獨辟蹊徑，柳暗花明

魏玉娟

摘 要：初中數學題目具有難度系數高、運算量大等特點，對學生的數學基礎知識、數學思維要求相對比較高，尤其是一些非典型的問題，唯有另辟蹊徑，借助一個或者若干個新的元素進行替代，充分借助變量代換的手段，實現化繁為簡、化難為易，最終完成題目的解答.本文以此為切入點，結合大量的例題，針對換元法在初中數學不同類型題目中的具體應用進行探究.

關鍵詞：初中數學；解題教學；換元法；數學思維

在最新版的《義務教育數學課程標準》中，明確提出了初中數學教育目標：引導學生在學習的過程中，掌握必備的數學知識、數學技能，了解基本的數學概念，體會其中蘊含的數學思想和數學方法，進而促使學生在學習中逐漸形成必備的解題能力.但是學生在解題時常常會遇到一些非標準、典型的題目.如果按照常規的解題思路，學生則常常碰壁，甚至出現種種錯誤.鑒于此，即可轉變解題思路，借助變量代換的方式，通過引入一個或者若干個全新的元素，替代原問題中的“元”，最終達到化繁為簡、化難為易效果.

1?換元法概述

換元法又被稱之為“輔助元素法”“變量代換法”，主要是運用一個新的變量，代替原本題目中的某一個元素，即運用一個新的元素，代替問題中原來的“元素”，進而使得原本非標準、非典型的數學問題變得更加標準、典型，有效降低學生的解題難度.從本質內涵上來說，換元法就是變量代換、轉化，其關鍵在于合理選擇出“新元”，并將其帶入到數學問題中，進行適當地代換，促進數學問題的轉化，以便于學生快速找到解題的思路，順利解決數學問題.

縱觀初中數學解題現狀，在實施“換元法”時，基本上都是遵循“換元——求解——檢驗”的步驟.常用的三種換元方法主要包括：局部換元、三角換元、均值換元.其中，局部換元就是在數學解題中，某一個代數式反復出現了幾次，就可采用一個字母進行代替，促使繁雜問題簡單化.通常，這一換元方式常常被應用到不等式問題求解中；三角換元則是在解決去根號、變換為三角形的解題中，運用已知代數式和三角知識內在連接點進行換元，常常將函數問題轉化為學生熟悉的三角函數進行解答；均值換元則常常被應用到“兩個未知量和是已知”情況，可借助均值換元的模式，運用新的變量將兩個未知量表示出來，進而完成數學問題的解答^［1］.

2?換元法與初中數學解題

換元法是轉化思想的具體體現，又被稱之為變量代換法、輔助元素法，主要基于問題的結構特點，通過引進一個或者兩個新的輔助元素替代原問題中的某個元素，將原本非標準、非典型的數學問題進行轉化，使其成為標準、典型的數學題目，以便于學生靈活解題.從其本質上來說，換元法就是等量代換，解題的關鍵就在于分析題目，科學把握題目中的“元”，并通過假設未知數的方式進行替換^［1］.

在初中數學解題中，以整體換元、常值換元、倒數換元最為常見.

可以說，在初中數學解題中，換元法無處不在，唯有認真觀察題目、分析題目的結構特征，才能靈活借助不同換元方法進行解答，旨在提升學生的解題效率^［2］.

3?換元法在初中數學解題中的具體應用

3.1?換元法分解因式

因式分解是初中數學中的重要組成內容，涉及到了大量基礎知識，如：加減乘除、平方、代數式，對學生的知識掌握情況、計算能力都提出了更高的要求.同時，因式分解也是初中數學的難點，尤其是當題目中涉及到繁雜的多項式時，傳統解題思路只會導致學生碰壁、出錯，唯有借助換元的思想，運用“新元”代替原題目中的“舊元”，才能實現復雜題目簡單化.

例1?分解因式（x²+4x+6）（x²+6x+6）+x2.

解析：分析本題后發現可選擇相同的多項式作為“舊元”，借助新的“元”進行替代.即假設x²+6=t，則原式即可化簡為

（t+4x）（t+6x）+x²=t²+10tx+25x²=［（x+2）（x+3）］²=（x+2）²（x+3）².

