關注新變化 聚焦核心素養
——2022年中考“函數”專題命題分析

陳莉紅，劉洪居，曹經富

（江西省教研室；江西省于都縣教研室；江西省吉安市白鷺洲中學）

數與式、方程與不等式、函數是初中階段“數與代數”領域的三大主題.函數是研究運動變化過程中兩個變量之間的對應關系及變化規律的數學模型，主要內容包括函數的概念、一次函數、二次函數和反比例函數.初中階段的數學課程標準要求學生在小學階段感性認識的基礎上，進一步歸納、概括出函數的定義，并研究具體的函數及性質，了解研究函數的基本方法，運用函數解決或解釋現實世界中的問題，了解函數與其他相關數學內容之間的聯系，能用運動變化的觀點認識到方程、不等式是函數的特殊形式.學生到高中、大學還將繼續學習函數，因此函數及函數思想貫穿數學學習的始終.為了更好地歸納共性、突出亮點與創新，本文以2022年全國各地區中考數學試卷作為研究對象，并從省級統一命題的中考試卷中抽選出有代表性的15份試卷（以下統稱“省卷”），從市級命題的中考試卷中抽選出盡可能覆蓋全國范圍的17份試卷（以下統稱“地方卷”），分別從考查內容，考查形式，考查題型、題量、分值、難度等方面進行統計，對其中函數試題的命題特點進行研究，并分別從考查內容、命題特點、復習建議三個方面進行分析，提供適量的模擬題，為一線復習教學提供參考.

一、考查內容分析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）中函數內容的知識發展主線是“函數—一次函數—反比例函數—二次函數”，體現從一般到特殊、抽象到具體、整體到局部的研究思路.在學習每一個具體的基本函數時都是按照“實例—概念—圖象—性質—應用—聯系”的順序展開，體現研究函數的步驟和方法的一般性.一次函數、二次函數和反比例函數既有各自不同的圖象與性質，又具有相同的研究思路與方法，都是描述實際生活中數量關系和變化規律的模型，體現函數的共性.因此，基于函數主線的整體性及內容的結構化，把函數內容分為函數的概念及表示、函數的圖象與性質、函數的應用和函數的綜合等四個方面進行考查，分別指向抽象能力、推理能力、幾何直觀、運算能力和模型觀念等素養.其中，函數的概念及表示包含常量與變量、變量之間的對應關系、函數的定義和函數的表示方法等基礎知識；函數的圖象與性質包含從函數表達式的數量特征及函數圖象的幾何特征來刻畫函數，并著重突出自變量的取值范圍，函數值的最大值和最小值，以及對稱性和增減性等；函數的應用包含運用函數解決實際問題建立模型觀念；函數的綜合包含函數內部知識的綜合及函數與其他知識的聯系，尤其是函數與方程、不等式的聯系.另外，由于函數是“數”與“形”的自然載體，所以在平面直角坐標系中，函數內容通常可以與幾何圖形及圖形變換相結合考查數形結合、分類討論、歸納推理等思想方法.尤其對二次函數的考查，通常有三種考查方式：一是創設蘊含拋物線圖形的生活情境或實物模型，如運行軌跡、隧道截面和蔬菜大棚的工棚等，從中抽象并建立二次函數模型，分析并解決相關的實際問題；二是更關注二次函數的圖象與性質的本質屬性，考查字母系數與圖象和性質的關系；三是以拋物線為背景，以簡單的幾何圖形為載體，借助數、式和圖形的變與不變的規律，探究與發現二次函數的更多本質屬性，實現代數知識與幾何知識的有機聯系與綜合，屬于較難題.因此，對函數內容的考查角度是多樣的.既可以對單一基礎知識進行考查，也可以與其他知識綜合考查，綜合或抽象程度越高，難度越大.

綜觀2022年全國各地的中考試題，考查函數的題型覆蓋了選擇題、填空題和解答題，考查方式靈活，從不同角度考查了《標準（2011年版）》對函數內容的學業要求與教學理念.對抽樣的32份試卷分類別進行統計，得到3個統計表，如表1、表2和表3所示.其中，表1是抽樣32份試卷中函數考查內容分布情況的匯總；表2和表3分別是省卷和地方卷中函數考點的題量、分值和難度分布的匯總.

表1 函數考查內容分布情況匯總表

表2 省卷函數考點題量、分值、難度分布匯總表

表3 地方卷函數考點題量、分值、難度分布匯總表

由表1可以看出，各地都非常重視對函數內容的考查.2022年全國各地的中考試卷較多關注了對“函數的綜合”的考查，且有較多試卷把較難題設置為對二次函數與其他知識綜合的考查；對“函數的應用”的考查較多體現在一次函數的應用及二次函數的應用.反比例函數的應用也有涉及，但是比較少.除此之外，有近一半的試卷關注了結合實際情境考查函數的定義和變量之間的對應關系，以及對函數的意義和表示的考查.

