姜鴻雁，徐德同

（江蘇省無錫市蠡園中學；江蘇省中小學教學研究室）

2022年中考是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）正式頒布后的第一次中考.《標準（2022年版）》在學業質量和考試命題方面有諸多新理念、新思考、新導向.為了分析《標準（2022年版）》的導向引領作用，我們選取了49份2022年中考數學試卷，針對其中涉及“圖形的性質”內容的試題，比對《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）與《標準（2022年版）》的異同，對考查內容和命題特點進行分析，并對中考復習教學提出建議，以期對一線教學有所幫助.

一、考查內容分析

《標準（2022年版）》將義務教育階段的數學課程內容劃分成數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域.其中，“圖形與幾何”領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題.下面結合2022年中考相關試題，將《標準（2022年版）》對“圖形的性質”的學業要求、內容要求，以及兩個版本課程標準的對比分析進行簡要闡述.

1.學業要求及分析

（1）“圖形的性質”學業要求.

《標準（2022年版）》對第四學段（7～9年級）“圖形的性質”的學業要求如下：了解點、線、面、角的概念，掌握三角形、平行四邊形、多邊形、圓的概念.知道圖形的特征、共性與區別，理解線段長短的度量，探究并理解角度大小的度量，理解兩條直線平行或垂直的關系，形成和發展抽象能力；在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎上，經歷得到和驗證數學結論的過程，感悟具有傳遞性的數學邏輯，形成幾何直觀和推理能力；經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理與方法，發展空間觀念和空間想象力.

在第四學段，“圖形與幾何”領域主要以點、線、面、角、三角形、四邊形和圓為主要研究對象.從微觀角度，通過研究圖形的性質形成推理能力，在直觀理解和從基本事實出發推理的過程中，感悟有因果性的數學邏輯，發展有條理地表達的能力.從中觀角度，圖形的性質可以從圖形變化和量化分析的角度加以應用，進一步發展空間想象能力和創新意識，所以研究“圖形的性質”離不開“圖形的變化”和“圖形與坐標”，三個主題有機構成“圖形與幾何”領域.進一步地，“圖形的變化”內容也少不了對圖形的定性分析和定量刻畫.代數式、方程、函數等是刻畫數量關系的有效手段，因此，“圖形與幾何”與“數與代數”有著千絲萬縷的聯系.從宏觀角度，我們生活在豐富的圖形世界里，成長在源遠流長的歷史長河中，所以在數學以外的其他方面也離不開圖形的性質，所有這些“特質”注定“圖形的性質”內容在中考命題中舉足輕重.

（2）分值占比、題型和難易程度.

從分值的占比看，49份樣本試卷中，“圖形與幾何”領域的分值一般占卷面總分值的42%左右.其中，“圖形的性質”內容的分值占“圖形與幾何”領域的65%左右，有的甚至達75%，最低達到了50%.倘若考慮以“數與代數”為主的試題涉及“圖形的性質”這個因素，則“圖形的性質”分值占比會更高.

從考查的題型來看，選擇題、填空題、解答題（包括運算、作圖、操作探究、綜合與實踐等）各類題型中都有“圖形的性質”的“蹤跡”（臺灣卷解答題中沒有出現“圖形的性質”）.從試題的難易程度來看，“圖形的性質”相關試題在基礎題、中檔題、較難題中均有涉及，還有一些壓軸題以“圖形的性質”為主，結合其他知識，綜合考查學生解決問題的能力.

2.內容要求及分析

點、線、面、角是構成幾何圖形的基本要素.“圖形的性質”是以相交線與平行線、三角形、四邊形、圓為主體圖形的縱向知識結構，同時，是在研究這些圖形的性質及圖形與圖形關系的基礎上，以定義、命題、定理為主的橫向推理系統.學生以學習具體圖形為抓手形成幾何直觀和空間想象能力，發展邏輯推理素養.

“兩點之間線段最短”及“角的大小是指兩條邊張開的程度”分別揭示了線段和角的基本屬性，能對線段和角度比較大小、計算和差是對學生的基本要求，但直接考查這部分內容的試題并不多.2022年全國各地區中考試卷中，涉及該部分內容的亮點試題有：臺灣卷第16題（詳見例2）；河北卷第13題以五邊形的不穩定性為外在表現形式進行命制，主要考查兩點之間線段最短；吉林長春卷第23題第（4）小題是以“兩點確定一條直線”為問題解決打開思路（詳見例8）.這說明這部分內容雖然難度不大，但內涵豐富.

相交線與平行線是通過角與角之間的數量關系和位置關系進行刻畫的；垂線段的長度是指點到直線的距離；平行線基本事實Ⅱ是推導平行線的性質定理和判定定理的基礎.多地試卷中以選擇題和填空題的形式考查這部分內容，基礎題居多.其中，河北卷第11題以學生熟悉的練習本線條夾角不能直接測量為問題情境，呈現多種解決問題的方案，考查平行線的性質，體現在問題解決的過程中運用轉化思想及推理的必要性.江蘇常州卷第6題以行人過斑馬線的實際生活情境為命題背景，考查垂線段最短，體現生活讓人“知其然”，數學能讓人“知其所以然”，這就是說理的意義與價值.

