“畫板”作支架 思維可視化

【摘 要】幾何畫板可以為學生學習數學知識提供觀察、探究、歸納的有力保證。利用幾何畫板制作與數學知識相關的圖形，可以很好地彌補教師、學生手動畫圖的不足。在“二次函數的最值問題再研究”的教學中，可以引入幾何畫板輔助教學，促進學生深度學習，讓學習真正發生。

【關鍵詞】初中數學；幾何畫板；教學支架；思維可視化

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）11-0048-03

幾何畫板是一種常見的、比較受歡迎的可視化工具。利用幾何畫板制作與數學概念相關的圖形，可以很好地彌補教師、學生手動畫圖的不足。在學習數學概念時，恰當、合理地使用幾何畫板，不僅可以激發學生對數學概念學習的積極性和主動性，而且可以讓學生更直觀、生動地感受、理解、掌握一些較為抽象、難以解釋的概念，有利于學生清晰、直觀、積極地學好數學。

“二次函數的最值問題再研究”的教學內容在學生學習完二次函數這一章之后，是一堂針對二次函數最值問題的鞏固復習課。由于其抽象程度較高，學生在學習時可能會遇到一定的困難。因此，在教學中，教師可以利用幾何畫板的動畫效果，促進思維可視化，幫助學生突破知識重難點。同時，教師可利用小組合作，讓學生交流討論、碰撞思維；安排全班展示，讓學生充分整合思路、發表見解。以此激發學生數學學習的主動性，提高學生學習數學的自信心。

一、教學目標及重難點

1.教學目標

（1）會結合二次函數的圖象和性質進行分類討論，求解二次函數的最值問題，培養學生良好的思維習慣，提高學生的綜合分析能力，并進一步加深學生對數形結合、分類討論等數學思想方法的認識、理解和掌握。

（2）經歷從“軸定區間動”到“軸動區間定”的類比推理，培養學生的類比推理能力、獨立思考習慣和小組合作精神。

2.教學重難點

（1）重點：軸定區間定的閉區間上二次函數最值問題，軸動區間定的閉區間上二次函數最值問題，軸定區間動的閉區間上二次函數最值問題。

（2）難點：軸動區間定的閉區間上二次函數最值問題，軸定區間動的閉區間上二次函數最值問題。

二、教學過程再現

1.引導先學，再現知識

問題1：二次函數y=x2-2x+3的最小值是_____________???，最大值是_____________???。

【設計意圖】問題1列舉具體的二次函數，讓學生復習回顧二次函數的圖象和性質，并利用二次函數的圖象和性質求得其最大值和最小值。

2.組織互學，知識鞏固

問題2：二次函數y=x2-2x+3（-1≤x≤0）的最小值是_____________，最大值是_____________。

問題3：二次函數y=x2-2x+3（-1≤x≤2）的最小值是_____________，最大值是_____________。

問題4：二次函數y=x2-2x+3（-1≤x≤4）的最小值是_____________，最大值是_____________。

問題5：二次函數y=x2-2x+3（2≤x≤4）的最小值是_____________，最大值是_____________。

【設計意圖】問題2到問題5的設計是利用自變量取值范圍的改變，并依據此自變量的取值范圍來得出這個二次函數的最大值和最小值。如果僅從二次函數性質的角度來解決問題，學生可能不易看得清楚、想得明白。為此，實際教學時，教師可利用幾何畫板進行演示，讓思維可視化、思路清晰化（限于版面，演示過程略），從而順利解決二次函數的最大值和最小值問題。

3.提升研學，綜合知識

問題6：二次函數y=x2-2x+3，當1≤x≤a（a>1）時，函數值2≤y≤2a，求實數a的值。

【設計意圖】問題6基于二次函數的增減性，學生思考時及時畫出相應的二次函數圖象進行觀察（見圖1），便容易找到解題思路。

問題7：二次函數y=x2-2ax+3，當0≤x≤a時，函數值2≤y≤6，則a的取值范圍是 ????????。

【設計意圖】問題7以“軸定區間動”為載體設計問題。學生可借用二次函數圖象變化特征（見圖2）進行推理論證，即可得出a的取值范圍。

4.遷移再學，深化知識

問題8：二次函數y=x2-2ax+3（a是常數），當-1≤x≤1時，函數值y的最小值是1，求實數a的值。

【設計意圖】問題8與問題7的設計思路有所不同，問題8以“軸動區間定”為載體。教師預先準備好二次函數圖象的幾何畫板（見圖3、圖4、圖5），讓學生觀察、感受、類比，以此培養學生的類比推理能力、獨立思考習慣和小組合作精神。