從表2中可知，2022年省卷中與函數相關的試題分值比較穩定，占整份試卷分值的20%左右；題量（以小題計量）為5～9道題.在以往考查難點的問題設置上，分值有所減少，難度有所降低，以中檔題居多.可見，在“雙減”實施后的第一年中考，多數省卷都適當降低了難度.在考點的分布上，“函數的概念及表示”“函數的圖象與性質”“函數的應用”“函數的綜合”四大模塊均有涉及.其中，“函數的圖象與性質”“函數的應用”“函數的綜合”為重點考查內容，大多數省卷以選擇題和填空題的形式對“函數的概念及表示”進行獨立考查，也有的省卷中與“函數的應用”結合考查.大多數省卷將“函數的綜合”設置為壓軸題或難點問題進行考查.

從表2和表3中可知，相對于省卷，地方卷中與函數相關試題的分值相對離散，在10～40分之間.其中，湖南長沙卷分值最低，為10分；四川成都卷分值最高，為40分.題量（以小題計量）分布也相對離散，在4～11道題之間，在難度上比省卷略高.在具體考點中，“函數的圖象與性質”的考查力度比省卷稍大，“函數的概念及表示”的考查力度比省卷稍弱.

總體來說，各地中考試卷對函數的考查與《標準（2011年版）》的內容要求是一致的，也充分體現了教育部對初中數學學業水平考試命題提出的“加強綜合性、探究性試題”的命制要求，其中不乏一些試題在體現《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）新要求和新變化方面的改進與創新.

二、命題特點分析

函數是初中階段“數與代數”領域的三大主題之一，因其內容的基礎性、階段性、抽象性、綜合性和應用性等特征，既是學習的重點又是難點.一直以來，函數試題的命制尤其是二次函數綜合試題的命制，在函數的本質的把握、難度的控制及是否超標等方面都是命題的難點，各地命題者一直在不斷探索.《標準（2022年版）》對學業質量、試題命制等方面提出了明確的要求.因此，2022年全國各地中考數學試卷中函數試題的命制在往年常規考查的基礎上，在試題考查內涵上積極探索素養立意，在試題考查形式上嘗試創新，以滲透《標準（2022年版）》的理念，發揮對函數教學的導向作用.函數試題主要呈現出三個特點：一是在對函數概念、圖象和性質等基礎知識、基本技能和基本思想進行考查的同時，積極嘗試跨學科綜合試題的探索（如與化學和物理知識的綜合）；二是創設真實的生活情境，設計有實際意義的問題，考查學生的抽象能力、幾何直觀、模型觀念和應用意識等素養；三是以函數知識為主線，考查學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，突出函數與方程、不等式的聯系，滲透函數的觀念與思想.下面從命題立意、導向和創新等角度進行分析.

1.考查“四基”，落實核心素養，體現素養立意

與函數內容關聯密切的數學核心素養主要包括抽象能力、幾何直觀、模型觀念、應用意識和創新意識等，在根據實際問題構建函數模型和應用函數性質解決實際問題的過程中體現出來.體現素養立意，就需要創設適當的情境、設計與情境適切的問題等.主要體現在以下幾個方面.

（1）聚焦函數的概念及表示方法，落實抽象能力的考查.

依據《標準（2011年版）》，初中階段對函數的要求重點是借助現實情境歸納、抽象出函數的概念，理解并正確刻畫函數的概念，通過具有對應關系的兩個變量的相互聯系和用三種方式刻畫變量間的關系得到函數的三種表達方式.因此，對應關系是函數的核心，也是試題命制的切入點.

①借助生活情境中變量間的對應關系的描述和表達，考查抽象能力和幾何直觀.

例1（北京卷）下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x.

其中，變量y與變量x之間的函數關系可以用如圖1所示的圖象表示的是（ ）.

圖1

（A）①② （B）①③

（C）②③ （D）①②③

答案：A.

例2（吉林卷）李強用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質量的水，甲壺比乙壺加熱速度快.在一段時間內，水溫y（℃）與加熱時間x（s）之間近似滿足一次函數關系，根據記錄的數據，畫函數圖象如圖2所示.

圖2

（1）加熱前水溫是______；

（2）求乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數解析式；

（3）當甲壺中水溫剛達到80℃時，乙壺中水溫是______.

考查目標：考查函數的意義與表示.