在“圖形的性質”內容中，三角形、四邊形、圓的研究歷程基本一致.首先，從概念或相關概念出發，分析構成它們的基本元素及其相關元素——線段（邊、中線、高線、角平分線、中位線、對角線、弦等）、角（內角、外角、圓周角、圓心角等）之間的關系，在研究關系的過程中掌握圖形的性質與判定，在解決問題的過程中體現性質與判定的應用價值.其次，在從一般到特殊的過程中深入認識圖形.例如，從一般三角形到特殊三角形，從一般四邊形到平行四邊形再到特殊平行四邊形，在這個過程中，感受概念的外延越來越小，內涵越來越豐富.最后，三角形是研究其他圖形的基礎，所以研究三角形之間的關系也是“圖形的性質”不可或缺的部分，包括全等三角形及全等變換、相似三角形、三角函數（相似三角形、三角函數屬于“圖形的變化”主題）等.由49份樣本試卷可以看出，這部分內容是“圖形的性質”的內核，綜合考查學生的閱讀理解、遷移轉化能力，以及幾何直觀、空間觀念、推理能力、抽象能力等素養.

對于“定義、命題、定理”，要了解它們的意義，結合實例區分命題的條件和結論，能夠識別互逆命題，了解反例的作用等.在49份樣本試卷中，江蘇無錫卷以選擇和填空兩種題型考查“命題”；北京卷第20題、江西卷第19題分別考查三角形內角和定理、圓周角定理的證明；寧夏卷第26題考查勾股定理的證明、應用與推廣，體現中考命題回歸教材.數學命題是對數學結果的描述，如浙江杭州卷第9題對命題的考查不局限于“圖形的性質”，而是推廣到了“數與代數”領域.

3.兩個版本課程標準的對比分析

《標準（2022年版）》是《標準（2011年版）》的延續與發展，前者更加注重素養立意，對“圖形的性質”中部分概念的行為動詞進行調整，尺規作圖相關要求變化較大，四邊形部分增加了對梯形的學習要求.2022年中考試卷中有以梯形為背景命制的試題，主要與三角函數的應用相結合，本文不再敘述.

（1）對部分概念的行為動詞變化的分析.

“了解”和“理解”是描述結果目標的行為動詞，也是學習者對知識、概念或原理的心理意義建構的過程.“了解”是指從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或舉例說明對象.“理解”是指能描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系.相比之下，“理解”比“了解”深刻，對學生的學習要求更高.《標準（2022年版）》將等腰三角形的概念、直角三角形的概念、兩條平行線之間的距離、點與圓的位置關系等由《標準（2011年版）》中的“了解”提升為“理解”，進一步突顯了三角形、四邊形和圓這部分內容在初中數學中的核心地位.

（2）尺規作圖的變化分析.

尺規作圖是《標準（2011年版）》“圖形的性質”的第6組成部分，除5種基本作圖外，還包括利用基本作圖作三角形、三角形的外接圓和內切圓、圓的內接正方形和正六邊形等，并要求了解作圖的道理.

《標準（2022年版）》保留上述作圖要求，并將其與其他內容進行整合.將“作一條線段等于已知線段”前置到第二學段（小學3～4年級）；將“作一個角等于已知角”和“作一個角的平分線”整合到點、線、面、角部分；將“作一條線段的垂直平分線”和“過一點作已知直線的垂線”整合到相交線與平行線部分；將利用基本作圖作三角形融合到三角形部分；將外接圓、內切圓等作圖融入到圓的部分.除此之外，增加了“過直線外一點作這條直線的平行線”和“過圓外一點作圓的切線”，后者是選學內容.

對于這些變化，我們認為，《標準（2011年版）》關注作圖的基本技能，也注重作圖過程中的邏輯推理，《標準（2022年版）》將基本作圖整合到相關知識之中，這既是對作圖技能及蘊含其中的邏輯推理要求的延續，又是對作圖的結果與過程進行的綜合分析與思考，加強幾何直觀.學生先直觀感受圖形的存在性，再研究所作圖形的合理性，并在研究圖形合理性的過程中，反思作圖過程的邏輯性，使幾何直觀和推理能力相輔相成、螺旋上升，促使數學核心素養悄然落地.

49份樣本試卷中，考查尺規作圖的試卷有30份，分值從2～10分不等，涉及多種題型，試題呈現方式多樣，以“適當給出作圖語言和作圖痕跡，繼續完成作圖或解決其他問題”的形式居多，如西藏卷第8題、內蒙古包頭卷第18題等；也有直接要求完成指定作圖任務的試題，如廣東廣州卷第22題、廣西北部灣經濟區卷第21題等；還有將數學史與尺規作圖相結合的試題，如甘肅蘭州卷第22題（詳見例9）等.此外，湖南長沙卷第10題、湘潭卷第12題，江蘇南通卷第21題、蘇州卷第14題、連云港卷第16題、泰州卷第25題、揚州卷第26題、無錫卷第24題等均從不同角度考查了尺規作圖.

