導(dǎo)數(shù)中隱零點(diǎn)問題的處理策略

田 鵬

(重慶市長壽中學(xué))

導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用是高中階段的難點(diǎn),更是高考的高頻考點(diǎn),其中有很多問題都與函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān),處理這類問題需要有較強(qiáng)的代數(shù)變形能力,對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求很高.特別地,函數(shù)(或?qū)Ш瘮?shù))的零點(diǎn)不可精確求解的問題處理起來更為棘手.對此,本文探討幾種處理隱零點(diǎn)問題的策略.

1 基本概念

零點(diǎn)設(shè)函數(shù)y＝f(x),若實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)＝0,則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).從函數(shù)圖像上看,函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)即為其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

隱零點(diǎn)若x0為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn),但x0無法精確求解,則稱x0為隱藏的零點(diǎn),即隱零點(diǎn).有些函數(shù)的零點(diǎn)表面上看不可求,但結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上可以求出,這類零點(diǎn)不能稱為隱零點(diǎn).例如,x＝0不能稱為函數(shù)f(x)＝ex－x－1的隱零點(diǎn).

零點(diǎn)存在定理設(shè)函數(shù)y＝f(x)是定義在(a,b)上的連續(xù)函數(shù),且滿足f(a)f(b)＜0,則存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)＝0.換句話說,函數(shù)y＝f(x)在(a,b)上存在零點(diǎn).結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),還可以精確判斷函數(shù)y＝f(x)在(a,b)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).另外,該定理往往用來判斷零點(diǎn)所屬區(qū)間.

2 策略探究

2.1 設(shè)而不求,整體代換

1)自變量代換

(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)m的值;

(2)當(dāng)m≥1時(shí),證明:f(x)＞g(x)－x3.

(2)因?yàn)閒(x)＝ex＋m－x3,g(x)＝ln(x＋1)＋2,所以f(x)＞g(x)－x3等價(jià)于ex＋m－x3＞ln(x＋1)＋2－x3,即ex＋m－ln(x＋1)－2＞0.當(dāng)m≥1時(shí),ex＋m－ln(x＋1)－2≥ex＋1－ln(x＋1)－2,所以不等式等價(jià)于ex＋1－ln(x＋1)－2＞0.

設(shè)函數(shù)h(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－2,則h(x)的定義域?yàn)?－1,＋∞),則只需要證明hmin(x)＞0.,易證函數(shù)h′(x)在(－1,＋∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)?＞0,所以由零點(diǎn)存在定理知存在唯一的實(shí)數(shù)x0∈,使得h′(x0)＝0,即.所以當(dāng)x∈(－1,x0)時(shí),h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,＋∞)時(shí),h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,hmin(x)＝h(x0)＝ex0＋1－ln(x0＋1)－2.由可得x0＋1＝－ln(x0＋1),從而

2)參數(shù)代換

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)x0,證明:.

當(dāng)a＞2 時(shí),函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(求解過程略).

(2)注意到f(1)＝0,故由(1)知a＞2.因?yàn)?設(shè)h(x)＝2ax2－2ax＋1,其對稱軸為,且h(0)＝h(1)＝,記h(x)＝0的兩根分別為,則0＜x1＜,又由(1)知f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,＋∞)上單調(diào)遞增,且f(x)在(0,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x0,所以x0＝x1∈(0,,從而

2.2 等價(jià)變形,化隱為顯

1)同構(gòu)變形

(1)當(dāng)a＝e時(shí),求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

(2)因?yàn)閒(x)≥1,所以aex－1－lnx＋lna≥1,則elna＋x－1－lnx＋lna≥1,則

elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x.

設(shè)函數(shù)g(x)＝ex＋x,則不等式等價(jià)于g(lna＋x－1)≥g(lnx),易證g(x)在R 上單調(diào)遞增,則不等式等價(jià)于lna＋x－1≥lnx.設(shè)函數(shù)h(x)＝lna＋x－1－lnx,則不等式等價(jià)于hmin(x)≥0.因?yàn)?當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,所以hmin(x)＝h(1)＝lna,則lna≥0,解得a≥1,故a的取值范圍為[1,＋∞).

2)凹凸變形

證明f(x)＞1等價(jià)于x2ex－lnx＞1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞),所以不等式等價(jià)于

3 小結(jié)

隱零點(diǎn)問題常常與不等式的證明結(jié)合在一起,難度較大,是考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.處理這類問題的基本策略是整體代換和化隱為顯,前者需要構(gòu)造關(guān)于隱零點(diǎn)的方程,利用自變量或參數(shù)進(jìn)行整體代換.化隱為顯即是通過等價(jià)變形的手段改變代數(shù)式的結(jié)構(gòu),使得隱零點(diǎn)顯現(xiàn)出來,進(jìn)而解決問題.本文僅介紹了兩種化隱為顯的策略.當(dāng)然,化隱為顯的方法還有很多,留給讀者自行探索.

(完)