變中不變找規律 函數特值試一試

摘 要：中考中的定值問題，主要涉及三角形中的定值問題、圓中的定值問題和矩形中的定值問題.解決這類定值問題的方法主要是尋找變化中的不變量，先從特殊情形（比如特殊點或特殊位置）算出定值，再結合幾何性質或者函數關系進行一般化的證明.

關鍵詞：中考；平面幾何；定值問題；運動；探究

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0038-03

在一個給定的圖形中，某些元素（如點、線、角、三角形等）按照一定的規律在運動變化，而在運動變化中，某幾何量或幾何量間的關系（如線段的長度、角的度數、圖形的周長或面積的大小等）卻始終保持固定的數值，這就是幾何圖形“變中不變”問題， 也稱“定值”問題［1］.求解這類“定值問題”難度較大，解決的辦法一般是將問題特殊化，即先從特殊情況入手，找出定值，然后再一般化處理.

定值問題常見的題型有：線段、角度定值；周長定值；面積定值；線段的乘積定值等［2］.比如，對于線段乘積為定值的問題，大多采用相似法，通過相似成比例把乘積問題轉化為比例問題.此外，對于定值問題，還可以設變量x，并用x的代數式來表示其他變量，通過代數式變形計算解決問題.若計算結果中不含x和其他變量，則為定值，否則不是.這種用 “數” 來研究 “形” 的方法，是研究定值問題的常用方法［3］，同時體現了轉化思想與數形結合思想.

1 三角形中的定值問題

例1 如圖1，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，O是AB的中點，且AB=6，將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處，始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC，BC相交，交點分別為D，E，則CD+CE=（? ）.

A.2? ?B.3?? C. 2? ?D.6

分析 先探究特殊位置，當E是BC中點時，CD+CE=3，當E與點C重合時，CD+CE=3， 因此只需說明點E在BC上任意位置CD+CE的值是不變的.

解 如圖2，連接OC.∵等腰直角△ABC中，AB=6，

∴BC=6×cos45°=6×22=3.

∵O是AB的中點，

∴OC=12AB=OB，OC⊥AB，∴∠COB=90°.

∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，

∴∠DOC=∠EOB.

同理可得∠ACO=∠B，∴△ODC≌△OEB，∴DC=BE，

∴CD+CE=BE+CE=BC=3.

點評 本題是一個選擇題，我們可以通過點E的特殊位置快速選出答案.對于解答題探究定值，一般是先考慮特殊情況，得到定值，再一般化，確定求證途徑.

2 圓中的定值問題

例2 如圖3，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點C，使BC=OB，E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O于點D，P是⊙O上一動點（不與點A，B重合），連接CD，PE，PC.

（1）求證：CD是⊙O的切線.

（2）小明在研究的過程中發現PEPC是一個確定的值.回答這個確定的值是多少， 并對小明發現的結論加以證明.

分析 如圖4，先探究點P的特殊位置，當PE⊥OC時，易得△PCE是含30°角的直角三角形，因此PEPC=12.最后再證明一般情況下比值不變即可.

解 （1） 如圖5，連接OD，DB，∵DE垂直平分OB，∴DB=DO.

∵DO=OB，∴DB=DO=OB，

∴△ODB是等邊三角形，∴∠BDO=∠DBO=60°.

∵BC=OB=BD，且∠DBE為△BDC的外角，

∴∠BCD=∠BDC=12∠DBO=30°.

∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，

∴CD是⊙O的切線.

（2）這個確定的值是12.

如圖3，由已知可得OP=OB=BC=2OE，∴OEOP=OPOC=12.

又 ∵∠COP=∠POE，∴△OEP∽△OPC，

∴PEPC=OPOC=12.

點評 解決定值問題時，對于一些與定點、定長等有關的定值問題，定值一定和題目所給的“不變量”有關.因此，在“變化”的量中尋求“不變”的量是解決問題的關鍵.一般可先從特殊位置、極端位置或特殊數值入手，探究出這個定值，然后再借助特殊情況的思路作為探討一般情況的基礎，完成一般情況的證明.

