關注數式通性·加強代數推理·提升運算能力
——2022年中考“數與式”專題命題分析

金雯雯，張宗余

（浙江省杭州市采荷中學；浙江省寧波市海曙外國語學校）

2022年4月《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）正式頒布，明確了核心素養的內涵，構建了以核心素養為主要維度的學業質量評價體系來評價教與學的效果.中考是依據學業質量標準，對學生學完本學科課程后的課程目標達成度進行的總結性評價.2022年全國各地區中考“數與式”試題傳承了往年對基礎知識和基本技能的重視，立足基本思想和基本活動經驗，更關注“數與式”的整體性，堅持素養立意，凸顯育人導向，滲透了對學生運算能力、推理能力、抽象能力、幾何直觀等核心素養的考查.

一、命題總體情況

數與式是代數的基本語言，是初中階段“數與代數”領域的重要知識，包括有理數、實數和代數式三部分內容.“數與代數”是數學知識體系的基礎之一，是學生認知數量關系、探索數學規律、建立數學模型的基石，可以幫助學生從數量的角度清晰地認識、理解和表達現實世界.綜觀2022年全國各地區中考“數與式”試題，從不同側面、不同角度全面覆蓋了數與式的基礎知識，凸顯了以數學核心素養的達成為命題的落腳點.例如，在有理數、實數、代數式等相關概念和表示方法中考查學生的抽象能力和模型觀念；在數與代數的運算中考查學生的運算能力；在基于符號的運算和推理中考查學生的推理能力；在以數軸、幾何圖形為載體研究代數式的過程中考查學生的幾何直觀素養.

“數與式”試題的題型以選擇題和填空題為主，分值大多在2～5分.也有部分地區的中考試卷將這部分內容放在簡答題中考查，分值大多在6～8分左右.也有部分試題有機結合其他相關內容，涉及章內知識和各章知識的融合，進一步結合方程、不等式、函數（包括銳角三角函數）等相關內容，綜合考查學生的運算能力.在2022年全國各地區約120份中考試卷中，“數與式”內容在大多試卷中占試卷總分值（全卷總分有100分、120分、150分三類）的15%左右，考查較多的有北京卷、浙江寧波卷、浙江金華卷等，以綜合題形式考查的有浙江嘉興卷、湖北隨州卷、浙江金華卷、河北卷等.

二、命題特點分析

2022年中考“數與式”試題基本覆蓋了《標準》要求的所有知識點，考查內容與《標準》要求基本吻合.和往年相比，在立足基礎知識和基本技能的基礎上，強調了“數與式”知識之間的內在聯系，注重運用類比體現運算法則和運算律的一致性，深化了對運算算理的理解，對于“數與式”的教學有很好的導向作用.值得一提的是，部分試題背景有效植入了數學文化，融入立德樹人的課程理念，彰顯了數學學科的育人價值.

1.關注數的發展，感悟數形結合

數的發展是代數發展的基礎，數的形成和發展基于生產、生活實踐的需要和數學內在發展的需要（主要是運算的封閉性）.通過對負數、有理數、實數的認識，感悟數是對數量的抽象，知道相反數的意義，知道絕對值是對數量大小和線段長度的表達，利用數軸將實數與點一一對應，體會數形結合的意義，培養學生借助數軸表示數的幾何直觀素養.

例1（云南卷）中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家.若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（ ）.

（A）10℃ （B）0℃

（C）-10℃ （D）-20℃

答案：C.

例2（廣西·桂林卷）在東西向的馬路上，把出發點記為0，向東與向西意義相反.若把向東走2 km記作“+2 km”，那么向西走1 km應記作（ ）.

（A） -2 km （B） -1 km

（C） 1 km （D） +2 km

答案：B.

命題分析：例1和例2考查了對負數意義的理解.從自然數到有理數的關鍵是引入了分數和負數，小學階段完成分數的擴充，初中階段完成負數和無理數的引入，將數系擴充到實數域.例1中規定“零上記為正，零下記為負”，把“零上10℃”記作“+10℃”；例2中規定“向東記為正，向西記為負”，把“向東走2km”記作“+2 km”，這里的“+”“-”代表數的性質.命制與負數概念相關的試題時，要依托學生對現實生活的經驗，注重創設真實情境，考查學生對負數概念的理解，選項設置上通常用相反數作為干擾選項.