命題意圖：例1借助現實生活中兩個變量（剩余路程與時間、剩余水量與放水時間、矩形的面積與一邊長）之間的依賴關系用函數圖象表達出來，結合情境對函數的關系做出判斷，實現從生活問題到數學問題的抽象和轉化.例2通過創設熱水壺在加熱過程中水溫與加熱時間這兩個變量之間的對應關系，結合圖象考查學生對函數意義的理解及用待定系數法求函數解析式，考查了函數的關系式與相應函數圖象之間的轉化與關聯，滲透了抽象能力和幾何直觀等數學核心素養.

命題評價：由以上兩例可以看出，函數的概念及表示方法的考查往往會結合一些具體生活情境讓學生感受相關數量之間的變化過程，以及變化過程中相關變量之間的對應關系，探索其中的變化規律及本質，嘗試根據變量的對應關系做出預測，獲得函數的感性認識.此類問題的考查多以選擇題的形式出現，且難度較低，屬于容易題.

類似的試題還有：重慶A卷第4題根據蝴蝶飛行離地面的高度與飛行時間的對應關系圖分析和判斷蝴蝶飛行的最高高度；江蘇蘇州卷第15題以現實生活中容器注水和排水過程中的水量與時間的對應關系進行抽象，考查對函數的概念及意義的理解；安徽卷第5題通過現實情境（甲、乙、丙、丁四個人步行的路程和所用的時間）進行抽象，借助函數圖象的幾何意義進行分析與識別；等等.在復習時，教師要引導學生關注基礎知識和通性通法，借助問題的背景和圖象理解自變量與函數所表示的意義，從兩者的對應關系入手分析和解決問題.

②借助圖形運動過程中變量間的對應關系的描述和表達，考查抽象能力和邏輯推理.

例3（四川·綿陽卷）如圖3，在菱形ABCD中，∠C=120°，M是AB的中點，N是對角線BD上一動點，設DN長為x，線段MN與AN長度的和為y，圖4是y關于x的函數圖象，圖象右端點F的坐標為，則圖象最低點E的坐標為（ ）.

圖3

圖4

答案：C.

例4（湖北·江漢油田、潛江、天門、仙桃卷）如圖5，邊長分別為1和2的兩個正方形，其中有一條邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設穿過的時間為t，大正方形的面積為S1，小正方形與大正方形重疊部分的面積為S2，若S=S1-S2，則S隨t變化的函數圖象大致為（ ）.

圖5

答案：A.

考查目標：動態變化問題中的函數圖象.

命題意圖：例3以菱形為背景，點N在對角線上運動產生了兩個新的變量，即折線段之和（MN+AN）與變量DN，把兩個變量之間的對應關系用部分圖象的形式給出，考查學生對函數最小值的意義的理解，滲透了幾何直觀、推理能力和運算能力.例4則創設了邊長分別為1和2的兩個正方形，以小正方形自左到右穿過大正方形的過程為背景，要求抽象刻畫出兩個正方形重疊過程中所求面積與時間這兩個變量之間的對應關系.設置成選擇題降低了對學生抽象能力的要求，學生只需要結合圖象理解抽象的過程即可，符合現階段對學生抽象能力的要求.

命題評價：從例3和例4可以看出，設置圖形的運動情境，能夠考查學生從實際問題情境中抽象函數與圖象的能力，有效考查了學生對函數的概念和圖象的理解，有利于發展學生的幾何直觀素養.此類試題常以較難的選擇題或中檔解答題的形式進行考查.在圖形的運動中醞釀與構建函數關系或圖象的還有：江蘇南通卷第9題；黑龍江佳木斯卷第28題第（3）小題借助平面直角坐標系中的平行四邊形及動點，探究三角形的面積與動點的運動時間之間的一次函數關系；四川綿陽卷第25題第（2）小題借助三角形面積探究相關函數關系式的構建與應用（最值）.

（2）挖掘函數的圖象與性質，考查函數的本質，落實幾何直觀的考查.

函數的圖象和性質是函數的主體內容.對函數的圖象和性質的研究過程要求從數量和圖形及數形相互轉化的角度展開，充分顯示了函數的本質特征是聯系和變化，函數圖象可以形象、直觀地展示函數關系.

《標準（2011年版）》明確指出，幾何直觀主要是指運用圖形描述和分析問題的意識與習慣.根據語言描述畫出相應的圖形，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑.因此，多數函數試題會把函數表達式中字母系數對函數圖象的影響、表達式與圖象性質之間的關系及函數性質的應用作為切入點進行考查.

例5（安徽卷）在同一平面直角坐標系中，一次函數y=ax+a2與y=a2x+a的圖象可能是（ ）.

答案：D.

例6（江西卷）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖6中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖6中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過點K越遠，飛行距離分越高.2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，基準點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）.設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系為y=ax2+bx+c（a≠0）.

