初中數學平面幾何題型的解題技巧研究

吳霖杰

【摘要】勾股定理作為一個最基本的幾何定理，為解答初中數學平面幾何題型提供了思路，教師應在初中數學解題教學中，向學生傳授勾股定理解題技巧，使學生學會巧妙解題，發散數學思維.文章簡要介紹了勾股定理，緊接著分析了勾股定理在初中數學平面幾何題型中的實際解題應用技巧，提出利用勾股定理解答周長問題、面積問題、最短路徑問題、證明問題等.同時指出，教師應在夯基、精講、常練基礎上，指導學生利用勾股定理解答初中數學平面幾何題型，培養學生的解題能力.

【關鍵詞】初中數學；平面幾何；解題技巧

勾股定理證明了平面直角三角形三邊關系問題，即在任何一個平面直角三角形中，兩條直角邊的平方之和都一定等于斜邊的平方.平面幾何是初中數學的重點，也是難點.《義務教育數學課程標準（2022年版）》在數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域組織課程內容，平面幾何屬于圖形與幾何領域.在該領域，學生應進一步建立幾何直觀，提升推理能力，解決抽象問題.分析平面幾何問題，其解題思路為：將一般圖形轉化為特殊圖形，然后根據特殊圖形的特殊規律進行求解.而直角三角形，是轉化平面幾何圖形的最有效圖形之一，通過在原圖中添加輔助線，構造直角三角形，將平面幾何問題轉化為直角三角形相關問題，然后利用勾股定理展開計算，不僅有助于學生高效解決問題，而且能夠提高學生的數形結合能力，培養其發散思維.教師可以具體的初中數學平面幾何題型為例，傳授學生勾股定理解題技巧.

一、勾股定理在初中數學平面幾何題型中的解題技巧

（一）利用勾股定理解答三角形周長問題

例1 已知在△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上的高AD為12，求△ABC的周長.

題型與解題技巧分析 此題型為初中數學平面幾何基礎題型.想要確定一個三角形的周長，需要先確定其三邊長.但在一些三角形周長問題中，無法通過題目已知條件直接判斷其三邊長，對此，解題者可構造直角三角形，利用勾股定理降低解題難度.本題給出三角形其中兩條邊的長度以及另一條邊對應的高，解題者可以根據已知條件構造直角三角形，借助勾股定理計算原三角形第三條邊的長度，即BC的長.但是根據題目已知條件，無法確定高AD在△ABC中的具體位置，應畫圖并進行分類討論.當高AD在△ABC內部時，先通過勾股定理分別計算出CD與BD的長，再通過求和得到BC的長.當高AD在△ABC外部時，需要延長CB，故而在求出CD與BD的長后，需要通過求差得到BC的長.利用勾股定理解答三角形周長問題，關鍵便在于畫圖與分類討論，充分考慮未知邊長的每一種可能.

題型與解題技巧分析 初中數學中，一些不規則圖形面積問題無法結合已知公式展開計算，而是需要構造直角三角形，將不規則圖形轉換為兩個或兩個以上直角三角形，代入勾股定理，具體步驟為：（1）觀察圖形，分析其特點.（2）引入輔助線，構造直角三角形，確定相關線段長度.（3）借助直角三角形面積間接計算不規則圖形面積.本題中，待求圖形為不規則四邊形，解題者可以延長線段CB，DA，使其延長線交于點E，構造兩個直角三角形，確定相關線段長度.之后，通過計算△CDE與△ABE的面積差，即可成功求出四邊形ABCD的面積.利用勾股定理解答面積問題，關鍵在于引入輔助線，割補不規則圖形，構造直角三角形.

（三）利用勾股定理解答最短路徑問題

例3 如圖4所示，在一個無蓋圓柱形玻璃杯內壁B點有一滴蜂蜜，蜂蜜距玻璃杯底部5cm.玻璃杯整體高度為14cm，底面周長為32cm.若不計玻璃杯厚度，一只螞蟻在玻璃杯外壁A處出發去吃蜂蜜，最短應爬行多遠的距離？（螞蟻與玻璃杯口的豎直距離為3cm）.

題型與解題技巧分析 證明問題是初中數學平面幾何題型的重要組成部分，包括證明圖形線段長度關系、角度大小關系、直線位置關系等題型.即便題目所給條件較為復雜，解題者也可以從復雜信息中挖掘簡單提示，如勾股定理.分析可通過勾股定理進行解答的初中數學平面幾何證明問題，其分類如下：（1）題目所給條件未直接體現勾股定理，但證明對象與勾股定理相關.（2）題目所給條件與勾股定理聯系緊密.對于前者，解題者應在證明過程中構造直角三角形，將已知條件逐漸轉化至同一直角三角形中；對于后者，解題者應尋找或構造直角三角形，直接由勾股定理展開推理，得到邊長關系.利用勾股定理解答證明問題時，解題者需要先結合所給條件判斷題目特征，再根據題目特征靈活解題.