在這一解答中，主要運用了局部換元的方法，將原本復雜的問題簡單化.同時，還可以從整體視角，借助整體換元法，假設x²+4x+6=t，以此形成新的解題思路.

例2?分解因式（b+c-2a）³+（c+a-2b）³+（a+b-2c）³.

解析：在解答本題目時，如果按照常規思路：去括號——分解.學生將會面臨著繁瑣的過程、極大的計算量.鑒于此，在優化解題時，即可借助換元思想，設b+c-2a=x，c+a-2b=y，a+b-2c=z，

因為（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，則有x+y+z=0，

又因為x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-xz），

因此x³+y³+z³-3xyz=0，

即：原式=x³+y³+z³-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）.

可見，解決本題的關鍵就是找到關于a、b、c的關系式（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，再根據關系式找到換元的點，并運用新元代替，進而將復雜的問題簡單化.

3.2?換元法解答整式計算

整式計算尤為常見，在考試中常出現一些繁瑣的題目.面對這些復雜的題目，就需要借助換元的思想，將題目中結構相同的部分視為一個整體，并運用新元替換，進而將原本復雜、綜合性的問題轉化為普通的問題，以便于學生輕松解答.

例3?計算

（1-2-3-…-998）（2+3+4+…+999）-（1-2-3-…-999）（2+3+4+…+998）.

解析：按照傳統思路解題，學生將會面臨著巨大的計算量，很難在有限的時間內高效解題.鑒于此，即可另辟蹊徑，根據第一個和第四個括號中的內容、第二個和第三個括號中內容的相同點，借助換元的思想進行替代：假設（2+3+4+…+999）=a，（2+3+4+…+998）=b.

則原式=（1-b）a-（1-a）b=（a-ab）-（b-ab）=a-b=999.

可以說，在解答本題目之前，必須要對題目展開詳細的分析，結合題目的特點，找出相同的部分，并運用字母進行替換，最終在換元思想的輔助下，將題目簡單化，進而高效解答問題.

例4?求2（ax+by）（by-ax）-（ax+by）²-（ax-by）²的值.其中x=-1，a=-4.

解析：學生在解答問題時，常常受到條件、變量的限制，致使其無法厘清題目的思路.鑒于此，可借助換元思想進行解答：假設ax+by=m，ax-by=n.

則原式可變為-2mn-m²-n²=-（m+n）²=-（ax+by+ax-by）=-（2ax）².

之后將x=-1，a=-4代入到原式中，即可得出-（2ax）²=-64.

這一題目看似沒有實質性的邏輯聯系，但深入挖掘后會發現只要運用換元思路，借助變量代換，即可轉換題目的形式，最終輕松解答問題.如此，不僅降低了學生的解題難度，也促使學生在換元代換的過程中，促進了數學思維的發展^［3］.

3.3?換元法化簡二次根式

二次根式化簡是初中數學中最為常見的題目.針對一些綜合性、難度系數比較高的問題，如果采用直接化簡的方式，常常會受到阻礙，甚至超出了學生的已有知識范圍.鑒于此，即可融合換元思想，借助整體、局部或者常值換元等方式，另辟蹊徑，從其他的角度進行解題.

在化簡二次根式題目中，利用兩個式子之間的倒數關系進行換元尤為常見，這種方式又被稱之為對偶換元法，可迅速打開學生的解題思路.

3.4?換元法解答方程（組）問題

方程（組）是初中數學的重要組成內容，對學生的數學基礎知識、思維能力要求比較高.尤其是針對一些難度系數比較高的方程（組），按照常規的解題思路，學生常常面臨著繁瑣的計算，甚至超出了學生的已有知識范圍.鑒于此，即可借助換元思想，將繁瑣的新知識轉化為舊知識，以便于學生靈活運用所學的知識解答問題.

即：x²-10x-45=-6，再次解方程得出x₁=13，x₂=-3.

經過代入檢驗，即可得出x₁=13，x₂=-3為原方程的解.