二、命題特點分析

圖形的性質強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理.研究圖形的性質始于實驗和直觀，因此生活情境和數學活動中產生的問題，以及由問題引發的思考都是研究圖形的性質的出發點，基本思想方法是分析、解決問題的出路.因此，問題情境的自然、問題意識的體現、通性通法的運用，是2022年中考“圖形與幾何”領域命題的主旋律.下面分別從生活情境、數學活動、問題研究、問題結構、辯證思考、數學文化6個方面分析“圖形的性質”命題的特點、導向與創新.

1.源于生活情境，立足考查“四基”

從49份樣本試卷中我們可以看到，玩具（不倒翁、七巧板、鐵環等）、學具（三角尺、量角器）、日常生活用品（衣架、時鐘）、日常生活場景（廣場雕塑、過馬路）等，都是中考試題中常采用的問題情境.在學生熟悉的情境中，考查學生的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（即“四基”），公平、公正、合理.

例1（北京卷）如圖1，利用工具測量角，則∠1的大小為（ ）.

圖1

（A）30° （B）60°

（C）120° （D）150°

答案：A.

考查目標：角的度量.

命題意圖：對于生活中不能直接測量的一些角（包括幾何體的平面角），如何利用數學的知識和原理來解決呢？可運用“對頂角相等”這一基礎知識，利用熟悉的工具——量角器，解決此類問題，體現轉化思想.

命題評價：角的度量體現了角的本質，是角這一基本圖形的重要考點.此題是基礎題，既考查基本概念，又指向積累基本活動經驗，積淀創新意識.蘇科版教材、人教版教材中都有類似習題.此題引導教學回歸教材、回歸生活，這是今后中考命題的導向，也是評價改革的趨勢.

例2（臺灣卷）緩降機是火災發生時避難的逃生設備，圖2是廠商提供的緩降機安裝示意圖，圖中呈現在三樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）.若某棟建筑的每個樓層高度皆為3米，則根據如圖2所示的安裝方式在該建筑八樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）為多少米？（說明：原題單位是“公尺”，此處改成“米”.）

圖2

（A）21.7 （B）22.6

（C）24.7 （D）25.6

答案：A.

考查目標：線段之間的和差關系.

命題意圖：此題以工程設備安裝為背景命題.學生經過閱讀、觀察、抽象的思維過程，提煉解題實質是判斷樓層高度、安全帶、繩長等“線段”間的和差關系，并進行有關計算.結合生活實際，可以直觀發現變化的是樓房層數與繩長，其他“線段”長度不變，由這個基本活動經驗可計算得在八樓安裝緩降機所需的繩長.

命題評價：線段之間的和差關系是研究圖形與圖形之間數量關系的起點.此題將這一知識融合在生活實際之中，體現課程目標中的應用意識.另外，若深入思考，不妨設樓層n與繩長S（米），充分運用積累的活動經驗，可以得到S與n之間具有如下數量關系：S=3（n-1）+1.6-0.5-0.4，即S=3n-2.3（樓層高度在城市消防能力范圍內）.在從特殊到一般的基本思想方法的引領下，可以發現新的“生長點”.由此，此題跨越“圖形與幾何”“數與代數”兩個領域，同時可見“工程安裝問題”與數學學科的跨學科融合的端倪.

在2022年全國各地區中考試卷中，從真實的生活情境中提煉數學模型，立足考查“四基”的同時，考查學生抽象能力、推理能力的試題有很多.例如，江蘇連云港卷第7題以鐘表為背景考查圓中陰影部分面積的計算，河南卷第22題以傳統游戲“滾鐵環”為背景考查切線的性質及三角形的有關計算等主干知識.通過這些源于生活情境的試題，充分體現了數學知識在生活中的廣泛應用性.

2.基于數學活動，注重考查“四能”

數學活動是以“做數學”為支架，學生通過折紙、裁剪、實驗等真實體驗獲得數學概念，發現數學規律，并應用規律解決問題的過程.通過“做數學”的活動，學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力能夠得到有效提升.以數學活動為背景的試題是2022年中考試卷中一道亮麗的風景線.

例3（河北卷）如圖3，將△ABC折疊，使邊AC落在邊AB上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）.

圖3

（A）中線 （B）中位線

（C）高線 （D）角平分線

答案：D.

考查目標：此題考查三角形中的重要線段——三角形的角平分線.

命題意圖：通過折紙“做數學”，考查三角形的角平分線這一基礎知識，檢測學生發現問題的能力.