3 矩形中的定值問題

例3 如圖6，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，點F是CB延長線上一點，AF=AE，連接EF，交AB于點K，過點A作AH⊥EF于H，延長AH交BC于點G，連接HD，若BG=2，則AK·DH=_______．

分析 可證Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），從而可得∠DAE=∠BAF，再證△ADH≌△CDH（SSS），可得△AEF為等腰直角三角形，從而可證△AKF≌△HED，可得AKEH=AFDH，可證∠BFK=∠BAG，可得tan∠BFK=tan∠BAG，可求23=BKBF，設BK=2x，BF=3x，則AK=3-2x，可證△AKH≌△FGH（ASA），可得3-2x=2+3x，即可求解．

解 ∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠ADE=∠ABC=∠ABF=∠DAB=90°，在Rt△ABF和Rt△ADE中，AB=ADAF=AE

∴Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），∴∠DAE=∠BAF，

∴∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAE+∠DAE=90°，

∴△AFE為等腰直角三角形，

∵AH⊥EF，∴點H是EF的中點，∴AH=EH=FH=12EF，

如圖7，連接CH，∵四邊形ABCD為正方形，∴CD=AD.

∵點H是EF的中點，∠DCB=90°，∴CH=12EF，∴AH=CH.

在△ADH和△CDH中，AH=CHDH＝DHAD=CD，

∴△ADH≌△CDH（SSS）， ∴∠ADH=∠CDH=45°，

∵△AEF為等腰直角三角形，∴∠AFE=45°，

∴∠AFK=∠EDH=45°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BKF=∠CEH，

∴∠AKF=∠DEH，∴△AKF∽△HED，

∴AKEH=AFDH，∴AK·DH=AF·EH.

在等腰直角三角形△AFH中，AF=2FH=2EH，

∴EH=22AF，

∵∠BAG+∠AGB=∠AGB+∠BFK=90°，

∴∠BFK=∠BAG，

∴tan∠BFK=tan∠BAG，

∴BGAB=BKBF，即23=BKBF，

設BK=2x，BF=3x，則AK=3-2x，

在△AKH和△FGH中，∠BAH=∠GFHAH=FH∠AHK=∠FHG，

∴△AKH≌△FGH（ASA），∴AK=FG，

∴3-2x=2+3x，∴x=15，

∴AF2=AB2+BF2=32+352=23425，

∴AK·DH=AF·EH=22×23425=117225．

點評 根據正方形和三角形的性質以及一般角的三角函數值等，找出AK=FG，從而可得3-2x=2+3x是解題的關鍵．

4 平行四邊形中的定值

例4 如圖8，在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，N為AB上一點，E為BC上一點，BE=AB，AB=4AN，P、M分別為AE，BC上兩點，當NP+MP=3時，AP=_______．

分析 本題主要考查了平行線之間的距離和等邊三角形的判定和性質，先證明△ABE是等邊三角形，再在AD上取點Q，使AQ=AN，構造△AQP≌△ANP（SAS），將折線線段和轉化為平行線之間的距離，得出M、P、Q在同一直線上，并且PQ⊥BC，通過解三角形求出AP．

解 ∵在平行四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，

又∵BE=AB，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE=∠DAE=60°，

如圖9，過點A作AH⊥BC垂足為H，

在Rt△ABH中，AH=ABsin∠B=2×32=3，

在AD上取點Q，使AQ=AN，即AQ=14AB=12，

∴△AQP≌△ANP（SAS），∴QP=NP，∴NP+MP=QP+MP≥AH，

∵NP+MP=3，即：QP+MP=AH，

∴M、P、Q在同一直線上，并且PQ⊥BC，

∴AP=AQcos∠QAP=12÷cos∠QAP=1．

對于一些與定點、定長等有關的定值問題，可以將問題引向特殊情形，先求出這個定值， 再進行證明，探索出的定值必須通過證明才能明確其正確性，要論證的問題就是特殊情形與一般情形的固定關系.也可直接設參數進行推理、計算，并在計算中消去參數，得到定值.得到了定值，做題時就有了明確的目標與方向，再證明一般情況下結論成立即可.

參考文獻：

［1］ 呂小保.中考“定值”問題探究［J］.中學生數學，2010（06）：41-43.

［2］ 刁琴，石勇國.中考熱點題型“動點最值問題”的反思［J］.數學通訊，2023（01）：50-51.

［3］ 劉賢華.中考最值問題分析及解題技巧［J］.數理天地（初中版），2022（19）：29-30.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：陳通（1986.10-），男，江蘇省泗洪縣人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.