為完成第一次傳接球;接球者進(jìn)行第二次傳球,隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人,接球后視為完成第二次傳接球;依次類推,假設(shè)傳接球無(wú)失誤。

(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為X,通過(guò)三次傳球,求X的分布列與期望。

(2)設(shè)第n次傳球后,甲接到球的概率為an,(i)試證明數(shù)列為等比數(shù)列;

(ii)解釋隨著傳球次數(shù)的增多,甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)。

解析：(1)由題意知X的取值為0,1,2。

所以X的分布列如表2所示。

表2

(2)(i)由題意:第一次傳球后,球落在乙或丙手中,則a1=0。

點(diǎn)評(píng):知識(shí)交匯處命題永遠(yuǎn)是創(chuàng)新題的“主旋律”。本題將隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)列交匯在一起考查,體現(xiàn)了新高考一題多考的命題原則。