命題評價：此題是基礎題，通過折紙活動考查基本概念，直指數學活動可以為概念教學提供直觀感受，引導學生發現問題和提出問題，為概念教學設計提供了思路.

例4（河南卷）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.

（1）操作判斷.

操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM.

根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖4（a）中一個30°的角：_____.

（2）遷移探究.

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照圖4（a）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ.

①如圖4（b），當點M在EF上時，∠MBQ的度數為______，∠CBQ的度數為______；

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖4（c），判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由.

圖4

（3）拓展應用.

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ=1cm時，直接寫出AP的長.

答案：（1）∠BME（或∠MBP或∠ABP或∠MBC）；

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略；

考查目標：此題考查矩形、正方形、直角三角形的基本性質，全等三角形的性質與判定等核心知識，以及建立方程模型解決問題的能力.

命題意圖：此題重點考查學生在數學活動中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.例如，通過如圖4（a）所示的操作活動，可得E是AB中點，BP是∠ABM的平分線，在Rt△BEM中，由，易得∠BME=30°.這些都是引發學生發現問題的“點”.再如，由圖4（b）獲得的結論在圖4（c）中依然成立.對于第（2）小題第①問的結論，學生可以通過活動（如度量）或直觀觀察獲得，而第②問則體現猜想之余證明的價值.在拓展應用環節，點Q相對于點F有兩種位置，考查學生的直觀想象能力和嚴謹的思維品質.

命題評價：此題以“做數學”為媒介，考查直角三角形全等的判定、勾股定理、三角形的邊角關系等主干知識，注重綜合考查學生的“四能”.第（1）小題的答案多樣而具有開放性；第（2）小題中觀察猜想與邏輯推理并存，體現了“讓不同的人在數學上得到不同的發展”的課程基本理念；第（3）小題中，點Q的位置具有多樣性，體現了思維的嚴謹性.而在Rt△PDQ中，結合勾股定理建立方程模型得出AP的長，則是模型觀念的體現.在49份樣本試卷中，通過數學活動考查學生“四能”的試題有很多，題型也多樣，如山西卷第22題、吉林卷第22題等.

3.展示問題研究過程，體現學科本質

《標準（2022年版）》提出，學生通過“圖形的性質”的學習，感悟幾何體系的基本框架，即通過定義確定論證的對象，通過基本事實確定論證的起點，通過證明確定論證的邏輯，通過命題確定論證的結果，并運用結果解決新的問題.例如，山東青島卷第21題展示了研究圖形的性質的一般路徑“圖形定義—性質探究—性質應用”，通過問題研究厘清“等高三角形”的來龍去脈，體現數學學科的本質.2022年中考試卷中還有一些試題以展示問題研究過程的方式，從另一個角度體現了數學學科的本質.

例5（江蘇·揚州卷）【問題提出】如何用圓規和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

【初步嘗試】如圖5（a），已知扇形OAB，試用圓規和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；

【問題聯想】如圖5（b），已知線段MN，試用圓規和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；

【問題再解】如圖5（c），已知扇形OAB，試用圓規和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分.（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡.）

圖5

答案：（1）如圖6（a），OP為所求；

（2）如圖6（b），△MPN為所求；

（3）如圖6（c），圓弧CD為所求.

圖6

考查目標：此題考查作已知角的角平分線、作已知線段的垂直平分線、已知底邊和底邊上的高作等腰三角形的尺規作圖，以及扇形面積計算、等腰直角三角形中的邊角關系、相似三角形的性質.

命題意圖：此題由扇形面積公式想到作角平分線完成“初步嘗試”.對于“如何以扇形圓心為圓心作圓弧將扇形面積等分”這個具有挑戰性的新問題，在嘗試中畫弧，在幾何直觀中聯系相似三角形類比“相似扇形”，在邏輯推理、轉化等數學思想方法的引領之下，推導兩個扇形的半徑之比為，由此聯想到等腰直角三角形，最終實現問題解決.

命題評價：準確理解數學思想是把握數學學科本質的重要內涵，科學認識數學方法可以深刻理解數學本質的學科底蘊.以問題提出為引導，在嘗試、聯想、轉化等一系列思維活動中體現數學學科的內涵和底蘊.問題意識是學生適應未來社會發展應具備的能力，類似具有濃厚問題意識的試題在2022年中考試卷中并不少見，如陜西卷第26題等.

4.開放問題結構，著眼創新意識

創新意識是未來公民必備的素養，是學生適應未來社會發展的需要.勇于探索一些開放性的、非常規的實際問題或數學問題，有利于學生創新意識的培養.

例6（遼寧·大連卷）綜合與實踐.

問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖7（a），在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC=∠ACB.求證：∠ACD=∠ABC.

獨立思考：（1）試解答王老師提出的問題.

實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.

“如圖7（b），延長CA至點E，使CE=BD，BE與CD的延長線相交于點F，點G，H分別在BF，BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF.在圖中找出與BH相等的線段，并證明.”