例3（貴州·黔東南州卷）下列說法中，正確的是（ ）.

（A）2與-2互為倒數

（C）0的相反數是0

（D）2的絕對值是-2

答案：C.

命題分析：此題考查倒數、相反數、絕對值的概念.互為相反數是指只有符號不同的兩個數，相反數必然是成對出現的（0的相反數是0）.絕對值的概念是借助距離加以定義的，是對數量大小和線段長度的表達.絕對值刻畫的是一對相反數的共同特征：數軸上，表示互為相反數的兩個點到原點的距離相等，距離沒有負數.此類試題的命制從學生容易混淆的概念入手，通過對具體事例的辨析考查多種概念，基于學生的常見錯誤設置干擾選項.

例4（山東·臨沂卷）如圖1，A，B位于數軸上原點兩側，且OB=2OA.若點B表示的數是6，則點A表示的數是（ ）.

圖1

（A）-2 （B）-3

（C）-4 （D）-5

答案：B.

例5（湖北·荊州卷）實數a，b，c，d在數軸上對應點的位置如圖2所示，其中有一對互為相反數，它們是（ ）.

圖2

（A）a與d（B）b與d

（C）c與d（D）a與c

答案：C.

命題分析：例4考查了借助數軸表示數，同時融合線段的度量考查了線段的長度；例5考查了相反數的幾何意義，即一對相反數位于數軸上原點的兩側，并且到原點的距離相等，創新點在于利用數軸考查相反數的幾何意義.兩道試題都是有關數軸的常見命題方式.數軸是表示數的工具，數軸具有單位長度、原點、正方向三要素.實數與數軸上的點一一對應，體現了數軸是初中階段數形結合的工具.命題時注重對數學基本思想的考查，滲透了幾何直觀素養.

例6（四川·內江卷）如圖3，數軸上的兩點A，B對應的實數分別是a，b，則下列式子中成立的是（ ）.

圖3

（A） 1-2a＞1-2b（B）-a＜-b

（C）a+b＜0 （D） |a|-|b|＞0

答案：A.

命題分析：此題考查借助數軸比較實數的大小.位于數軸右邊的數總比數軸左邊的數大，這是比較兩個數大小的常用方法之一.同時，此題突出考查了不等式的基本性質.命制此類試題時通常借助不等式的基本性質的錯用制造迷惑選項，如選項B；也有以代數式的運算法則的錯用設置錯誤選項的，如選項C.選項D考查學生對絕對值幾何意義的理解程度.此題突出對基本技能的考查，借助數軸滲透數形結合思想，借助不等式的運算考查學生的運算能力.

例7（山東·臨沂卷）滿足的整數m的值可能是（ ）.

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

答案：A.

命題分析：此題考查用有理數估計一個無理數的大致范圍，《標準》中對此內容的要求是“掌握”.無理數是無限不循環小數，它來源于人們對數的抽象程度越來越高的要求.學生通過對數的平方根和立方根的學習，認識了不同于有理數的數，將數系擴充為實數.此題突出考查了學生對無理數大小的估計能力.估算是運算能力的特征之一，估算得科學、合理且符合邏輯是解決此題的重點.

2.考查運算法則，明確運算算理

“數與式”試題關注運算算理和算法之間的關系，考查學生對運算算理的理解，以及對運算法則的掌握情況.算理是運算過程中的道理，是運算過程中的思維方式；算法是運算的發展，是將復雜的思維過程簡化后，人為規定的程序化的操作步驟.理解算理確保運算的準確性，掌握算法能提高運算的速度；算理是算法的依據，算法是算理的概括.

例8（內蒙古·呼和浩特卷）計算-3-2的結果是（ ）.

（A）-1 （B）1 （C）-5 （D）5

答案：C.

例9（湖南·張家界卷）下列計算正確的是（ ）.

（A）a2·a3=a6（B） 2a2+3a3=5a5

（C） (2a)2=4a2（D） (a-1)2=a2-1

答案：C.