圖6

（1）c的值為_______.

（2）①若運動員落地點恰好到達點K，且此時，求基準點K的高度h；

（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76 m，試判斷他的落地點能否超過點K，并說明理由.

考查目標：考查字母系數與函數圖象的對應關系.

命題意圖：例5是純數學情境，在平面直角坐標系中觀察、分析一次函數字母系數對函數圖象的影響（直線傾斜方向和與坐標軸交點的位置特征等）.由于兩個一次函數的一次項系數與常數項互換，需要觀察給定選項中的圖象再結合a2的非負性即可得到答案，難度中等偏上.例6以北京冬奧會跳臺滑雪運動為背景，以運動員從起跳臺起跳后的運行軌跡為研究對象，讓學生經歷從實際問題情境中抽象并建立二次函數模型的過程，把實際問題“運動員落地點是否超過基準點”轉化為數學問題，即判斷落地點與圖象的關系，第（2）小題在a不變的前提下，根據兩條拋物線之間的關系確定b的取值范圍（可以有多種方法）；解決第（3）小題需根據給定的條件求出拋物線的表達式中a的值，再結合運算、推理進行判斷來解決問題.例6本質上還是考查二次函數字母系數與函數圖象的關系，在求解過程中借助幾何直觀可以優化求解過程.例如，當a不變時，可知函數圖象開口方向及大小不變，只需要考慮對稱軸的位置即可，還可以考慮讓橫坐標相等比較縱坐標的大小或者縱坐標相等比較橫坐標的大小等，考查了學生的抽象能力和幾何直觀等數學核心素養.

命題評價：結合真實情境考查函數的圖象與性質，在教材中就有這樣的習題，如北師大版《義務教育教科書·數學》九年級下冊第二章“二次函數”習題2.6第3題中高爾夫球的運動軌跡等，引導教師重視對教材習題的教學，引導學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，對教學起到了很好的導向作用.2022年中考，考查函數的圖象與性質的類似試題有很多：陜西A卷第8題通過二次函數圖象上的三個點的坐標考查自變量與函數值之間的對應關系和函數的增減性；山東青島卷第22題在平面直角坐標系中直接考查一次函數與反比例函數的圖象與性質；天津卷第8題在反比例函數圖象上已知三個點的縱坐標，判斷相應的橫坐標的大小，考查反比例函數的增減性；天津卷第23題創設了現實生活情境“學生往返于位于同一條直線上的學生公寓、閱覽室、超市”中產生的函數關系，考查一次函數的圖象與性質，以及學生對函數的意義的理解.

（3）創設真實的問題情境，突出函數的應用，落實模型觀念和應用意識的考查.

函數可以解決很多實際問題，在初中階段，加強數學建?？梢栽鰪妼W生的應用意識和實踐能力.在前面的表1中，可以看出2022年中考試卷中考查函數的應用的試題中大多數是考查用一次函數解決實際應用問題，二次函數次之，反比例函數最少，這與初中階段學生現有的運算能力和推理能力還比較薄弱有關.

例7（山東·青島卷）李大爺每天到批發市場購進某種水果進行銷售，這種水果每箱10千克，批發商規定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當購買1箱時，批發價為8.2元/千克，每多購買1箱，批發價每千克降低0.2元.根據李大爺的銷售經驗，這種水果售價為12元/千克時，每天可銷售1箱；售價每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱.

（1）試求出這種水果批發價y（元/千克）與購進數量x（箱）之間的函數關系式；

（2）若每天購進的這種水果需當天全部售完，試計算，李大爺每天應購進這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？

答案：（1）y=-0.2x+8.4（1≤x≤10，且x為整數）；

（2）李大爺每天應購進這種水果7箱，獲得的利潤最大，最大利潤是140元.

例8（陜西A卷）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖7所示，線段OE表示水平的路面，以O為坐標原點，以OE所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系.根據設計要求：OE=10 m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9 m.

圖7

（1）求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；

（2）現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖7所示，即在該拋物線上的點A，B處分別安裝照明燈.已知點A，B到OE的距離均為6 m，求點A，B的坐標.

考查目標：考查函數與實際問題，確定二次函數的解析式.

命題意圖：例7以生活中常見的銷售問題為情境，考查了銷售價格與銷售數量之間的一次函數關系，以及利潤與銷售數量之間的二次函數關系，考查學生在情境中挖掘等量關系、構建函數模型的能力.例8創設拋物線型隧道截面情境，設計在隧道內安裝照明燈的問題，考查用待定系數法求解二次函數解析式及二次函數的圖象與性質，運用性質解決實際問題.雖然兩道試題的考查方式和呈現形式有所不同，但是在立意上是一致的，即要求學生通過分析實際問題的情境確定函數的表達式，體會函數的意義，在此基礎上考查學生運用函數模型分析和解決實際問題的能力，較好地滲透了抽象能力、模型觀念、運算能力、幾何直觀、推理能力和應用意識等素養.

