整體化歸思想在初中數學解題中的妙用

摘 要：在新課改的推動下，初中數學教學更加注重培養學生的數學素養和創新思維能力.教師在教學中不僅要傳授數學知識，更要引導學生掌握數學思想和策略.整體化歸思想作為一種重要的數學思想，能夠幫助學生解決實際問題，提高解題效率，因此，具有廣泛的應用價值.文章主要探討整體化歸思想在初中數學解題中的應用，通過對例題的分析，介紹整體化歸思想的基本概念以及在數學解題中的重要性，并詳細闡述了如何運用整體化歸思想來簡化解題過程，提高解題效率.最后總結了整體化歸思想在初中數學教學中的妙用，強調了培養學生運用該思想的重要性.

關鍵詞：初中數學；整體化歸；解題妙用

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0065-03

初中數學是培養學生邏輯思維能力和解決問題能力的重要階段.在解題中，一些思想方法的應用，能夠幫助學生更好地理解和解決各類數學問題，而整體化歸思想就是其中一種重要的思想方法［1］.本文旨在探討整體化歸思想在初中數學解題中的妙用，通過具體例題的分析和研究，總結出整體化歸思想在簡化計算、提高解題速度和解題正確率等方面的作用，以期為初中數學解題教學提供一些有益的思路和方法.

1化簡代數式類問題

整體化歸思想在代數式的化簡中有著重要的應用.通過將代數式看作一個整體，我們可以更好地理解這個整體與已知量之間的關系，從而更加靈活地運用各種代數技巧，如合并同類項、提取公因式、配方等，將復雜的代數式化簡為更加簡單的形式［2］.這種思想可以大大簡化計算過程，提高解題效率.

利用整體化歸思想化簡代數式主要包含以下幾個步驟：首先，分析代數式結構，觀察代數式的特點，將其分解成多個部分，并確定各部分之間的關系.其次，提取公因式或“已知條件整式”（已知條件中給出的整式，一般會給出該整式的具體值或代數值，如整式2x2+3y=5，或2x2+3y=a），將代數式中的公因式提取出來，以簡化代數式.然后通過變形和化簡，將代數式轉化為更加簡單和易于計算的形式，計算過程中可以通過各種代數技巧，如乘法分配律、結合律等來實現［3］.最后，將代數式中的各項進行運算和化簡，得出化簡后的結果.

整體化歸思想在代數式的化簡中有著廣泛的應用，它可以幫助學生更加靈活地運用各種代數技巧，提高解題速度和準確率.同時，這種思想也可以培養學生的思維能力和創新能力，幫助他們更好地解決各種數學問題.

例1 提示“用整體思想解題：為了簡化問題，我們往往把一個式子看成一個數（整體）.”試按提示解答下面問題.

（1）若代數式2x2+3y的值為-5，求代數式6x2+9y+8的值.

（2）已知A+B=3x2-5x+1，A-C=-2x+3x2-5，求當x=2時B+C的值.

解析 （1）設m=2x2+3y=-5，所以6x2+9y+8=3m+8=3×（-5）+8=-7，即所求式的值為-7.

（2）由已知條件，可以進行整體配湊B+C=（A+B）-（A-C）.

代入已知條件得到3x2-5x+1--2x+3x2-5=-3x+6=-3×2+6=0，因此，當x=2時，B+C=0.點評 整體化歸思想可以幫助學生將復雜的代數式或幾何問題簡化，從而更容易地找到問題的答案.本題難度略低，是一道培養整體思想在初中數學解題中應用的題目.先給出整體化歸思想的條件，奠定解題思路，然后由易到難設計兩個題目進行整體化歸思想的鍛煉.可根據已知條件直接進行整式配湊，最后將整式具體值代入配湊好的部分進行“整式消去”，從而得到最終答案.

2 解方程類問題

在解方程時，有時直接入手比較困難，這時可以使用整體化歸的思想.將方程的某部分看作一個整體，通過轉化和變形，便可以將這個整體用已知量表示出來.整體化歸的思想在解決方程問題時非常重要，通過將方程的解看作一個整體，我們可以更好地理解方程的解和已知量之間的關系［4］.這種思想可以幫助我們更加靈活地運用方程的變形和化簡方法，從而更容易找到方程的解.同時，整體化歸的思想也可以培養我們的數學思維和解決問題的能力，使我們能夠更好地應對各種復雜的數學問題.

例2 （1）解二元一次方程組5x-3y=163x-5y=0；

（2）現在你可以用哪些方法得到方程組5（x+y）-3（x-y）=163（x+y）-5（x-y）=0的解，并對這些方法進行比較.

解析 第一問中：5x-3y=16 ①3x-5y=0

②，

①×3-②×5，得16y=48，解得y=3.把y=3代入②，得3x-5×3=0，解得x=5.因此方程組的解為x=5y=3.

第二問中：

方法一 把x+y，x-y分別看作兩個未知數，由（1）的結論，可知此時原方程組與x+y=5x-y=3為同解方程組，解這個方程組，得x=4y=1.