例10（河北卷）下列正確的是（ ）.

答案：B.

命題分析：運算是“數與代數”的核心.數系擴充后引入一類新數，需要研究其運算，即如何將引進的新數的運算歸結到原有的數之間的運算而定義運算法則，進而使得在原來范圍內成立的規律在更大的范圍內仍然成立.“數與式”的運算考查的內容有有理數的加減混合運算、實數的加減混合運算，以及整式、分式、二次根式等代數式之間的運算等.例8～例10分別考查了有理數的減法運算、整式的運算、二次根式的運算.此類試題的提問方式為讓學生直接運算和判斷運算是否正確，以考查學生對運算法則的掌握程度.命題干擾項常常通過收集學生日常錯誤的原因和形式而生成，不僅考查學生的基礎知識和基本技能，還突出考查了學生的運算能力.

例11（重慶A卷）在多項式x-y-z-m-n中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”.例如，(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n，….

下列說法：

①至少存在一種“加算操作”，使其運算結果與原多項式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；

③所有可能的“加算操作”共有8種不同運算結果.

其中正確的個數是（ ）.

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

答案：D.

命題分析：此題屬于新定義型題.先引入一種新的運算符號，確定這個符號的運算法則，并舉例說明.此類試題通過定義全新的運算方式，將傳統的代數運算遷移到新的情境中，再借助數與式的運算進行必要的推理，體現了數與式之間彼此交融、息息相關的本質特征，考查學生的運算能力和推理能力.原式中，可以通過加括號改變z，m，n的符號，但無法改變x，y的符號，故不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0.在多項式x-y-z-m-n中，可以通過加括號改變z，m，n的符號，加括號后只有加或減兩種運算，2×2×2=8，故所有可能的加括號的方法最多能得到8種不同的結果.此題設計的亮點在于情境新穎，試題本質為整式的加減運算.

例12（四川·遂寧卷）已知m為方程x2+3x-2 022=0的根，那么m3+2m2-2 025m+2 022的值為（ ）.

（A）-2 022 （B）0

（C）2 022 （D）4 044

答案：B.

例13（廣西·北部灣經濟區卷）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法.例如，“已知3a-b=2，求代數式6a-2b-1的值.”可以這樣解：6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根據閱讀材料，解決問題：若x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數式4a2+4ab+b2+4a+2b-1的值是________.

答案：14.

命題分析：例12和例13重點考查整體思想，整體思想的代數式求值試題備受命題者青睞.此類試題常常與代數式求值結合，命制試題的落腳點在于對學生運算能力的考查.例12旨在引導學生利用轉化降次思想求解，原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.例13有兩種解題思路.第一種為利用a與b的關系消元，即4a2+4ab+b2+4a+2b-1=4a2+4a(3-2a)+(3-2a)2+4a+2(3-2a)-1=4a2+12a-8a2+9-12a+4a2+4a+6-4a-1=14；第二種為利用整體思想將代數式變形，即4a2+4ab+b2+4a+2b-1=(2a+b)2+2(2a+b)-1=9+6-1=14.

3.類比數的運算，滲透數式通性

式的概念是通過字母表示數，在數和數的運算的基礎上建立起來的；式的運算既要依賴數的運算，又要拓展數的運算，還要提升數的運算.數與式的運算間的聯系非常緊密.例如，整式運算和整數運算，分式運算和分數運算，因式分解和質因數分解等都體現了數式通性.

類比數的運算，在代數式和代數式運算中，主要考查整式、分式、二次根式的相關運算，要求學生進一步理解字母表示數的意義，基于符號的運算和推理建立符號意識，基于數的運算律的普遍適用，感悟數式通性.

例14（湖南·長沙卷）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動.現需購買甲、乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（ ）.

（A） 8x元 （B） 10(1 00-x)元

（C） 8(1 00-x)元 （D） (1 00-8x)元

答案：C.

命題分析：此題借助社會情境考查了用字母表示數的思想.命制此類試題需要認真思考情境的科學性，根據考查意圖，結合學生的認知水平和生活經驗設計合理的生活情境、數學情境、科學情境，并要關注情境的真實性.

例15（河北卷）如圖4，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒.