（五）利用勾股定理解答折疊問題

例5 如圖7所示，長方形ABCD的長和寬分別為8和6.已知P是寬AD上的一點，現沿著BP折疊△ABP，使PE與CD相交于點O，BE與CD相交于點G.如果OD=OE，線段AP的長是多少？

題型與解題技巧分析 折疊問題也是常見的初中數學平面幾何題型之一，可分為根據折痕求角的度數、線段的長、重合部分的圖形面積等題型.解答折疊問題，不僅需要運用軸對稱、四邊形等知識，而且需要引入勾股定理，具體思路為：（1）根據折痕運用軸對稱的性質，確定對應點，分析對應線段位置與大小關系.（2）根據折疊前后的特殊點和線段，構造直角三角形.（3）立足直角三角形，利用勾股定理、三角函數計算待求問題.本題為“求線段的長”折疊問題，滿足勾股定理解題特點.在長方形ABCD中，折疊前后的對應角與對應邊相等.故而想求出線段AP的長度，不妨設未知數x，即AP=x.在此基礎上，圖中所有線段均可用未知數表示.用相關未知數結合勾股定理列出方程，求出x，便可得到線段AP的長.當然，在題目給出相對簡單的條件時，也可以直接運用勾股定理，“跳過”列方程步驟.

二、初中數學平面幾何題型解題技巧的指導要點———以“勾股定理”為例

一線教師以勾股定理為切入點研究初中數學平面幾何題型的解題技巧，是為了認識初中數學平面幾何題型的更多解答方法，更是為了提升教學水平，指導學生從多角度分析和解決初中數學平面幾何問題，培養學生的問題解決能力.故而在以上研究基礎上，教師應進一步分析初中數學平面幾何題型解題技巧的指導要點，下面筆者以勾股定理為例進行闡述.

（一）夯基

利用勾股定理解答初中數學平面幾何題型，要求學生具備扎實的勾股定理知識基礎.教師應在此層面上，重視初中數學勾股定理教學，實現“夯基”目標.教師可以在實際教學期間，整合游戲化教學、情境教學、問題教學、任務型教學、層次化教學、翻轉課堂等教學方法，循序漸進地指導學生探究勾股定理，從而使學生充分經歷勾股定理的猜想、推理、認識、理解、實踐、掌握過程，形成發散的勾股定理解題思維.比如，在講解勾股定理時，教師可以借助“趙爽弦圖”與“畢達哥拉斯樹”創設情境，為學生搭建“數形并茂”的學習平臺，指導學生先觀察情境中的數學圖形，再挖掘和討論其所蘊含的數學思想.其間，教師應巧妙點撥學生“找規律”，促使學生發現直角三角形三邊的“平方”規律，奠定扎實的勾股定理認知基礎.再如，在根據教材例題指導學生運用勾股定理時，教師可鼓勵學生扮演“小老師”，講解不同題目的分析思路和解題步驟，深化學生思維，強化“夯基”效果.

（二）精講

掌握勾股定理在不同初中數學平面幾何題型中的解題技巧，要求學生準確區分初中數學平面幾何題型與勾股定理的內在聯系，建立結構化的思維系統.教師應在此層面上，對涉及勾股定理的初中數學平面幾何題型進行精講，全面啟發學生思維.教師應完善初中數學平面幾何習題訓練，每呈現一個特殊題型，都必須為學生精講解答過程.對此，教師可以結合課堂互動預案，精心設計動態課件.課上，教師先通過課件呈現題目，鼓勵學生自由討論、分享思路.緊接著，教師借助鼠標控制動態課件，依次出示解答步驟.出示題目解答步驟前后，教師都應給予學生充足的討論時間，然后對學生討論結果進行補充講解，使學生準確把握解題技巧.全面講解例題后，教師還可以設計對比歸納課件，將初中數學平面幾何不同題型及其勾股定理解題技巧進行匯總，幫助學生加以區分.

（三）常練

紙上談兵不如實際演練，面對初中數學平面幾何題型，學生想要快速判斷其特點、選擇正確的勾股定理解題技巧，必須達到熟能生巧的狀態.因此，教師應組織學生常練.教師應將“常練”與“題海戰術”進行區分，為學生精選典型題目，避免為學生施加過大綜合實踐壓力.對此，教師可以將中考數學真題視為習題資源庫，關注歷年中考真題，提煉其中的平面幾何典型題目，創新設計勾股定理與平面幾何測試題，進而對學生定期進行習題訓練.在此基礎上，教師還可以督促學生整理錯題，建立錯題集，以便隨時查缺補漏，實現鞏固練習.

結 語

總之，為提高學生解答初中數學平面幾何題型的效率，教師有必要向學生傳授勾股定理解題技巧.具體來講，教師應明確勾股定理的本質及解題價值，總結初中數學中常見的平面幾何題型及其勾股定理解題技巧，抓住“夯基”“精講”“常練”三大要點對學生進行指導，促使學生創新解決問題，提高解題能力.

【參考文獻】

[1]林勁松.淺析勾股定理的應用探究[J].讀寫算，2022（36）：132-134.

[2]趙霞.例析勾股定理常見的應用類型[J].中學數學，2022（20）：82-83.

[3]萬廣磊.探究神奇的勾股定理[J].初中生世界，2022（42）：44-45.