對含參數不等式恒成立問題的解法探究

范明輝

(湖北省荊門市龍泉中學)

不等式恒成立問題是導數解答題的熱門考點,這種題型能夠有效考查學生對函數、不等式等知識的掌握情況,同時考查轉化與化歸、數形結合、分類討論、函數與方程、極限等思想,強調對知識的綜合應用能力和問題解決能力.而掌握此類問題的一般解法,對提高學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學學科核心素養有著重要的作用.

1 典例精析

(1)求f(x)的單調區間;

(2)若exlnx＋(m－ex)(x2＋1)＋(ex＋1)x≤0在x＞0上恒成立,求實數m的取值范圍.

分析第(1)問主要考查求函數的導數以及對參數分類討論的方法;第(2)問是典型的含參數不等式恒成立問題,解決這類問題需要學生將題目條件進行轉化,尋找解題突破點,難度較大,對學生的要求較高.

解(1)由題意可得

當m＝0時,,由f′(x)＞0,得x＜1,由f′(x)＜0,得x＞1,故f(x)在(－∞,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減.

當m＞0 時,由f′(x)＞0,得x＜1,由f′(x)＜0,得x＞1或,故f(x)在上單調遞增,在和(1,＋∞)上單調遞減.

當m＜0 時,由f′(x)＞0,得x＜1 或,由f′(x)＜0,得故f(x)在上單調遞增,在上單調遞減.

(2)思維角度1對參數分類討論

結合第(1)問的分析,在第(2)問中通過對題設不等式進行變形,直接對參數的范圍進行分類討論.

方法1因為exlnx＋(m－ex)(x2＋1)＋(ex＋1)x≤0,所以ex(lnx－x2＋x－1)＋mx2＋x＋m≤0,即

令g(x)＝x2－lnx－x＋1(x＞0),則

故g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增,gmin(x)＝g(1)＝1.

當m＜0時,由(1)知f(x)在(0,1)和＋∞)上單調遞增,在上單調遞減,且,且當x→＋∞時,f(x)→0－,故f(x)≤g(x)恒成立.

當m＝0時,由(1)知f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,故1,滿足題意.

若0＜m≤1,則,當0＜x＜1 時,則f′(x)＞0,當x＞1時,則f′(x)＜0,所以f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,故fmax(x)＝,又因為g(x)≥1,且g(x)和f(x)都在x＝1處取得最值,所以,解得所以.

若m＞1,則,由(1)得f(x)在(0,和(1,＋∞)上單調遞減,在上單調遞增,且,與①矛盾,不符合題意,舍去.

綜上,實數m的取值范圍為.

思維角度2函數恒等變形＋不等式放縮

放縮法是指根據題意對待證不等式有意識地放大或縮小,從而獲得符合題意結果的方法,通常可以借助函數的切線或二次曲線進行放縮.例如,利用切線不等式ex≥x＋1,lnx≤x－1(解答題應用時需要先證明)進行放縮,對學生的數學運算、邏輯推理等核心素養要求較高.

觀察不等式發現exlnx＋(m－ex)(x2＋1)＋(ex＋1)x≤0中帶有等號,而自變量的范圍x＞0 是不帶等號的,這說明等號成立的條件一定在區間(0,＋∞)的內部,注意到題設不等式中出現了對數式結構“lnx”,則考慮在“x＝1”處進行放縮.對于對數式結構“lnx”,通常借助不等式“x－1－lnx≥0”進行放縮,則可在原不等式中配湊結構“ex(x－1－lnx)”,再結合結構式“x2ex”及取等條件“x＝1”,配湊完全平方式“ex(x－1)2”,原不等式轉化為

ex(x－1－lnx)＋ex(x－1)2＋ex－x－m(x2＋1)≥0.