問題解決：（3）數學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發現，當∠BAC=90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖7（b）中所有已經用字母標記的線段長均可求.該小組提出下面的問題，試解答.

“如圖 7（c），在（2）的條件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的長.”

圖7

答案：（1）略；

（2）EF=BH，證明略；

考查目標：三角形內角和定理、外角性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的性質.

命題意圖：面對第（2）小題開放式的結論，如何憑借直觀猜想的結論“EF=BH”構造全等三角形進行說理是解題的關鍵，善于發現、運用已有的條件是“從無到有”構造的前提.對于第（3）小題，要在確定性思想引導下，運用勾股定理、相似三角形的相關知識解決問題.

命題評價：此題考查學生的幾何直觀、推理能力，以及在充分分析問題基礎上的創新能力.創新是從無到有的智慧，善于運用歸納類比，發現研究對象之間的關系，大膽猜想、小心論證的思維品質都是培養創新意識的前提，設計開放的問題結構是培養創新意識的重要途徑.此題中涉及的知識綜合性較強，對學生直觀想象、邏輯推理、構造創新的能力要求較高，具有較強的選拔功能.2022年中考數學試題涉及條件開放和結論開放兩種形式.結論開放的試題有北京卷第27題、新疆卷第23題等，條件開放的試題有云南卷第11題、江蘇南通卷第14題等.另外，例6以“確定”的方式刻畫全等三角形的本質，類似的試題還有河北卷第16題，這有利于發展學生深度思考的能力.

5.動靜辯證思考，彰顯思維品質

“圖形與幾何”領域的三個主題是一個有機的整體.“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”分別從演繹證明、運動變化、量化分析的角度研究圖形的基本性質與相互關系：對于看似靜態的圖形的性質，從變化的角度思考；面對圖形的變化，從中發現不變的（靜態）規律，并從量化角度對其進行刻畫.“靜”時“動”看，“動”中見“靜”（變中不變）的辯證思想讓思維的靈活性、深刻性躍然紙上.

例7（江蘇·泰州卷）如圖8，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，O為內心，過點O的直線分別與邊AC，AB相交于點D，E.若DE=CD+BE，則線段CD的長為_________.

圖8

考查目標：三角形的內心、角平分線性質、等腰三角形的判定、相似三角形的性質.

命題意圖：此題從三角形內心的性質出發，由角平分線與平行線組合得到的等腰三角形這一基本圖形，可以發現當DE∥BC時符合題意.直線DE可以看作繞點O旋轉，當DE⊥AB時也符合題意，運用角平分線的性質定理和相似三角形的性質等可求得CD的長.

命題評價：此題重在考查基礎知識、基本技能與基本活動經驗.將直線DE看作繞點O旋轉，直觀想象存在另一種情況，是此題不漏解的保障，也是思維靈活性的體現，考查學生的直觀想象能力.上海卷第17題、貴州貴陽卷第25題等與此題有異曲同工之處.

例8（吉林·長春卷）如圖9，在?ABCD中，AB=4，，點M為邊AB的中點.動點P從點A出發，沿折線AD-DB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連接PM.作點A關于直線PM的對稱點A′，連接A′P，A′M.設點P的運動時間為t秒.

圖9

（1）點D到邊AB的距離為_______；

（2）用含t的代數式表示線段DP的長；

（3）連接A′D，當線段A′D最短時，求△DPA′的面積；

（4）當M，A′，C三點共線時，直接寫出t的值.

答案：（1）3；

考查目標：此題考查等腰三角形的“三線合一”、平行四邊形的性質、軸對稱的性質、圓的定義、勾股定理等基礎知識，以及分類討論等基本思想方法.

命題意圖：在點P運動的過程中，DP的長隨點P在折線AD-DB上位置的變化而變化，故解此題需要分類討論.在軸對稱變換中，始終存在的數量關系是MA′=MA=2，由圓的定義，可得點A′始終在以點M為圓心、2為半徑的圓上運動，這是變化中不變的規律，是順利解決問題的基本保障.

命題評價：對靜態的描述從動態的角度思考，從動態的表象下發現不變（靜態）的位置關系或數量關系，都是思維深刻性的體現.類似試題有安徽卷第10題、天津卷第24題、四川成都卷第26題等.另外，變化中不變的數量關系常用函數來刻畫，2022年中考中將圖形的性質與函數相結合的試題有很多，不再贅述.

6.融入數學文化，凸顯育人導向

數學的思想方法、理性精神、發展歷史及數學中蘊含的美等都是數學文化的重要組成部分，也是人類文明的重要組成部分，這些都是寶貴的育人資源.

例9（甘肅·蘭州卷）綜合與實踐.

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎（wèi）范、芯組成的鑄型（如圖10），它的端面是圓形.圖11是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：如圖11（a），將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB=AC，在圓上標記A，B，C三點；如圖11（b），將“矩”向右旋轉，使它左側邊落在點A，B上，“矩”的另一條邊與圓的交點標記為點D，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連接AD，BC相交于點O，即O為圓心.