可見，在解答超出認知范圍、已有學習能力之外的方程時，通過認真觀察、分析題目學生能夠結合題目的結構特點，對其進行靈活換元，進而完成題目的高效解答.

例8?解方程（x²+2x）²-2（x²+2x）-3=0.

解析：方程中涉及到了高階方程，按照初中生已有的知識和能力，很難完成對此題目的解答.據此，即可融入換元思想，將高階方程的部分進行替換，即設x²+2x=t，

因此，t²-2t-3=0.

解得t₁=3，t₂=-1.

當t₁=3時，解方程x²+2x=3，得x₁=-3，x₂=1.

當t₂=-1時，解方程x²+2x=-1，得x₃=x₄=-1.

因此原方程的解為x₁=-3，x₂=1、x₃=x₄=-1^［4］.

3.5?換元法在其他題目中應用

經課堂教學實踐證明，換元思想在初中數學解題中隨處可見.通過換元思想的滲透，可將原本復雜的題目進行簡化，或者幫助學生打通一條全新的解題路徑，在節省時間的同時，也提升了學生的解題效率.

可見，在本題目中，正是運用了換元的思想，將原本復雜的題目進行了轉化，簡化了求最值的方式，也顯著提升了學生的解題效率^［5］.

4?換元法在初中數學解題中應用注意事項

經課堂教學實踐證明，換元法在初中數學解題中尤為常見，彰顯出極大的應用價值.鑒于此，若想真正提升學生利用換元法解題的能力，教師在日常教學中，不僅要強化學生的換元法應用意識，還應掌握具體的應用原則，注意以下三個方面：

第一，注重換元的應用性.雖然換元法應用路徑廣泛，但并不意味著每一個數學問題都適合換元法解題法.教師在日常教學中應通過逐步滲透的方式，強化其使用技巧，弱化盲目、隨意換元的現象，引導學生在解答問題之前，對問題進行合理地分析，明確換元是否具備轉化的條件.同時，教師在日常教學中，還應指導學生對相關的題目類型進行歸納、整合，以便于學生高效掌握換元的技能.

第二，關注題目的結構性.在初中數學解題中，換元法是一種非常重要的解題方法，在實際應用時，應關注題目的內在結構，唯有精準把握數學問題的內在規律，才能靈活選擇整體換元、常值換元、倒數換元的方式來解答題目.例如，在解答根號問題時，即可選擇三角換元法，將其轉化為三角函數的最值問題，但當學生遇到定義域、奇偶問題時，就不再適合運用這種解題方法.

第三，還應關注換元的等價性.在借助換元法解答數學問題時，其本質特征是利用變量進行替換.這就要求在具體的教學中，引導學生注重新元和舊元之間要保持等價.否則，就會出現偏差，影響學生的解題效率.而要做到這一點，在日常教學中，應適當引入針對性的訓練，引導學生通過針對性的等價換元訓練，掌握換元解題的技巧^［6］.

5?結束語

綜上所述，換元解題是一種非常重要的解題方法，通過換元法的應用，可借助新元素代替問題中的“舊元”，另辟蹊徑，將原本復雜的問題簡單化、將非標準的問題標準化，真正提升學生的解題效率.鑒于此，教師在日常教學中，唯有徹底轉變傳統的解題教學模式，基于換元法的內涵，將其靈活應用到各類題目的解答中，才能促使學生在日常解題訓練中感悟還原解題法的內涵，掌握換元解題的技能等，真正提升學生的換元解題能力.

參考文獻：

［1］ 李元杰.初中數學解題中換元法例題解析［J］.數理天地（初中版），2022（18）：29-30.

［2］ 李光寰.換元法思想在初中數學教學中的應用［J］.學周刊，2022（23）：54-56.

［3］ 孟小娟.怎樣用換元法解初中數學題［J］.語數外學習（初中版），2021（12）：26-27.

［4］ 于海峰.論換元法在初中數學解方程中的應用［J］.現代中學生（初中版），2021（20）：26-27.

［5］ 賴振華.換元法在初中數學解題中的應用［J］.數理化解題研究，2020（17）：13-14.

［6］ 楊成能.換元法在初中數學解題中的應用分析［J］.讀寫算，2020（2）：70.