三、課后反思

本課教學中，教師從“自變量取值范圍內的函數最值問題”入手，精心構思，巧妙設計，精準施教，合情釋理。主要體現在以下四個方面。

1.以已知探未知，讓問題拾級而上

“二次函數”是初中函數學習的一個重點，其包含的二次函數圖象、性質及思想方法非常豐富和飽滿，但其抽象性讓函數的一些相關性質及思想方法不易被學生理解。為此，教師應基于學生學情及時進行教學前的準備和教學過程中的調整，從學生耳熟能詳的二次函數問題入手（問題1），立足二次函數的基本性質，以自變量取值范圍的變化為抓手（問題2到問題5），以已知探未知，讓問題拾級而上，逐步升級（問題6、問題7、問題8）。此時附上圖形會使問題的思路漸漸明晰，讓學生的思維更具層次感和可見度。

2.以畫板作支架，讓思維觸手可及

隨著問題的不斷深入，純粹用代數方法來解題，尤其是問題6、問題7、問題8的求解，學生可能會感到不理解。此時教師要善于挖掘資源，以幾何畫板為支架，利用幾何畫板讓二次函數圖象動起來，以動畫演示精準闡釋數的概念，促使學生的思維漸漸跟進，使原本抽象的二次函數性質和特征清晰可見。

3.以合作為手段，讓方法落地生根

問題的解決不能僅依靠教師的引導和講解，更需要學生們的主動參與。小組合作學習就是一種很好的學習方式，本課利用小組合作的方式，以問題串為載體，以幾何畫板作支架，如問題6、問題7、問題8的研究，尤其是問題8教師可安排學生就如何劃分區間進行討論。教師作為課堂的組織者，應始終凸顯學生的主體地位，將理解、思考、解決問題的主動權交給學生，讓學生個體之間、團隊之間進行多方位的合作、研討、交流、碰撞，不斷迸發出思維的火花。

4.以動手成習慣，讓算理自然顯現

整個課堂中，教師的鋪墊雖然非常重要，但離開了學生的親身感受，課堂的效率也會大打折扣。比如問題2到問題5的研究，教師用幾何畫板演示，然后將二次函數圖象定格，由于有了具體范圍，對學生來說還是比較容易理解和接受的。而對于問題6、問題7、問題8，尤其是問題8，教師同樣借助幾何畫板演示，看上去似乎很清楚，但一離開幾何畫板，學生又會不明所以。為此，教師要不斷地引導學生積極動手操作，在紙上畫出幾何畫板動態下的幾個定格的二次函數圖象，使動態慢慢轉化為靜態，以動思靜。

綜上所述，搭建教學支架、促使思維可視化成為數學概念學習的一個很好的切入口，我們在使用可視化工具時，要提前謀劃、精心設計，恰當、合理、有效地選擇視覺化呈現的方式及時機，讓學生積極參與動手操作和動腦思維的活動；課型要靈活、生動、有趣，引發學生思考，將數學概念學習與生活實際相結合，讓學生自覺用數學知識去解決實際問題。同時，教師還要樹立大教學觀，積極構建思維可視化環境，充分利用好數學思維可視化工具，以人人可動手操作的實驗讓學生參與數學概念的形成過程，努力培養學生的數學學習能力、科學精神和創新意識。

*本文系江蘇省中小學教學研究第十四期課題“發展初中生幾何直觀的深度學習支架構建研究”（2021JY14-ZA07）階段性研究成果。

【作者簡介】陳冬，江蘇省張家港市妙橋中學（江蘇張家港，215615）教師，正高級教師，江蘇省數學特級教師，蘇州市數學學科帶頭人。