圖10

圖11

問題解決：（1）試根據“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O.如圖12（a），點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，試作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發現，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O.如圖12（b），點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，試作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

拓展探究：（3）小梅進一步研究，發現古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學的尺規作圖的方法確定圓心可以減少誤差.如圖12（c），點A，B，C是⊙O上任意三點，試用不帶刻度的直尺和圓規作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法.）試寫出你確定圓心的理由：_______.

圖12

答案：第（1）小題所作圖形如圖13（a）所示；

第（2）小題所作圖形如圖13（b）所示；

第（3）小題所作圖形如圖13（c）所示.理由：三角形任意兩條邊垂直平分線的交點是三角形外接圓圓心.

圖13

考查目標：此題考查90°的圓周角所對的弦是直徑、直徑是過圓心的弦、不共線的三個點確定一個圓、三角形外心的性質，以及作已知線段的垂直平分線.

命題意圖：通過情境中的“矩”激活基礎知識點——90°的圓周角所對的弦是直徑.在活動中，一步步將問題一般化、結果精確化.同時，作圖過程也從只用直尺畫圖過渡到尺規作圖，實現對不共線的三個點確定一個圓的基礎知識及相關尺規作圖技能的考查.

命題評價：學生在閱讀中了解歷史，與古人智慧碰撞，在活動中從模仿到質疑再到創新，在作圖中思考數學原理.完成這項“綜合與實踐”的過程也是理性精神培育、愛國主義熏陶的過程.

將數學史、數學美、地方文化融入2022年中考命題的試題有甘肅武威卷第21題、貴州貴陽卷第8題等.山東青島卷第12題融入藝術家埃舍爾的作品，顯現跨學科學習的趨勢.例9是對蘇科版教材九年級上冊“5.4圓周角”第58頁課后練習題的改編，這再次表明教材是中考命題的重要資源.回歸教材、研究教材、挖掘教材資源是廣大一線教師的“必修課”.

三、復習教學建議

通過對2022年中考“圖形的性質”部分試題特點的分析，可以看到中考命題具有關注“四基”“四能”、注重通性通法、凸顯育人導向等特點，這為提高中考復習的效能提供了指導作用.筆者結合實踐對中考復習教學提出以下幾點建議.

1.豐富的教學資源是提高中考復習效果的源泉

提起中考復習的教學資源，一線教師容易聯想到各類教輔資料、各地中考模擬試卷、中考試題和信息技術資源輔助解題等.其實，除了這些，還有很多的資源值得開發與運用.

教學活動是師生之間在一定的教學場景（教室、數學活動場所）中進行的雙邊活動，包括師生、生生之間的語言、肢體、眼神、思維的交會與碰撞.教學的場景、教師的肢體語言等都可以成為課堂教學的資源，中考復習課也不例外.例如，青海卷第6題通過雙手擺出的手勢（如圖14）直觀、形象地表達了基本圖形“三線八角”，不僅能夠讓學生溫習基礎知識，增強課堂教學的趣味性，而且能培養學生的直觀想象力，彰顯教師的教學智慧.再如，復習勾股定理時，筆者從前臂與上臂垂直的狀態開始（如圖15），在前臂繞肘關節旋轉到與上臂分別構成銳角、鈍角，將直角三角形的三邊關系推廣到銳角三角形、鈍角三角形的三邊關系，通過形象、生動的肢體語言帶領學生復習了基礎知識，拓寬了知識的外延，為學生高中階段余弦定理的學習打好基礎，學生對知識的理解因課堂的生動形象而深刻.

圖14

圖15

糾正學生的錯誤是中考復習的重要環節.幫學生查漏補缺、助學生提升能力、教學生規范答題的過程，也應該是教師自我反思的良機.因此，學生的錯誤是中考復習的重要資源.例如，筆者在帶領學生復習“定義、命題、定理”時，有很多學生認為“同位角相等是真命題”，導致這個結果的原因值得深思.從學生的角度來看，是學生的基礎知識存在漏洞，錯誤地認為同位角是兩個角之間的數量關系；從教師的角度來看，可能與教師平時不規范的教學語言有關系.教師常以節約時間為由，在復習“圖形的性質”時，描述定理不夠規范，這在無形之中帶給學生的負面影響不容小覷.實際上，這與數學學科嚴謹、理性的特征格格不入，所以糾正學生的錯誤，對學生是鞏固基礎知識、基本技能，對教師是反思教學行為.教師規范的教學語言和行為是課堂教學的基本要求，精湛的教學技藝是課堂教學不懈的追求.

教材是專家團隊集體智慧的結晶，其中的情境、例題和習題等都是教材編寫專家經過千錘百煉思考的結果，是課堂教學也是中考復習過程中的好幫手，理應成為中考復習的寶貴資源.前述例1、例3、例4、例9等中考試題中都有各版本教材例、習題的“影子”，它們為廣大一線教師的中考復習教學指明了方向.