在方法一中，通過利用第一問的結論，將x+y，x-y看作整體，使用整體化歸思想解題，大大簡化了計算過程.

方法二 5（x+y）-3（x-y）=16 ①3（x+y）-5（x-y）=0 ②，

得到①×3-②×5，得16（x-y）=48，因此x-y=3.把x-y=3代入②，得3（x+y）-5×3=0，解得x+y=5.之后同方法一，解方程組x+y=5x-y=3，得x=4y=1.

方法二同樣是利用整體化歸的思想，只是沒有結合第一問的結論.該方法較方法一稍顯復雜，但該方法是整體化歸思想的通用思想，可以推廣使用.

方法三 整理原方程組，

得2x+8y=16 ①-2x+8y=0 ②，

①+②，得16y=16，解得y=1.把y=1代入②，得-2x+8×1=0，解得x=4，故原方程組的解為x=4y=1.

方法三沒有用整體化歸的思想，在計算方面考查細致度，計算過程需要精確拆括號，變換正負號.

點評 本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思想是消元，加減消元法和代入消元法是常用的方法.運用整體思想，把第二問中的方程組轉化成第一問的方程組，簡化了計算.方法三沒有明顯地運用整體化歸的思想，而是更注重于計算方面的考查.在具體操作中，需要精確地拆括號和變換正負號，這需要一定的細心和耐心.比較這三種解法，我們可以發現方法一最為簡單，方法二次之，而方法三則相對較為繁瑣.整體化歸思想在數學中有著廣泛的應用，它可以幫助我們將復雜的問題化整為零，將未知轉化為已知，從而使問題更易于解決.從這三種解法中，我們可以看出方法一和方法二都運用了整體化歸的思想，將問題進行了整體把握和轉化，從而使問題的解決更為簡潔和高效.因此，在數學學習中，要注重培養自己的整體化歸思想，學會將問題進行整體把握和轉化，從而更好地解決數學問題.同時，也需要注重計算的訓練和提高，以更好地運用整體化歸思想來解決數學問題.

例3 閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組2x+5y=3 ①4x+11y=5 ②時，采用了一種“整體代換”的解法，將方程②變形為4x+10y+y=5，即22x+5y+y=5 ③，把方程①代入③得2×3+y=5，因此y=-1，把y=-1代入①得x=4，所以方程組的解為x=4y=-1.根據小軍的解法，請你解決以下問題：

問題一 模仿小軍的“整體代換”法解方程組3x-2y=5 ①9x-4y=19 ②

問題二

x，y滿足3x2-2xy+12y2=47 ①2x2+xy+8y2=36 ②，求整式x2+4y2+xy的值.

解析

問題一 3x-2y=5 ①9x-4y=19 ②，

由②變形為9x-6y+2y=19，得到3（3x-2y）+2y=19 ③，把①代入③得3×5+2y=19，所以y=2，把y=2代入①得x=3，所以方程組的解為x=3y=2.

問題二 3x2-2xy+12y2=47 ①2x2+xy+8y2=36 ②，由①得3x2+4y2=47+2xy，即x2+4y2=47+2xy3 ③，把③代入②得2×47+2xy3+xy=36，解得xy=2.令①-②，得x2-3xy+4y2=11.所以x2+xy+4y2=11+4xy，所以，把xy=2代入得x2+4y2+xy=11+8=19，即整式x2+4y2+xy的值為19.

點評 本題考查了整體化歸思想的應用，這種方法在處理復雜問題時具有很大的優勢，可以大大簡化計算過程，提高解題速度和正確率.對于問題一，由于已知條件和所求結果之間存在明顯的整體代入關系，因此只需要直接將所給的整體代入到結果中即可求出答案.對于問題二，需要先將原式進行適當的整理和變形，找出已知條件中的某些量的關系，并將它們分別代入到計算公式中.在進行整體代入時，需要注意兩點：首先，要認真分析問題中各個量之間的關系，確定哪些量是相互獨立的，哪些量之間存在某種比例關系；其次，在將已知條件中的式子進行“配湊”時，要盡可能地使代入后的式子保持對稱性或規律性，以便于計算和分析.因此，整體化歸思想在初中數學解題中具有廣泛的應用價值，通過培養學生的整體化歸意識，可以提高學生的解題能力和數學素養.

參考文獻：

［1］ 楊穎.分式化簡求值：整體思想巧代入［J］.初中生世界，2023（22）：46-47.

［2］ 韋小云.換元法思想在初中數學教學中的應用研究［J］.求知導刊，2023（10）：86-88.

［3］ 丁秀珍.巧用換元法助力初中數學解題效率提升［J］.數理化解題研究，2023（02）：25-27.

［4］ 戴麗麗.剖析換元法應用于初中函數問題的主要路徑［J］.數學之友，2022（24）：55-57.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：肖凡（1981.12-），女，福建省漳州人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.