巧構(gòu)函數(shù),妙用導(dǎo)數(shù)解題

康殷殷

(福建省莆田第六中學(xué))

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的前提條件是要有函數(shù),離開了函數(shù),導(dǎo)數(shù)就是“無本之木”,因此要想利用導(dǎo)數(shù)解決某些問題,構(gòu)造函數(shù)必不可少.那么在函數(shù)問題中,有哪些問題可以通過構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)來解決的呢?

1 不等式恒成立問題

不等式恒成立問題,通常采用參變量分離法或分類討論法將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,因此解題時應(yīng)構(gòu)造函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值.

(1)求a的取值范圍;

(2)若x1x2＋m(x1＋x2)＜0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

當0＜x＜1時,h′(x)＜0,當x＞1時,h′(x)＞0,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1＋∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)h(x)在x＝1處取得最小值h(1)＝2e,故a的取值范圍是(2e,＋∞).

(2)由0＜x1＜x2,可得),且ax1＝,所以lna＋lnx1＝ln2＋x1,lna＋lnx2＝ln2＋x2,故x2－x1＝lnx2－lnx1.因為x1x2＋m(x1＋x2)＜0 恒成立,則x1x2(lnx2－lnx1)＋,即.

綜上,m的取值范圍是.

2 函數(shù)值大小的比較

函數(shù)值大小的比較,一般需依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,故必須先構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)探究該函數(shù)的單調(diào)性.

A.f(a)＞eaf(0) B.f(a)＜eaf(0)

C.f(a)＞f(0) D.f(a)＜f(0)

(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對任意的實數(shù)x,都有2f′(x)＞f(x)成立,則( ).

A.3f(2ln2)＞2f(2ln3)

B.3f(2ln2)＜2f(2ln3)

C.2f(2ln2)＜3f(2ln3)

D.2f(2ln2)＞3f(2ln3)

F(x)單調(diào)遞增,F(2ln2)＜F(2ln3),即

故選B.

3 解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式

求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式,必須依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,由不等式構(gòu)造函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)探究該函數(shù)的單調(diào)性.

A.(－1,1) B.(－1,＋∞)

C.(－∞,－1) D.(－∞,＋∞)

(2)已知函數(shù)f(x)滿足,則不等式2f(x)＜x＋1的解集為_________.

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝2f(x)－x－1,則F′(x)＝,所以函數(shù)F(x)單調(diào)遞減,而F(1)＝0,2f(x)＜x＋1等價于F(x)＜0,得x＞1,故不等式的解集為(1,＋∞).

4 證明不等式

在導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是歷年高考的命題熱點,這類問題通常處于壓軸題的位置,具有一定的難度,解決這類問題的關(guān)鍵還是構(gòu)造合理函數(shù),巧妙利用導(dǎo)數(shù)解題.

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)求證:exln(x＋1)≥x2＋ln(x＋1).

設(shè)g(x)＝(x－1)ex＋1,則g′(x)＝xex,令g′(x)＝0,得x＝0,所以g(x)在(－∞,0)上是減函數(shù),在(0,＋∞)上是增函數(shù),所以g(x)≥g(0)＝0,則f(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

(2)設(shè)h(x)＝x－ln(x＋1),則令h′(x)＝0,得x＝0,所以h(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減,在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,h(x)≥h(0)＝0,即x≥ln(x＋1).

當x＞0時,x≥ln(x＋1)＞0,因為f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(ln(x＋1)),即,所以(ex－1)ln(x＋1)≥x2.

當－1＜x＜0時,0＞x≥ln(x＋1),因為f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(ln(x＋1)),即,所以(ex－1)ln(x＋1)≥x2.

當x＝0時,(ex－1)ln(x＋1)＝x2＝0.

綜上,對一切x＞－1,有(ex－1)ln(x＋1)≥x2,即exln(x＋1)≥x2＋ln(x＋1).

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問題歷來是高考的重難點,從以上例題的分析可以看出,構(gòu)造函數(shù)并合理利用導(dǎo)數(shù)是解決這類問題的基本方法.

(完)