對于剩下的結構“ex－x－m(x2＋1)”,需要尋找指數結構“ex”在“x＝1”處的不等式,常見的切線不等式為“ex≥ex”,嘗試后發現放縮力度不夠,因此考慮二次放縮表達式

但是此不等式只在x≥1時成立,則考慮其一個加強型不等式

代入原不等式進行配湊,則有

方法2由于exlnx＋(m－ex)(x2＋1)＋(ex＋1)x≤0對?x＞0 恒成立,故(x2＋1)ex－exlnx－(ex＋1)x－m(x2＋1)≥0對?x＞0恒成立.

記g(x)＝(x2＋1)ex－exlnx－(ex＋1)xm(x2＋1),對g(x)進行恒等變形得

故h(x)在(0,3－e)和(1,＋∞)上單調遞減,在(3－e,1)上單調遞增,又h(0)＝1,h(1)＝1,故h(x)≤h(1)＝1,即ex－ex－(x－1)2≥0.

由于ex(x－1－lnx)≥0,ex(x－1)2≥0,ex－,當x＝1時,等號成立,所以當g(x)≥0恒成立,且當時,等號成立.當時,g(1)＝e－1－2m＜0,與g(x)≥0矛盾,故舍去.

思維角度3必要性探路

必要性探路法是從滿足題意的自變量范圍內選擇一個數代入題目條件中,從而求得參數范圍,此時這個范圍是滿足題意的必要條件.然后再設法證明該必要條件也是滿足題意的充分條件.若充分性也成立,則該范圍是滿足題意的充要條件,即為所求范圍;若充分性不成立,則可利用該范圍縮小所求參數的討論范圍.這種方法需要從邏輯上進行推理,先得到一個必要條件,因此稱為必要性探路法.利用必要性探路法解題時,要先取一個數,這個數的選取是至關重要的.如果要利用這個數得到參數的范圍,那么這個數要盡可能地使相應的函數值好計算,通常借助不等式的取等條件進行探路.

方法3當x＝1時,解得下證:當m≤時,原不等式恒成立.

由于exlnx＋(m－ex)(x2＋1)＋(ex＋1)x≤0對?x＞0恒成立,故(x2＋1)ex－exlnx－(ex＋1)x－m(x2＋1)≥0對?x＞0恒成立,而故只需證

記函數g(x)＝ex(x－1－lnx)＋ex(x－1)2＋,只需證g(x)≥0.

由于x－1－lnx≥0,(x－1)2≥0,當x＝1時,等號成立,只需證

求導分析記函數1),則有h′(x)＝ex－1－(e－1)x,h′(0)＝0,h′(1)＝0,記φ(x)＝ex－1－(e－1)x,則有φ′(x)＝ex－(e－1)在(0,＋∞)上單調遞增,又φ′(ln(e－1))＝0,故φ(x)＝h′(x)在(0,ln(e－1))上單調遞減,在(ln(e－1),＋∞)上單調遞增,所以h(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增,故h(x)≥h(1)＝0,即g(x)≥0恒成立,則.

“指數找朋友”在證明指數型不等式成立時,可以考慮將指數結構“ex”與不含指數結構的部分分離至不等式兩側,然后在不等式左右兩邊同時除以指數結構,然后構造函數求導證明,這樣可以避免多次求導.本題中,要證成立,即證,不等式左右兩邊同時除以,轉化為證明2,求導得

故ψ(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,所以ψ(x)≤ψ(1)＝2,故h(x)≥0恒成立.

(1)當a＝0時,求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)若f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.

分析本題題目條件簡潔,學生能夠很快鎖定主要信息.第(1)問主要考查求函數的導數、函數在某一點處導數的幾何意義以及直線的方程,較為基礎.第(2)問是典型的含參數不等式恒成立問題,下面就第(2)問的解法進行詳細介紹.

思維角度1必要性探路

本題中含有對數lnx,因此優先考慮x取e的指數冪,而定義域為(0,＋∞),故可取x＝e0＝1.

方法1取x＝1,則由f(1)≥0,得a≥1.

當a≥1 時,f(x)≥2(x－2)lnx＋x2－1,令g(x)＝2(x－2)lnx＋x2－1,則g′(x)＝2(lnx＋,令h(x)＝g′(x),則,所以h(x)在(0,＋∞)上單調遞增.又g′(1)＝0,所以當0＜x＜1 時,g′(x)＜0,g(x)在(0,＋∞)上單調遞減,當x＞1時,g′(x)＞0,g(x)在(0,＋∞)上單調遞增,故g(x)≥g(1)＝0,則f(x)≥g(x)≥0,滿足題意.

