謹防復數(shù)解題中的六個誤區(qū)

王 新

(云南省昆明市第八中學)

眾所周知,數(shù)系的擴充使實數(shù)集得到了進一步“升級”,于是出現(xiàn)了復數(shù)集,復數(shù)集通常用C 來表示.復數(shù)包含了實部與虛部兩個部分,若對復數(shù)的概念理解不透,則往往會把實數(shù)的性質(zhì)和運算法則“遷移”到復數(shù)運算中去,于是就會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤.那么復數(shù)運算中有哪些誤區(qū)值得我們注意呢? 本文舉例說明.

誤區(qū)1無論x在什么范圍內(nèi),都有x2＝|x|2成立.

當x∈R 時,x2＝|x|2恒成立,無可厚非.但當x∈C時,x2＝|x|2還能成立嗎? 答案顯然是否定的.試想,當x是虛數(shù)且非純虛數(shù)時,x2仍是虛數(shù),而|x|2卻是實數(shù),所以它們是不相等的.

A.2 B.4 C.6 D.8

錯解由x2－5|x|＋6＝0,得

(|x|－2)(|x|－3)＝0,

那么|x|＝2或3,從而x＝±2或x＝±3,故選B.

剖析上述錯解就是把實數(shù)中的x2＝|x|2的結論無條件地搬到復數(shù)運算中,從而導致計算失誤.

正解設x＝a＋bi(a,b∈R),那么原方程即為

得

誤區(qū)2無論x在什么范圍內(nèi),xmn＝(xm)n恒成立.

顯然,當x∈R 時,xmn＝(xm)n恒成立,當x為虛數(shù)時,xmn＝(xm)n未必成立,舉個最簡單的例子:,這種錯誤可謂防不勝防.

A.1 B.i C.－i D.沒有意義

錯解因為,故選A.

剖析在實數(shù)集中,對任意x∈R,m,n∈R,有xmn＝(xm)n.而在復數(shù)集中,僅對m,n∈N*,有xmn＝(xm)n.上述錯解盲目地將實數(shù)集中的指數(shù)運算法則直接推廣到復數(shù)集的運算中.

正解,故選C.

誤區(qū)3z＝a＋bi(a,b∈R)是純虛數(shù)?a＝0.

當一個復數(shù)為純虛數(shù)時,它的實部一定為零,它所表示的點在虛軸上,但是虛軸上的點未必都是虛數(shù),因為原點代表的是實數(shù)0.

A.3 B.3或－1 C.－1 D.2

錯解由lg(m2－2m－2)＝0,得m2－2m－2＝1,則m＝3或－1,故選B.

剖析復數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)是純虛數(shù)的充要條件為,兩者缺一不可,而上述錯解恰恰沒有考慮b≠0.

正解由故選A.

誤區(qū)4a＋bi＝c＋di?a＝c,且b＝d.

復數(shù)的實部與虛部都是實數(shù),兩個復數(shù)相等的充要條件是它們的實部與虛部分別對應相等.而在“a＋bi＝c＋di?a＝c,且b＝d”中,參數(shù)a,b,c,d未必是實數(shù).

A.1 B.1或－1

C.1或4＋i D.4＋i

故x＝1,選A.

剖析當且僅當a,b,c,d∈R 時,a＋bi＝c＋才成立,否則不成立.

正解由(x2－4x＋3)＋(x2－6x＋5)i＝0,得(x－1)[(x－3)＋(x－5)i]＝0,則x＝1或(x－3)＋(x－5)i＝0,即x＝1或4＋i,故選C.

誤區(qū)5一元二次方程有實根?Δ≥0.

對于實系數(shù)一元二次方程來說,方程有實根?Δ≥0,但當這個方程是復數(shù)系數(shù)的一元二次方程時,結論未必成立.

A.k＝－2或0 B.k≤－4或k≥1

C.k＝－3或0 D.k＝－3或4

錯解由3k－4＝(k－1)(k＋4)≥0,得k≤－4 或k≥1,故選B.

剖析本題計算判別式時含i的項剛好抵消,純屬巧合,試想如果不抵消,這個不等式還有意義嗎?

正解設實根為t,則0,即解得故選C.

誤區(qū)6一元二次方程若有虛根,則有兩個虛根,且它們?yōu)楣曹棌蛿?shù).

不難證明,對于實系數(shù)方程ax2＋bx＋c＝0,當Δ＜0時,它有兩個互為共軛復數(shù)的虛根,但當系數(shù)中出現(xiàn)虛數(shù)時,結論還成立嗎? 顯然Δ＜0也無法做到,所以此時無法出現(xiàn)互為共軛復數(shù)的兩個根.

A.－13 B.－17－6i

C.13 D.17－6i

錯解因為2i－3是方程x2－6ix＋p＝0的一個根,則另一個根必是－3－2i,于是由根與系數(shù)的關系,得p＝(2i－3)(－2i－3)＝(－3)2－(2i)2＝13,故選C.

剖析對于一元二次方程,只有當系數(shù)都是實數(shù)時,若有虛根,虛根才會成對出現(xiàn).本題的系數(shù)顯然不全是實數(shù),因此,虛根不是成對出現(xiàn)的,且不能用根與系數(shù)的關系處理.

正解設另一根為x1,由根與系數(shù)的關系得

故選B.

由此可見,解復數(shù)題不可盲目套用實數(shù)的公式,要用實數(shù)的某些公式,必須先審視或證明公式或結論在復數(shù)范圍內(nèi)是否成立.因此,對于復數(shù)問題,解答時我們必須“多個心眼”,可謂“小心駛得萬年船”.

(完)