圖4

（1）甲盒中都是黑子，共10個.乙盒中都是白子，共8個.嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍，則a的值為______.

（2）設甲盒中都是黑子，共m(m＞2)個，乙盒中都是白子，共2m個.嘉嘉從甲盒拿出a(1＜a＜m)個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數比甲盒所剩棋子數多______；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有x(0＜x＜a)個白子，此時乙盒中有y個黑子，則的值為_______.

答案：（1）4.（2）（m+2a）個；1.

命題分析：例15考查整式的加減運算.代數式的運算包括：代數式的化簡、求值，整式的加法、減法、乘法運算，乘法公式和因式分解，分式的加減乘除運算.數與式的運算密切關聯，從算式到代數式，運算法則和運算律對字母均成立，將數的運算抽象化、形式化、系統化，實現算術思維到代數思維的飛躍.命題時要根據考查目標和難度要求選擇素材，滲透數式通性，發展學生的抽象能力和運算能力.

例16（廣西·玉林卷）若x是非負整數，則表示的值的對應點落在如圖5所示數軸上的范圍是（ ）.

圖5

（A）① （B）②

（C）③ （D）①或②

答案：B.

例17（浙江·臺州卷）如圖6所示的解題過程中，第①步出現錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是_______.

圖6

答案：5.

命題分析：例16和例17考查了異分母分式的加減運算，運算時要注意運算法則和符號的變化.當分式的分子或分母是多項式時，要先因式分解，從而降低錯誤率.此類試題能夠考查學生對分式運算法則的掌握情況.除了常見的計算類試題外，近年來，部分試題也會以學生常常出現的“直接去分母進行計算”的錯誤為切入點進行命制，旨在考查學生對分式運算算理和分式基本性質的掌握情況.例17大膽創新，不僅關注分式的運算，而且融合了方程的相關知識點，著重考查了學生的運算能力和推理能力.

4.根植數學文化，彰顯立德樹人

數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及數學的概念和思想方法在形成和發展中所體現的文化特征和文化價值.基于數學文化的“數與式”試題的命制，倡導用數學文化關心人與自然及社會的和諧發展，真正提高學生的數學核心素養，彰顯立德樹人的教育理念.

例18（河南卷）《孫子算經》中記載：“凡大數之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆.”說明了大數之間的關系：1億=1萬×1萬，1兆=1萬×1萬×1億，則1兆等于（ ）.

（A） 108（B） 1012

（C） 1016（D） 1024

答案：C.

例19（湖北·宜昌卷）中國是世界上首先使用負數的國家.兩千多年前戰國時期李悝所著的《法經》中已出現使用負數的實例.《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數及其加減法運算法則，并給出名為“正負術”的算法，試計算以下涉及“負數”的式子的值：-1-(-3)2的值為______.

答案：-10.

例20（湖南·婁底卷）在古代，人們通過在繩子上打結來計數，即“結繩計數”.當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數，在粗細不同的繩子上打結（如圖7），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經出生了（ ）.

圖7

（A）1 335天 （B）516天

（C）435天 （D）54天

答案：B.

例21（湖北·隨州卷）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學發展史的一個里程碑.在該書的第2卷“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中.

（1）我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察圖8，找出可以推出的代數公式.（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號.）

圖8

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

公式③：(a-b)2=a2-2ab+b2

公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2

圖8（a）對應公式______，8（b）對應公式______，8（c）對應公式_____，8（d）對應公式_____；

（2）《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的方法，如圖9，試寫出證明過程.（已知圖中各四邊形均為矩形.）

圖9

（3）略.

答案：（1）①，②，④，③；（2）略.

命題分析：在中考試題中滲透數學文化，不僅可以體現數學的人文特征，而且可以豐富考查內容，讓更多教師關注數學文化，進而引導數學教學，強化立德樹人的理念.數學文化的滲透不僅是數學史的再現，更是數學應用、數學建模等數學觀念的體現.數學文化的取材十分廣泛，主要包括數學史、數學家及其成果、數學名著及命題、數學思想等.上述例子中提及的《孫子算經》和《九章算術》是我國的文化瑰寶，《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的數學著作，集整個古希臘數學的成果與精神于一身.在命制數學文化試題時，要根據考查意圖，有意識地關注蘊含豐富數學文化的素材，同時注意情境的適切性.

