探究含量詞的雙元型不等式求參問題

戴樂樂

(浙江省寧波市北侖區泰河中學)

在一些含有存在量詞或全稱量詞的導數綜合問題中,常常出現含有兩個變元x1,x2的不等式,根據不同的數學用語,這些問題也體現出不同的數學含義,經過等價轉化后可將所求問題變形為不同情形下關于兩個函數最值的不等式問題.本文對此進行分類歸納,并通過對幾個典型例題的分析,探求一些常用的解題方法,供讀者參考.

結論1若?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)＜g(x2)恒成立,則fmax(x)＜gmin(x).

當x∈(0,＋∞)時,,解得x＝上單調遞減,在)上單調遞增,故fmin(x)＝2e,所以f(x)≥2e,當且僅當x＝時,等號成立.

結論2若?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)＞g(x2)恒成立,則fmin(x)＞gmax(x).

結論3若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＜g(x2)成立,則fmax(x)＜gmax(x).

結論4若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＞g(x2)成立,則fmin(x)＞gmin(x).

當x∈[1,2]時,f′(x)≥0,所以f(x)在[1,2]上是增函數,故.又g(x)的對稱軸為x＝b,對于x∈[1,2],當b＜1時,gmin(x)＝g(1)＝5－2b.由,解得,這與b＜1矛盾,不符合題意;當1≤b≤2時,gmin(x)＝g(b)＝4－b2.由,得,這與1≤b≤2矛盾,不符合題意;當b＞2時,gmin(x)＝f(2)＝8－4b.由8－,得,滿足題意,故實數b的取值范圍是.

結論5若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＞g(x2)成立,則fmax(x)＞gmin(x).

當x∈[1,2]時,有fmax(x)＝f(2)＝1.依題意,當x∈恒成立,等價于a≤x－x2lnx恒成立.設

h(x)＝x－x2lnx(x∈[1,2]),

則h′(x)＝1－x－2xlnx,當1＜x＜2時,h′(x)＜0,所以h(x)在區間[1,2]上是減函數,所以hmin(x)＝h(2)＝2－4ln2,則a≤2－4ln2,即實數a的取值范圍是(－∞,2－4ln2].

結論6若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)＜g(x2)成立,則fmin(x)＜gmax(x).

綜上,實數a的取值范圍是.

(完)