命題評價：該類試題以創設豐富的生活情境來呈現，再根據情境設計適切的問題，均較好地體現了素養立意.教師在日常教學中要引導學生經歷數學建模的完整過程（實際背景—數據收集—模型確定—模型求解—解釋與應用），培養學生的模型觀念及應用意識，逐步養成用數學的眼光觀察和用數學的思維思考的習慣.類似的試題還有：北京卷第25題結合滑雪運動員從起跳到著陸的過程中的豎直高度與水平距離中的兩組訓練數據，抽象出二次函數的關系式；河南卷第21題以噴出的水柱為素材，考查二次函數建模及其應用；江蘇南通卷第15題結合小球的飛行高度與飛行時間，構建二次函數探尋最值問題；江蘇揚州卷第26題以拋物線型的鐵皮余料為素材，考查二次函數的建模與應用（內割最大的正方形面積、矩形周長和圓）；安徽卷第23題借助隧道截面抽象出二次函數圖象，并通過修建不同型號的柵欄及幾何圖形（柵欄）的線段長度在方案設計中滲透考查學生的幾何直觀和推理能力，并在柵欄總長度計算及面積的表示中再次抽象出二次函數的數學模型，進一步用相應的二次函數性質求解方案設計中的最大柵欄長度和最大矩形面積問題.

（4）注重函數與其他知識的橫向聯系，突出試題的探究性和綜合性.

平面直角坐標系是溝通代數與幾何的橋梁，建立平面直角坐標系是實現用代數方法研究幾何問題的有效途徑.2022年全國各地中考試卷中函數與幾何圖形相結合的綜合性試題高頻出現，將方程（不等式）、函數和圖形融為一體，求解、探究和證明相互交織，突出考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力.這類試題由不同的函數與不同的圖形進行不同的組合，呈現形式多樣，考查內容豐富，通常作為解答題的中檔題或壓軸題進行考查.

例9（江西卷）如圖8，點A（m，4）在反比例函數的圖象上，點B在y軸上，OB=2，將線段AB向右下方平移，得到線段CD，此時點C落在反比例函數的圖象上，點D落在x軸正半軸上，且OD=1.

圖8

（1）點B的坐標為____，點D的坐標為_____，點C的坐標為______（用含m的式子表示）；

（2）求k的值和直線AC的表達式.

答案：（1）B（0，2），D（1，0），C（m+1，2）；

（2）k的值為4，直線AC的表達式為y=-2x+6.

例10（上海卷）在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點A(-2，-1)，B(0，-3).

（1）求這條拋物線的表達式.

（2）將這條拋物線平移，得到一條頂點為P(m，n)(m＞0)的新拋物線.

①當S△OPB=3時，如果這兩條拋物線在直線x=k的右側部分是上升的，求k的取值范圍；

②點P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點Q，如果∠BPQ=120°，求點P的坐標.

（2）①k≥2；②.

考查目標：考查點的坐標的幾何意義，綜合考查函數與幾何圖形或圖形變換的融合.

命題意圖：例9以平面直角坐標系中反比例函數的圖象為背景，通過線段AB的平移得到新的線段CD，綜合考查點的坐標、平移的性質、反比例函數的性質及用待定系數法求一次函數解析式，考查了幾何直觀和運算能力等核心素養，以及數形結合的思想方法.例10以平面直角坐標系中拋物線的圖象為背景，通過拋物線的平移得到△OPB及新的拋物線，設定三角形的面積為定值時探究兩個函數的增減性，運用二次函數的性質解決問題，綜合考查了勾股定理、銳角三角函數和分類討論思想.

命題評價：一般情況下，函數與幾何圖形或圖形變換的綜合考查往往會設置成中檔題或較難題，二次函數綜合還會設置成壓軸題或次壓軸題.但是2022年多數地區中考試卷中的函數綜合題在整個試卷中的位置前移，綜合程度及難度均有所降低，更關注對函數的本質的考查，較好地滲透了幾何直觀、運算能力、抽象能力和模型觀念等數學核心素養.類似的試題還有：安徽卷第13題是反比例函數與平行四邊形的綜合性問題，綜合考查了等腰三角形、平行四邊形的性質及反比例函數中k的幾何意義等；廣西貴港卷第25題以拋物線為背景考查了待定系數法和函數最值，通過探究兩個三角形相似考查分類討論思想及相似三角形的判定與性質等；江蘇連云港卷第26題借助含有變量的字母系數二次函數，結合拋物線經過的特殊點（原點）或位置關系（頂點在第一象限），考查相應的頂點坐標及三角形面積的最大值問題；重慶A卷第24題借助拋物線上相關點的坐標考查待定系數法，結合相關線段的長度之和轉化為二次函數的最值問題，分類探究平移后拋物線上相關交點構建平行四邊形的情形.