綜上,a≥1.

思維角度2參變分離

參變分離是指通過分離參數和變量,將參數和變量放在不等式兩側(右側為不含參數的函數),通過討論變量部分代數式的范圍,進而確定參數的范圍.分離變量后,通常要對不等式右側的函數進行求導,尋找其最值,對學生數學運算核心素養的要求較高.

方法2因為當x＞0時,f(x)≥0恒成立,對不等式2(x－2)lnx＋ax2－1 ≥0 變形整理得.

又因為h(1)＝0,h(e)＝－6＜0,h(e2)＝2e2－14＞0,所以?x1∈(e,e2),使得h(x1)＝0,當0＜x＜1時,h(x)＞0,當1＜x＜x1時,h(x)＜0,當x＞x1時,h(x)＞0,故當0＜x＜1時,g′(x)＞0,當1＜x＜x1時,g′(x)＜0,當x＞x1時,g′(x)＞0,所以g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,x1)上單調遞減,在(x1,＋∞)上單調遞增,當x→0＋時,g(x)→－∞,g(1)＝0,因為,所以g(x1)＜0,當x→＋∞時,g(x)→0－,所以gmax(x)＝g(1)＝1,即a≥1.

思維角度3函數恒等變形＋不等式放縮

本題函數表達式中出現了對數,因此聯想到對數切線不等式lnx≤x－1,結合函數y＝lnx和y＝x－1的圖像,可以發現當0＜x＜1時,lnx＜0,x－1＜0.當x＞1 時,lnx＞0,x－1＞0.當x＝1 時,lnx＝x－1＝0,因此(x－1)lnx≥0,題設函數中有一部分為2(x－2)lnx,可變形為2(x－1)lnx－2lnx,而由lnx≤x－1,可將－2lnx變形為2(x－1－lnx)－2x＋2,即將f(x)＝2(x－2)lnx＋ax2－1 變形為f(x)＝2(x－1)lnx＋2(x－1－lnx)－2x＋1＋ax2,由－2x＋1聯想到完全平方式(x－1)2＝x2－2x＋1,可將－2x＋1＋ax2變形為(x－1)2＋(a－1)x2,故函數可變形為f(x)＝2(x－1)lnx＋2(x－1－lnx)＋(x－1)2＋(a－1)x2,而2(x－1)lnx≥0,當且僅當x＝1時,等號成立.2(x－1－lnx)≥0,當且僅當x＝1時,等號成立.(x－1)2≥0,當且僅當x＝1時,等號成立.當a－1≥0,即a≥1時,有f(x)≥0成立,當a＜1時,由取等條件x＝1得f(1)＝a－1＜0,與f(x)≥0矛盾,不符合題意.

綜上,a≥1.

方法3f(x)＝2(x－1)lnx＋2(x－1－lnx)＋(x－1)2＋(a－1)x2,由于2(x－1)lnx≥0,當且僅當x＝1時,等號成立,2(x－1－lnx)≥0,當且僅當x＝1 時,等號成立,(x－1)2≥0,當且僅當x＝1時,等號成立,故當a－1≥0,即a≥1 時,有f(x)≥0成立,當a＜1時,f(1)＝a－1＜0,與題設條件f(x)≥0矛盾,不符合題意.

綜上,a≥1.

2 小結

解題是對數學知識的綜合應用,學生一定要注重解題思維的發散性,多思考能否進行“一題多解”,從不同的角度去認識數學問題,發現其本質,避免一條路走進死胡同.利用導數工具解決含參數不等式恒成立問題,本質上是利用導數求函數的單調性、最值問題,考查轉化與化歸、分類討論、極限、數形結合、函數與方程等思想,要求學生能夠融會貫通、靈活運用高中數學階段的幾種核心數學思想和方法.

(完)