5.融入真實情境，培養綜合能力

近幾年中考在命題標準、命題內容、命題形式等方面進行了改革創新，加強了對數學核心素養的考查，聚焦對思維過程和思維質量的考查.情境化試題是基于數學核心素養導向的命題形式，以其不可替代性逐漸成為了中考考查的重要載體之一.這類試題主要考查學生獲取信息能力，并對獲取的信息進行加工和遷移的能力，要求學生將所學知識與情境銜接進行獨立思考，運用所學知識分析并解決實際問題.此類試題貼近生活、生產實際，體現社會熱點，強調理論聯系實際，突出數學知識的應用性.

例22（浙江·舟山卷）某動物園利用杠桿原理稱象：如圖10，在點P處掛一根質地均勻且足夠長的鋼梁（呈水平狀態），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計）分別懸掛在鋼梁的點A，B處，當鋼梁保持水平時，彈簧秤讀數為k（N）.若鐵籠固定不動，移動彈簧秤使BP擴大到原來的n(n＞1)倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數為______（用含n，k的代數式表示）.

圖10

例23（湖北·鄂州卷）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型.在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示，即21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……試推算 22022的個位數字是（ ）.

（A）8 （B）6 （C）4 （D）2答案：C.

命題分析：例22結合物理中的杠桿原理考查代數式的表示，考查用字母表示數的思想，側重考查學生的抽象能力、推理能力、模型觀念、應用意識等.根據杠桿的平衡條件：動力×動力臂=阻力×阻力臂，計算得答案為.例23借助生物學細胞繁殖模型，考查有理數的乘方的相關知識點，側重考查學生的運算能力和應用意識.利用已知得出數的個位數字的變化規律即可確定答案.情境類試題命制的目的在于培養學生綜合運用數學知識解釋跨學科或者生活中實際問題的能力.命制有品質的情境類試題要提高情境的真實性、注重任務的過程性、增強成果的顯性化，命制試題答案時，最好能設置等級化的評分量表，凸顯過程性評價.

三、命題建議

評價既是教育質量保障體系的重要方面，又是促進學生有效學習的重要方式.好的試卷會提供給教師正確的教學導向.“數與式”試題的命制既要關注知識，又要注重方法，要著重考查基礎知識和基本技能，強化算法、算理的內在聯系和本質區別；既要深化聯系，關注數學內部整體構建，又要考查生成，關注數學思維習慣的養成；既要規范命題設問，盡量與教材編寫保持一致，又要關注人文情懷，促使評價導向立德樹人.

1.把握命題原則，凸顯素養導向

命制數學試題時要明確考查意圖，不僅要把握命題原則，更要滲透對核心素養表現的考查.通過創設合理的情境、設置合理的問題、制定科學的評分標準，實現對核心素養導向下義務教育數學課程學業質量的全面考查.在“數與式”相關試題的命制過程中，借助真實有效的情境設置命題背景是值得推崇的.該類試題在情境中嵌入對知識點的考查，引導學生用數學的眼光觀察現實世界，并將其抽象為數學問題，調用相關知識，用數學的思維思考解決問題的方案，進而使用數學的語言規范表達.例如，臺灣卷中以緩降機的設備操作圖作為試題背景，取材真實，考查有理數的運算，凸顯了對學生運算能力和應用意識的考查.

2.關注《標準》要求，考查運算能力

《標準》中新增的“學業質量”內容，為中考命題提供了重要依據.具體而言，要將《標準》中的內容要求細化為可操作的目標解析，進而命制試題.例如，對于“數與式”的代數式內容要求中的第5條——理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，應細化為：①了解單項式、多項式、整式的概念；②能指出單項式的次數和系數、多項式的次數和項，能把多項式按照降冪或升冪順序排列；③知道同類項的含義，知道合并同類項的依據是分配律，能熟練地合并同類項.中考試題注重考查基礎知識，命題時要以《標準》中的內容為依據考查知識點.