2.關注課程標準的變化，適度創新

《標準（2022年版）》在函數部分新增的內容主要是：理解函數值的意義；知道二次函數和一元二次方程之間的關系.在“數與代數”領域更加注重發展學生的代數推理能力，培養學生的模型觀念，加強方程、不等式和函數等建模過程的結構化整合，更加注重培養學生的應用意識，積極探索跨學科綜合等.基于以上這些變化，各地命題者在函數試題的命制上已經開始進行謹慎探索，嘗試創新.在2022年全國各地的中考函數試題中，主要體現在以下幾個方面.

（1）關注對函數及其性質和意義的理解，嘗試跨學科綜合.

《標準（2022年版）》對函數模塊的內容要求中指出：探索簡單實例中的數量關系和變化規律；能根據函數圖象分析出實際問題中變量的信息，發現變量間的變化規律；能結合函數圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析，結合對函數關系的分析，能對變量的變化趨勢進行初步推測.在函數模塊教學提示中明確指出：會用函數表達現實世界事物的簡單規律，經歷用數學的語言表達現實世界的過程，提升學習數學的興趣，進一步發展應用意識.因此，這類創新試題，在情境創設上嘗試跨學科，在問題設計上突出考查學生對函數值意義的理解.

例11 （江西卷）甲、乙兩種物質的溶解度y（g）與溫度t（℃）之間的對應關系如圖9所示，則下列說法中，錯誤的是（ ）.

圖9

（A）甲、乙兩種物質的溶解度均隨著溫度的升高而增大

（B）當溫度升高至t2℃時，甲的溶解度比乙的溶解度大

（C）當溫度為0℃時，甲、乙的溶解度都小于20 g

（D）當溫度為30℃時，甲、乙的溶解度相等

答案：D.

例12（河南卷）呼氣式酒精測試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測駕駛員是否酒后駕車.酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻（圖10中的R1），R1的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖11），血液酒精濃度M與呼氣酒精濃度K的關系見圖12.下列說法不正確的是（ ）.

圖10

圖11

圖12

（A）呼氣酒精濃度K越大，R1的阻值越小

（B）當K=0時，R1的阻值為100

（C）當K=10時，該駕駛員為非酒駕狀態

（D）當R1=20時，該駕駛員為醉駕狀態

答案：C.

考查目標：考查觀察、理解函數圖象中對應關系及函數值的意義.

命題意圖：例11和例12均注重創設真實的問題情境，呈現變量之間的函數關系與變化規律，考查學生觀察和理解函數圖象中對應關系及函數值的意義.尤其是創設了跨學科情境，給變量賦予了化學和物理學科背景，令人耳目一新，充分體現了數學與其他學科的聯系及應用價值.

命題評價：以上試題情境新穎，注重考查函數的本質，體現數學應用，有效地落實了《標準（2022年版）》的理念，對教學起到導向作用.類似的試題還有河北卷第12題以完成某項工作需要的人數與天數為背景，創設6組數對(m，n)在坐標系中的對應關系.這樣的問題設計有效考查了學生對反比例函數概念與函數圖象中自變量和函數值意義的理解.

（2）關注函數與方程和不等式的聯系，滲透函數思想及代數推理.

函數、方程和不等式三者之間聯系密切、相互滲透，函數與方程、函數與不等式之間均可以相互轉化.《標準（2022年版）》要求以運動變化的觀點看待函數與方程、函數與不等式的轉化關系，這部分內容蘊含了很多培養學生代數推理能力的素材，函數思想和方程思想也是中學數學的基本思想.這些都會給命題的創新帶來新的啟示.

例13（山西卷）閱讀與思考.

下面是小宇同學的數學小論文，仔細閱讀并完成相應的任務.

任務：（1）上面小論文中的分析過程，主要運用的數學思想是_____（從下面選項中選出兩個即可）；

（A）數形結合 （B）統計思想

（C）分類討論 （D）轉化思想

（2）試參照小論文中當a＞0時①②的分析過程，寫出③中當a＞0，Δ＜0時，一元二次方程根的情況的分析過程，并畫出相應的示意圖；

（3）實際上，除一元二次方程外，初中數學還有一些知識也可以用函數觀點來認識.例如，可用函數觀點來認識一元一次方程的解.試再舉出一例為___________.

答案：（1）AC（答案不唯一）；

（2）當a＞0時，拋物線開口向上.

