深挖教材 提煉方法 培養思維

摘 要：在新課程改革背景下，教育教學的重心從知識傳授向綜合素質培養轉變.培養學生的綜合素質，不僅要求學生掌握教材知識內容，同時還要求教師注重學生思維方式的培養.數學作為初中階段的基礎學科，具有比較強的邏輯性，教師應當重視學生問題分析能力的培養，引導學生利用辯證思想，借助分類討論思想解決問題.據此，文章淺析分類討論思想在初中數學中的應用.

關鍵詞：分類討論思想；初中數學；應用策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0062-03

在初中數學解題中，解題方式較為靈活，一道習題可能會有多種解題方式，不同類型的題目也可能有著相同的解題思路.在數學問題解決中，教師應當注重數學思想的應用.分類討論思想是重要的數學思想之一，廣泛用于學習與生活，可完善學生數學知識體系，鍛煉學生思維能力及邏輯能力.同時，借助分類討論思想，幫助學生整理數學知識點，深入探究數學知識規律，簡化數學問題，讓學生切實做到舉一反三.

1 初中數學教材中分類討論思想內容分析

在初中數學教材中，包含很多分類討論思想內容，要求學生在學習過程中，體會分類討論思想，做出歸納和總結，以此，完善學生知識結構，體會分類討論思想在解題中的運用.初中數學各階段分類討論思想內容如表1所示.

對于初中階段的學生來說，剛剛系統化地接觸分類討論思想，想要深入發掘教材中的分類討論思想，需要了解分類的原則與步驟，嘗試自主分類，明確分類思路，為數學問題解決做出知識遷移準備［1］.

2分類討論思想的應用原則

2.1 同一性原則

在初中數學解題中，分類討論應當堅持同一個標準，對對象做出合理的分類.需要讓學生認識到，分類思想應用的前提是有著明確的研究對象，只有準確把握對象特征，才能夠靈活利用，圍繞同一性進行分類，避免出現不同組對象產生屬性交集.

2.2 層次性原則

針對多次分類問題，需要準確把握層次性原則，結合概念的差異做好研究對象分類.在整個分類過程中，應當做到全面考慮，避免忽略對象的某個屬性，導致出現分類錯誤.

3 初中數學解題中分類討論思想的應用策略

3.1 利用分類討論思想解決方程問題

例1 某商場準確購進A、B、C三種型號的電視機，A型號電視機每臺進價為1 500元，B型號電視機每臺進價為2 100元，C型號電視機每臺進價為2 500元，如果商場準備使用90 000元購進三種型號的電視機50臺，那么進貨方案有幾種？

分析 通過對題目條件進行分析，利用方程不能夠直接得出結果，而且A、B、C三種電視機的數量都是變量，因此，需要對問題進行轉化，利用分類討論思想進行解題.

解 設購進A、B、C三種型號電視機數量分別是x、y、z臺，根據題意得出x+y+z=501 500x+2 100y+2 500z=90 000，得出3y+5z=75，即y=25-53z，∵53z為正整數，∴z是3的倍數.

∴5≤53z＜25且53z為正整數，∴z的值可能是3、6、9、12.

當z=3時，得出y=20，x=27；

當z=6時，得出y=15，x=29；

當z=9時，得出y=10，x=31；

當z=12時，得出y=5，x=33；

答：商場可以有四種進貨方案.

3.2 利用分類討論思想解決函數問題

函數問題是初中數學中的常見題型，主要有一次函數、反比例函數、二次函數等，作為考試中常見的題型，是初中數學解題中的重點和難點.因此，作為初中數學教師，需要有效利用分類討論思想，引導學生解決函數問題.

例2 如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx的對稱軸是x=34，且拋物線經過點A（2，1），點P是拋物線上的動點，橫坐標為m（0＜m＜2），過P點作PB⊥x軸，垂足為B，PB與OA的交點是C，點O關于直線PB的對稱點是D，連接CD、AD，過點A作AE⊥x軸，垂足為E.

（1）求解拋物線的解析式；

（2）用含有m的式子表示C、D的坐標；

（3）如果△ACD為等腰三角形，求解所有符合條件的P點坐標.

解 （1）根據題意得-b2a=344a+2b=1，解得a=1b=-32，∴拋物線的解析式為y=x2-32x.

（2）C（m，12m），D（2m，0）.

（3）根據題意，得出B（m，0），

在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+（12m）2=54m2，∴OC=52m，

∵O、D關于直線PC對稱，∴CD=OC=52m，

在Rt△AOE中，OA=OE2+AE2=5，

∴AC=OA-OC=5-52m，

在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=4m2-8m+5.

在P點坐標求解時，可以分三種情況進行討論.

當AC=CD時，即5-52m=52m，解得m=1，∴P（1，-12）；

當AC=AD時，則AC2=AD2，即5-5m+54m2=4m2-8m+5，解得m1=0，m2=1211，

∵0＜m＜2，∴m=1211，即P（1211，-54121）；

當DA=DC時，則DA2=DC2，∴4m2-8m+5=54m2，

解得m1=1011，m2=2，∵0＜m＜2，∴m=1011，即P（1011，-65121）.

綜上，當△ACD為等腰三角形時，點P的坐標分別是P1（1，-12）、P2（1211，-54121）、P3（1011，-65121）.

3.3 利用分類討論思想解決幾何問題

在初中幾何問題教學中，教師可以巧妙引入分類討論思想，引導學生思考問題，明確解題思路.如直線與圓的位置關系、等邊三角形的邊角關系以及直角三角形的邊角關系等，可以巧妙利用分類討論思想，完成幾何問題的解題.

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，點D、E分別為BC、AB的中點，將△BDE圍繞B點旋轉，旋轉后D、E的對應點分別是D′、E′，當直線D′E′經過點A時，線段CD′的長是_______.

分析 此題解題時分兩種情況，當A點在E′D′的延長線上以及A點在線段D′E′的延長線上，通過分類討論，求解出BD的長度，完成解題.

解 如圖2所示，當A點在E′D′的延長線上時，

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴根據勾股定理得出AB=25，

∵點D、E分別為BC、AB的中點，

∴DE∥AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，

∴∠EDB=∠ACB=90°，

∵將△BDE繞著點B旋轉，

∴∠BD′E′=∠BDE=90°，D′E′=DE=1，BD=BD′=2，

∵Rt△ABC和Rt△BAD′中，D′B=AC=2，AB=BA，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD′，

∴四邊形ACBD′為平行四邊形，且∠ACB=90°，

∴四邊形ACBD′是矩形，

∴CD′=AB=25.

如圖3所示，當點A在線段D′E′的延長線上時，

∵∠AD′B=90°，

∴根據勾股定理得出AD′=4，

∴AE′=AD′-D′E′=3，

∵將△BDE繞著點B旋轉，∴∠ABC=∠E′BD′，

∵BE′AB=12=BD′BC，

∴△ABE′∽△CBD′，∴AE′CD′=ABBC，

∴3CD′=254，∴CD′=655.

∴CD′的長度是25或者655.

參考文獻：

［1］ 關建昌.新課標下初中數學分類討論思想教學的幾個著力點［J］.數學學習與研究（教研版），2021（16）：12-13.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：陳友杰（1971.11-），男，福建省閩清人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.