2.知識的整體化、結構化設計是提高中考復習效率的保障

《標準（2022年版）》在教學建議中提出要整體把握教學內容，注重教學內容的結構化，注重教學內容與核心素養的關聯.這無論在新授課還是復習課中都應該踐行，中考復習中便應如此.中考第一輪復習是對基礎知識點進行“拉網式”的溫習，也是進一步建立知識點之間聯系的后建構過程，這需要教師對全學段知識進行通盤考慮，在整體化、結構化的教學中引領學生形成知識鏈、編織知識網.“圖形的性質”內容的復習也不例外.

筆者以線段的復習為例說明知識的結構化設計.首先，從研究“圖形的性質”的基本路徑開始設計問題串：線段的表示方法有哪些？比較線段大小的方法有哪些？關于線段的性質有哪些？其次，延續線段的性質——軸對稱性和中心對稱性，復習線段垂直平分線的性質定理和判定定理，以及尺規作圖；再次，順延線段的中點，引領學生聯想與線段的中點有關的圖形，自我建構以“線段”為中心的知識網絡；最后，以經典例題體現相關知識的應用.圖16是學生以線段為中心繪制的知識結構圖.

圖16 以線段為中心的知識結構圖

圖形的性質是復習的第一節課，對接下來的復習方式具有引領作用.學生要以此為“模板”，類比復習角、三角形、四邊形和圓的相關知識.經歷這個過程后，學生不會覺得溫習這些知識是簡單的重復，而是感嘆數學知識緊密相關.重要的是，學生的結構化思維方式在中考復習的過程中進一步得到培養，復習的效益在無形之中得到提升.綜觀一些綜合性較強的中考壓軸題，無一不是多種圖形的性質、多個領域知識之間的相互融合.因此，結構化思維方式是學生適應未來發展需要具備的關鍵能力之一.

3.設計有效的數學活動是提升中考復習效能的重要途徑

《標準（2022年版）》在“課程實施”的評價建議中提出“適當提高應用性、探究性和綜合性試題的比例”的要求.對照2022年中考試題，可以發現以操作實踐為背景、問題意識為導向的數學活動試題有很多.數學學習的過程是感悟抽象、推理、模型等數學思想的過程，以問題解決為目標指向的數學活動有利于數學思想方法的形成.因此，在中考復習中，以數學活動為媒介，將基礎知識、基本原理融入問題解決，有利于學生數學核心素養的發展.那么，對于“圖形的性質”這一主題如何組織學生活動呢？

筆者認為，要聚焦知識、方法、目標，精心組織活動過程，關注學生活動動態，活動形式可大可小，微小時可以將活動嵌入解決一個綜合題的過程中.例如，筆者曾在引領學生解決一道中考綜合題時，設計微活動：“尺規作圖：過直線外一點作已知直線的垂線.要求：方法盡可能多，并說明作圖道理”.在追問與學生之間的相互影響下，學生在15分鐘內給出了6種作圖方法（詳見參考文獻［5］）.活動中，復習線段垂直平分線定理、等腰三角形三線合一、直徑所對的圓周角是直角等具體知識點，學生感悟到了直觀想象、轉化、推理等基本思想的力量.重要的是，學生驚嘆看似熟悉的作圖活動卻也如此精彩紛呈，被自己的創新所感動.這種積極的學習情感有助于中考復習效能的提升.

數學活動常常是開放的問題結構，或條件開放，或結果開放，這有利于學生的思維向縱深發展，有利于學生創新意識的培養.中考復習階段，筆者曾設計測量、折紙等數學活動.例如，在“測量學校操場旗桿的高度”這一數學活動中，學生在測量環境不斷改變的過程中不斷挑戰、不斷創新.在設計測量方案的過程中溫習了全等三角形、相似三角形、三角函數等知識.活動中，通過向學生講述關于測量的歷史故事，拓寬了學生的視野，增強了學生的學習興趣.在這個過程中，學生發揮著主體作用，抽象能力、模型觀念、推理能力等素養得到發展.

4.注重數學文化的滲透是中考復習增效的催化劑

中考復習的過程是整合知識的過程，是提煉數學思想方法的過程，也是考驗學生意志品質的過程.教師不僅要幫學生夯實基礎知識，培育學生的思維品質，還要播種數學文化，滋養學生心靈，讓學生感受到數學的魅力.

面對高強度的中考復習節奏，學生難免會感到有壓力、情緒低落.對此，教師可以適時地向學生講述數學家的故事，滋潤學生的心靈，給予學生戰勝困難的勇氣.例如，當學生遇到困難時，教師可以為學生講述徐光啟和利瑪竇合譯《幾何原本》的故事，徐光啟以“吾迎難，難自消微，必成之”的精神翻譯了《幾何原本》的前6卷，給后人留下了豐厚的文化遺產.再如，在復習勾股定理時，教師可以向學生介紹清代數學家華蘅芳在十幾歲時便用二十幾種方法證明了勾股定理，通過實例讓學生感受數學家刻苦鉆研的精神.事實表明，學生喜歡聽故事，這些數學家的勵志故事可以提升學生學習的興趣，傳遞積極向上的精神力量，培育良好的品格，有利于中考復習的有效開展.