當Δ=b2-4ac＜0時，有4ac-b2＞0.

因為a＞0，所以頂點縱坐標.

所以頂點在x軸的上方，拋物線與x軸無交點（圖略）.

所以一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根.

（3）可用函數觀點認識二元一次方程組的解.（答案不唯一.）

例14（重慶A卷）已知一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數的圖象相交于點A（1，m），B（n，-2）.

（1）求一次函數的表達式，并在圖中畫出這個一次函數的圖象；

（3）若點C是點B關于y軸的對稱點，連接AC，BC，求△ABC的面積.

圖15

答案：（1）y=2x+2，圖略；（2）-2＜x＜0或x＞1；（3）12.

考查目標：考查函數與方程、不等式之間的聯系.

命題意圖：例13以學生數學小論文“用函數觀點認識一元二次方程根的情況”為素材，設置成閱讀與思考，模仿課堂教學的過程，在邊閱讀邊思考的過程中進行任務設計，考查二次函數圖象與x軸的交點問題與一元二次方程根的問題之間的相互轉化，引出分類討論思想，最后類比考查一次函數與一元一次方程之間的關系轉化，進行開放式問題設計，較好地滲透了分類討論、數形結合和轉化等數學思想.第（2）小題讓學生參照寫出“當a＞0，Δ＜0時，一元二次方程根的情況的分析過程”，滲透了對代數推理能力的考查，考查角度及形式比較新穎.例14綜合考查一次函數與反比例函數的圖象與性質，在第（2）小題中要求根據函數圖象直接寫出不等式的解集，很好地考查了用函數的觀點分析和理解題意，引導教學關注基礎知識之間的內在聯系.

命題評價：運用數形結合思想分析不等式的解集，能把不等式的解集逆向轉化為滿足一次函數圖象在反比例函數圖象上方的點的橫坐標所在的范圍，找到一次函數與反比例函數的交點坐標是解題的關鍵.類似的試題還有北京卷第26題，直接給出數學情境設置兩個問題，第一個問題是通過解二元一次方程組求解，第二個問題通過已知不等關系及拋物線上點的縱坐標的特征，結合不等式性質的運算，推理出對稱軸的范圍，側重從代數角度以代數推理為基礎考查二次函數的性質，也是一種新的嘗試.

（3）創設真實情境，設計有意義的問題，關注問題解決.

例15（浙江·溫州卷）根據如表4所示的素材，探索完成任務.

表4

答案：以拱頂為原點建立平面直角坐標系，可得拋物線的函數表達式為，完成任務1；任務2，懸掛點的縱坐標的最小值是-1.8，橫坐標的取值范圍為-6≤x≤6；任務3，由拋物線的軸對稱性，可以從頂點處開始懸掛燈籠，共掛7盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-4.8，也可以從對稱軸兩側開始懸掛燈籠，共掛8盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-5.6.

考查目標：考查二次函數與實際問題.

命題意圖：例15先提出需要解決的問題：如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？以“素材”形式創設真實情境，以“任務”方式提出與情境適切的有實際意義的問題，引發學生思考和探究，讓學生經歷完整的問題解決的過程，即“確定橋拱形狀—探索懸掛范圍—設計懸掛方案”，在解決問題的過程中自然考查平面直角坐標系、二次函數、方程和不等式等知識，滲透了對抽象能力、運算能力、模型觀念的考查，較好地體現了素養立意的命題導向.

命題評價：例15以“任務”的方式提出與情境適切的有實際意義的問題，讓學生經歷完整的項目解決過程，對綜合實踐學習進行考查，實現從解題走向解決問題的轉變，能夠落實“三會”，培養數學核心素養，引導學生以更加積極的態度和更加靈活的策略應對現實世界.

三、復習教學建議

通過以上對函數試題命題特點的分析，可以看出：在以往常規考查的基礎上，函數試題開始關注情境的豐富性和真實性，引導課堂教學多引導學生用數學的眼光觀察現實世界；試題命制對創設真實問題及代數推理的關注，引導課堂教學多關注對學生思維能力和數式運算變形能力的培養；試題命制對函數意義、函數表達式及圖象關系的關注，引導教學多培養學生對數學語言的理解與對問題的表達能力.除此之外，仍然要注重在教學過程中落實“四基”“四能”.為了在復習課教學中實現“減負增效”，有效落實中考命題的導向作用，提出以下幾點建議.

1.回歸教材，夯實基礎

課程標準是教材編寫、教學及命題的依據.在教學中，教師要認真研讀課程標準，明確《標準（2022年版）》對函數的內容要求和學業要求，準確把握教學內容的深度與廣度，不可超越《標準（2022年版）》給出的內容及要求.教材是最主要的教學資源，也是命題的主要素材來源.因此，教師在新授課時要把教材研究透，在復習時要把教材挖掘透，讓教材發揮“范本”“母題”功能，創造性地使用教材.