因此，準確理解和把握學業質量的關鍵要素和核心要義，命制考查運算能力、抽象能力、模型觀念的試題，對于數學核心素養的落地具有重要意義.

3.加強邏輯論證，導向推理能力

《標準》強調了代數推理，讓學生能體會代數運算中運算法則和運算律的一致性，感悟從一般到特殊的說理過程，類比數的運算感悟運算和運算律在代數式中普遍適用，在歸納中探索、發現、下定義、論證，滲透對學生推理能力的考查.命制含有邏輯論證的試題，有助于培養學生縝密的思維方式.推理活動包括從已有事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷出某種結論，也包括從已有事實和確定的規則出發，按照邏輯推理的法則進行證明和計算（演繹推理）.在問題解決的過程中，兩種推理的功能不同，前者一般用于探索思路、發現結論，這在運算法則、公式等探索的過程中經常使用，而后者常用于證明結論.2022年中考河北卷、浙江嘉興卷中的“數與式”相關試題很好地體現了代數推理思想.

4.探索跨學科試題，發展問題解決能力

學科融合是當前教育界關注的熱點話題.跨學科融合可以將不同領域的學科知識和技能的教、學、評進行整合，不僅優化了傳統的教學模式，將各學科零散的知識變成一個相互聯系的統一整體，而且更契合將學生培養成為“全面發展的人”的育人目標.

如何通過學科融合對學生所學內容進行測評是值得思考和研究的，也是未來中考試題命制的方向之一.其中，要特別關注跨學科情境的科學性.2022年中考中就有很多“數與式”相關試題滲透了跨學科背景，如浙江舟山卷第15題融合科學中的杠桿原理考查代數式的表示，江西卷第4題融合科學中的有機物考查代數的規律，湖北鄂州卷第6題將細胞種群數量變化模型融合了數學和生物學兩個學科的內容，臺灣卷第24題以日光燈管的發光效率融合科學學科考查學生的閱讀理解能力和有理數比較大小的知識點.命制試題時，也可以參考融合數學與醫學、天文學等領域知識，考查學生的綜合素養.

四、復習教學建議

1.重視提升運算能力和代數推理的訓練

對于“數與式”部分而言，基礎知識是指學生學習過程中獲得的數學概念、原理和事實，是分析問題和解決問題的基本工具；基本技能是指學生學習過程中掌握的學習能力，包括代數中的列式計算、運算法則、運算律等，這些基本技能是進行數學思考和解決問題必不可少的基礎.如果基礎知識和基本技能不達標，將會影響學生的學習效果.例如，沒掌握運算法則導致數學運算結果錯誤；在代數推理證明過程中缺乏嚴謹性，導致證明問題時通常采取舉例子的方法.因此，在復習教學過程中，教師要引導學生在厘清算理的基礎上，適當加強運算技能的訓練；在理解問題情境的基礎上，加強根據題意列式的訓練；在歸納得出規律的基礎上，嘗試使用代數進行推理論證，形成數學的邏輯思考.

2.滲透代數學習的一般觀念

一般觀念是具體內容所在的知識領域的核心觀念，包括如何引用研究對象，怎樣通過抽象界定研究對象得到數學概念，用什么方法和思路研究問題等.在一般觀念的滲透中，要理解數學思想方法.思想方法讓學生學會分析問題，一般觀念讓學生學會學習，兩者融合，才能形成有層次性的學科思維.

在“數與式”部分，研究一個代數對象的一般觀念是：背景（現實或數學）—定義、表示—分類—性質（圖象）—運算—聯系與應用.學習每類代數對象時，都應該遵循這種研究套路和研究思想，以便學生逐步掌握研究代數對象的“大概念”.該部分內容涉及的數學思想主要是在引入新的對象時的數系擴充思想，以及在字母表示數和代數式運算中的抽象能力和代數式計算中的轉化思想.用數學思想和一般觀念統領復習教學，可以促使學生獲得更高層次的認知能力的發展.

3.關注運算的一致性

從運算意義的角度來看，所有運算都可以還原成加法，加法是所有運算的基礎；從運算算理的角度來看，分配律、交換律、結合律和等式的基本性質是所有算理的基礎；從運算算法的角度來看，所有運算都可以還原成計數單位與計數單位的運算、計數單位上的數字與計數單位上的數字的運算.

