構造偏移函數在“極值點偏移”問題中的應用

王麗萍

(山東省淄博市高青縣第一中學)

極值點偏移問題是高考命題的常考題型,此類問題題型豐富,方法靈活,是考查學生思維能力的重要載體,且常以壓軸題的形式出現,因此也成為學生解題中的難點問題.極值點偏移問題的求解方法較多,常用的主要有構造偏移函數、比值換元以及對數均值不等式等.本文通過分析極值點偏移問題的命題背景,重點歸納總結構造偏移函數法的本質,并應用其處理2022年高考全國卷導數壓軸題,以期幫助學生提升解題能力.

1 考題展示

題目(2022年全國甲卷理21)已知函數f(x)＝.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則

x1x2＜1.

本題的命題背景就是極值點偏移,此類問題在近年高考中屢見不鮮,包括2021年高考全國Ⅰ卷第22題.下面從背景分析、通法研究、考題解答、問題變式這幾個視角對命題視角及解答方法進行探究.

2 背景分析

設方程f(x)＝m的兩個根分別為x1,x2,函數f(x)的極值點為x0.

如果x1,x2的中點恰好為x0,即,這種情況我們稱極值點無偏移.此類函數在x＝x0兩側,函數值變化快慢相同,常見的二次函數就是無極值點偏移類型的函數.

以此為背景的問題我們稱為極值點偏移問題.

3 通法研究

通過對背景的分析,我們不難發現極值點偏移問題有如下幾個特征:存在x1,x2且x1≠x2,使得f(x1)＝f(x2);x＝x0是函數的極值點,即函數增減區間的分界點;要證明的是x1＋x2＞2x0,x1＋x2＜等.

對于證明x1＋x2＞2x0的情況,即2x0－x1＜x2,其中x1＜x0＜x2,所以x2與2x0－x1在同一單調區間(x0,＋∞)內,x2與2x0－x1的大小關系可通過f(x2)與f(2x0－x1)的大小關系來判斷.又因為f(x1)＝f(x2),從而將問題轉化為判斷f(x1)與f(2x0－x1)的關系,而這兩個函數的變量均為x1,故可構造函數g(x)＝f(x)－f(2x0－x),利用該函數的性質進一步判斷.

4 考題解答

下面利用構造偏移函數法解答2022年全國甲卷理科第21題.

(1)函數f(x)的定義域為(0,＋∞),求導得

由f′(x)＝0,得x＝1,在(0,1)上,f′(x)＜0,f(x)單調遞減;在(1,＋∞)上,f′(x)＞0,f(x)單調遞增,所以fmin(x)＝f(1)＝e＋1－a.

由f(x)≥0,得e＋1－a≥0,所以a≤e＋1,即a的取值范圍是(－∞,e＋1].

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2,則由(1)可知e＋1－a＜0,a＞e＋1.

令0＜x1＜1＜x2,欲證x1x2＜1,即證.即證明.

又因為f(x)在區間(1,＋∞)上單調遞增,所以只需證明,又f(x2)＝f(x1),所以只需證.

通過考題解答不難發現處理極值點偏移問題有幾個關鍵環節:1)求函數的極值點;2)對所證結論進行相應變形;3)構造偏移函數,將雙變量問題統一為單變量問題,求函數的單調區間.

5 問題變式

2022年高考全國甲卷這道導數題,從命題形式上來看屬于比較規范的極值點偏移問題,而有些問題表面上看與極值點偏移類型不符,但通過等價變形,可轉化為極值點偏移問題.

變式1已知函數.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則

x1x2＜2.

分析本題將第(2)問中x1x2＜1,改為x1x2＜2,2不是函數f(x)的極值點,不能機械地套用通法.如果x1x2＜1,則必有x1x2＜2,所以問題的解答仍從證明x1x2＜1入手.另外還有些題目將其中的極值點參數化,但解題所用的通法不變.

變式2已知函數,若存在x1,x2且x1≠x2,使得f(x1)＝f(x2),證明:.

分析本題從所證的結論看,與極值點偏移類型不符,我們先來研究函數的單調性,對函數求導得即f′(1)＝0,當x＞1時,f′(x)＜0,函數f(x)單調遞減;當x＜1 時,f′(x)＞0,函數f(x)單調遞增.因此,證明,即證,即證,進而轉化為極值點偏移問題.

變式3已知函數,x1,x2是函數f(x)的兩個零點,且x1＜x2.

(1)求實數a的取值范圍;

分析若本題第(2)問也按變式2的方法,先求函數f(x)的極值點,但求導后發現導函數的零點無法求出,使解題陷入困境.

高考中的極值點偏移問題,雖然較為抽象,綜合性強,問題的求解要求學生具有較強的數形結合能力、化歸與轉化能力,但是只要我們能準確識別條件、抓住轉化關鍵點、明確問題求解的通性通法,即可化難為易,輕松破解.

(完)