數學文化內涵豐富，對于數學的歷史、數學家的故事、數學的文本閱讀等，教師可以適時融入中考復習教學中，這不僅是迎接中考檢測的必要準備，也是培育學生優秀品格的重要過程.

四、典型模擬題

1.下列選項中的四個三角形，各有一邊長為6，一邊長為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是（ ）.

答案：C.

2.如圖17，正方形ABCD中.

（1）在圖17中用無刻度的直尺和圓規作圖：作等邊三角形DHG，使點G，H都在正方形的邊上.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

圖17

（2）在（1）的條件下，若AB=4，則DH的長為_____.

答案：（1）所作圖形如圖18所示；

圖18

3.在數學活動課上，小明用一張長方形紙片，通過剪、折等活動，發現了一系列有趣的結論.活動準備：將一張長方形紙片裁剪成一張最大的正方形紙片和一張矩形紙片，再將裁剪成的正方形紙片和矩形紙片分別裁剪成4張一樣大小的正方形紙片和2張等寬的矩形紙片（按如圖19所示的虛線裁剪）備用.

圖19

活動1：取其中一張矩形紙片，將它折成如圖20所示的V形圖案，則重疊部分的三角形形狀是______；

圖20

活動2：如圖21，將兩張等寬矩形紙片交叉重疊，重疊部分的四邊形形狀是_______；

圖21

活動3：如圖22，取一張正方形紙片（正方形ABCD）沿虛線對折，再過點D將頂點A折到折痕上的點A′，則∠A′DC的度數為_______，若再沿A′C折疊紙片得折痕A′C，則△A′DC的形狀是_______；

圖22

活動4：在活動3的啟發之下，另取一張正方形紙片，按如下步驟折紙：

如圖23，①對折正方形紙片，得折痕GH，并展開；

圖23

②過點D將點A折疊到折痕GH上的點A′；

③過點D將邊CD折疊至與DA′重合，折痕為DE；

④過點E將EC折疊至與DE重合，折痕為ME，寫出DM與CM的數量關系，并說明理由.

活動5：如圖24，等邊三角形DPQ的三個頂點都在正方形的邊上，我們把這樣的等邊三角形叫做正方形的內接等邊三角形，也是一張正方形紙片能折出的最大等邊三角形.再取一張正方形紙片折一折，并畫出示意圖.

圖24

答案：活動1：等腰三角形；

活動2：菱形；

活動3：60°，等邊三角形；

活動4：DM=2CM，理由略；

活動5：折紙步驟如圖25所示.

圖25

4.閱讀：我國古代幾何學歷史悠久.田畝丈量、天文觀測、測高望遠都是我國幾何學的主要起源.古代數學家依據面積測量、勾股運算等，總結經驗成果，形成了“出入相補”的一般原理，即把圖形分割成若干塊，則各部分面積的和等于原來圖形面積.魏晉時期偉大數學家劉徽所著的《海島算經》是一部測高望遠的專著，他依據出入相補原理，運用“矩立表”（古代測量儀）達到望高、知遠、測深的目的.

（1）走近古代數學家.

如圖26，在矩形ABCD中，點O為對角線AC上任意一點，過點O分別作AB，BC的平行線PQ，SR，試找到圖中面積相等的矩形，并證明.

圖26

（2）與古代數學家思維碰撞.

《海島算經》首題“望海島”：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何.”其大致含義是：如圖27，現觀測海島，兩個測量儀（DE，FG）的高都為3丈，之間的距離（EG）為1000步，且在同一條直線上.從第一個測量儀（DE）處后退123步（EH），島峰、測量儀末端、人目在同一直線上（A，D，H共線）；從第二個測量儀（GF）處后退127步（GI），島峰、測量儀末端、人目在同一直線上（A，F，I共線），求島高（AB）及前測量儀（DE）與海島之間的距離（BE）.（注：1丈約為2步.）

圖27

①劉徽在專著中給出海島高（AB）的計算公式：，（前表去島）公式：，試運用（1）的結論證明這兩個公式；

②解決《海島算經》首題.

答案：（1）SDO=SOB（“SDO”表示矩形DPOS的面積，下同），證明略.

（2）①如圖28，補全矩形.

圖28

公式1：由（1）得，SCE=SMK，SCG=SJP.

所以SDG=SJP-SMK.

所以DE·EG=MD·（GI-EH）.

公式2：因為SCE=SMK，

所以BE·DE=MD·EH.

②島高（AB）為1506步，前測量儀（DE）與海島之間的距離（BE）30750步.