雙變量不等式問題的求解方法

鄭宏寶 吳晨亮

(西安市經開第三中學)

在函數與導數的問題中,雙變量不等式問題常常以壓軸題的形式出現在高考中,這類問題要求學生有較高的思維水平和較強的轉化能力,能較好地考查學生的綜合素養,因而備受命題者青睞.那么雙變量不等式問題,主要有哪些解法呢? 本文對此舉例說明.

1 極值點消元法

設函數f(x)有兩個極值點x1,x2,如果需要證明與f(x1),f(x2)有關的不等式,或根據給出的與f(x1),f(x2)有關的不等式,求參數的取值范圍,由于有兩個變量(x1,x2)和參數,處理起來較困難,此時可運用x1,x2是方程f′(x)＝0的實根來建立x1,x2和參數的關系,通過消元將問題化歸成單變量問題.

(1)若f(x)在(3,＋∞)上單調遞減,求實數a的取值范圍;

(2)若a＞0,f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:.(1)由題意可得在(3,＋∞)上恒成立,則在(3,＋∞)上恒成立,令,利用導數可求出其最小值為,故,即a的取值范圍是.

(2)由(1)知x1,x2滿足x2－ax＋1＝0,所以x1x2＝1,不妨設0＜x1＜x2,則x2＞1,所以

所以g(x)在(1,＋∞)單調遞減,又g(1)＝0,所以當x∈(1,＋∞)時,g(x)＜0,所以即.

2 整體換元法

整體換元法也是解決雙變量問題的一種方法.若能將要證明的不等式或目標代數式通過變形轉化成關于(或x1－x2)的整體結構,通過將(或x1－x2)換元成t,把問題化歸成單變量問題來處理,進而再構造關于變量t的函數解決問題.

(1)求函數f(x)的最大值;

(2)若關于x的方程有兩個不相等實數根x1,x2.證明:.

設g(x)＝ex＋x,顯然g(x)在R 上是增函數,又g(x＋lna)＝g(ln(x＋3)),所以有x＋lna＝ln(x＋3),即方程ln(x＋3)－x＝lna有兩個實數根x1,x2.

由(1)可知f(x)＝ln(x＋3)－x≤2,則有lna＜2,所以a的取值范圍為(0,e2).

因為方程f(x)＝lna有兩個實數根x1,x2,所以

故只需證x1＋3＋x2＋3＞2,即證

1)將方程實根個數轉化為ln(x＋3)－x＝lna有兩個實數根x1,x2.

2)通過變形,消去a并得到關于x1,x2的表達式,進而利用換元得到關于單變量t的函數表達式.

3 轉化同構法

若題干給出在區間D上,對任意的x1,x2,關于x1和x2的某不等式恒成立,且該不等式對x1和x2具有輪換對稱性,則這類問題一般根據不等式的等價變形,將原不等式化為F(x1)＜F(x2)這種同構形式,進而利用函數的單調性進一步研究待解決的問題.

(1)若函數f(x)的最大值為1,求實數a的值;

(2)證明:當m＞n≥1 時,nlnm－mlnn＜2(m－n)＋nem－men.

解得a＝1.

(2)欲證nlnm－mlnn＜2(m－n)＋nem－men,只需證即證

由(1)知當a＝1時,函數f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,所以當m＞n≥1 時,.

即

nlnm－mlnn＜2(m－n)＋nem－men,

命題得證.

以上三個問題都是具有較高難度的壓軸題,從三種不同類型題目的解法中不難看出,無論是消元、換元還是同構一元函數,其本質是一樣的,都是將二元問題轉化為一元問題來解決,這也是這類問題的難點所在.

(完)