2.聚焦核心，注重本質

函數概念的形成是數學內部發展的需要，也是生產生活實際的需要.在教學中，應秉承從函數的概念出發、以函數的圖象與性質為核心和指向實際應用的思路，不斷挖掘函數的本質.在評價中，應堅持主干知識重點考查，堅持低起點、高落點，著力于對學生運算能力、推理能力等方面進行考查，促進學生理性思維的提升，促進學科核心素養的落實.

3.創設情境，感悟思想

在進行函數教學時，要重視函數思想的滲透.菲利克斯·克萊因（F.klein，1849—1925）曾明確提出，應將養成函數思想和空間觀察能力作為數學教學的基礎.這就要求教師在教學中要創設真實情境，揭示函數與現實生活的密切聯系，讓學生體會函數在描述變化現象的基本規律時的作用，再結合函數的圖象學習函數的性質，運用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題，體會數形結合思想，循序漸進地滲透函數的概念，潛移默化地構建函數思想.教材中有很多問題情境，教師在教學時要用好這些情境.在備課時，要經常思考什么時候用，該怎么用；在課后反思時，思考用得是否恰當、合理，是否達到了預期效果.除此之外，在教學中，還可以選取學生熟悉的生活情境和時政熱點，讓學生在自己熟悉的生活實例中體會用函數的眼光來觀察時代的變遷，用函數的語言來描述時代的發展，展現函數在新時代的魅力.

4.經歷過程，歸納方法

對于函數，我們一般從它的概念、表示方法、圖象與性質及其應用幾個方面進行研究.因此，我們要運用類比的方法來學習每一類函數，完整經歷抽象、畫圖、觀察、討論、歸納、分析、比較、應用等過程，深刻理解函數概念的形成過程和函數性質的生成歸納過程，總結基本的函數學習方法，感悟從函數的數量特征及圖形的幾何特征來刻畫函數的性質是研究函數的基本方法.

四、典型模擬題

為了便于交流與學習，特為讀者提供幾道典型的函數模擬題.

1.下面各圖中反映了變量y是x的函數的是（ ）.

答案：C.

2.已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點均在二次函數y=a(x-h)2+k的圖象上，且|x1-h|＞|x2-h|，則下列表達式正確的是（ ）.

（A）y1+y2＞0 （B）y1-y2＞0

（C）a(y1-y2)＞0 （D）a(y1+y2)＞0

答案：C.

答案：B.

4.已知點M(a，2)，N(b，3)是直線y=(k-2)x+k+3上的兩點，且a＜b，則k的取值范圍為_____.

答案：k＞2.

5.函數y與自變量x的部分對應值如表5所示，則該函數的圖象與直線y=2的交點坐標為_______.

表5

答案：（1，2）和（3，2）.

6.如圖20，在平面直角坐標系中，⊙P與x軸相切于點A，與y軸相交于B，C兩點，若直線y=2x+8經過A，C兩點.

圖20

（1）直接寫出點A，C的坐標.

（2）求⊙P的半徑.

答案：（1）A(-4，0)，C(0，8 )；（2）5.

7.某醫院與某疫情暴發地相距200 km.現安排甲、乙兩車從該醫院出發，滿載防疫物資馳援該疫情暴發地.已知甲車比乙車先出發兩小時，且甲、乙兩車與該醫院的距離（單位：km）分別表示為y1，y2，y1，y2與甲車行駛時間x（h）的函數關系如圖21所示，試結合函數圖象解答以下問題.

圖21

（1）甲車的速度是______；

（2）求y2關于x的函數關系式；

（3）甲車行駛多長時間時，兩車相距20 km？

答案：（1）40 km/h；

（2）y=100x-200（2≤x≤ 4）；

8.若函數y1=ax2+bx，y2=ax+b(ab≠0)，則我們稱y1與y2為孿生函數.

（1）①二次函數y=2x2+x的孿生函數為______；

② 拋物線y1過點(-1，0)，直線y2過點(1，2)，且y1與y2為孿生函數，求拋物線y1的解析式.

（2）若拋物線y1=ax2+bx與直線y2=ax+b(ab≠0)是孿生函數，且函數y2的圖象經過y1的頂點.

①求拋物線y1的對稱軸；

② 若當-2＜x＜-1時，拋物線y1位于直線y=-3x+3的上方；當2＜x＜3時，拋物線y1位于直線y=3x-3的下方，求直線y2的解析式.

答案：（1）①y=2x+1；②y1=x2+x.

（2）①x=1；②y2=2x-4.