抓住“數”與“運算”的一致性，就能夠撥開籠罩在數及其運算表面的層層面紗，進而引導學生建立起知識之間的聯系，體會知識的本源性、一致性和整體性.因此，在復習教學過程中，教師要整體把握教學內容，關注課程內容的結構化，引導學生體會知識之間的關聯，使學生從整體上掌握相關內容，形成用整體的、聯系的、發展的眼光看問題的意識，實現知識與方法的遷移，更高效地達成復習目標，發展數學核心素養.

五、典型模擬題

1.下列運算結果為負數的是（ ）.

（A） (-3)×(-4 )（B） (-5)×3×(-1)

（C） (-2 021)×0 （D） (-4)×(-2)×(-5)

答案：D.

【評析】此題主要考查有理數的乘法法則.

2.據報道：中國為防控疫情做出的巨大努力有目共睹，受到了世衛組織和國際權威公共衛生專家的稱贊，其他一些國家也在尋求借鑒中國的經驗和防控措施，截至9月17日報道前，境外累計確診病例約78 200 000人次.將78 200 000用科學記數法表示應為（ ）.

（A） 7.82×106（B） 0.782×107

（C） 7.82×107（D） 782×106

答案：C.

【評析】此題考查科學記數法的表示.

3.如圖11，將一刻度尺放在數軸上（數軸1個單位長度是1 cm），刻度尺上0 cm對應數軸上的數3，那么刻度尺上6.5 cm對應數軸上的數為（ ）.

圖11

（A）-2.5 （B）-3.5

（C）-6 （D）-6.5

答案：B.

【評析】此題考查的是數軸上的點.利用兩點間的距離，求得刻度尺上6.5 cm的點到原點的距離是6.5-3=3.5(c m)，對應的數是-3.5.

（A）±4 （B）±2

（C）4 （D）2

答案：C.

【評析】此題考查二次根式的意義.二次根式中的被開方數是非負數，利用二次根式有意義的條件，得.進而得y=32.所以

答案：3.

6.若4x2+3xy減去某個多項式的差是-4x2-3xy-5y2，那么這個多項式是____________.

答案：8x2+6xy+5y2.

【評析】此題主要考查整式的加減.

7.我們知道，同底數冪乘法法則為am·an=am+n（其中a≠0，m，n為正整數）.類似地，我們規定關于任意正整數m，n的一種新運算：g(m+n)=g(m)·g(n)，若g(1)=-3，則g(2 020)·g(2 021)的值為_______.

答案：-34041.

【評析】此題考查同底數冪的乘法、有理數混合運算.由g(m+n)=g(m)·g(n)，推得g(2 020)·g(2 021)=g(4 041)=[g(1) ]4041=-34041.

8.下面是小穎同學進行分式化簡的過程，試認真閱讀并解答問題：

（1）以上化簡步驟中，小穎在第一步進行了哪些運算或變形？試將正確答案的序號寫在橫線上_____；

A.分式通分

B.除法轉化為乘法

C.因式分解

D.分式約分

（2）第______步開始出現錯誤，試寫出正確的解答步驟和答案；

答案：（1） ABC；

（2）二，解答步驟和答案如下.

【評析】此題考查因式分解、分式的運算等內容.

9.如圖12，“英寸”是電視機常用尺寸，1英寸約為大拇指第一節的長，則7英寸長相當于（ ）.

圖12

（A）一支粉筆的長度

（B）課桌的長度

（C）乒乓球桌的寬度

（D）數學課本的寬度

答案：D.

【評析】此題考查了數學常識，以及基本的計算能力和估算的能力.1英寸約為大拇指第一節的長，7英寸長是它的7倍，相當于數學課本的寬度.

10.《商品房銷售面積計算及公用建筑面積分攤規則》中規定：商品房按“套”或“單元”出售時，商品房的銷售面積為購房者所購買的套內或單元內建筑面積與應該分攤的公用建筑面積（以下簡稱“公攤面積”）之和，即“銷售面積=套內建筑面積+公攤面積”.房屋公攤面積及分攤系數直接關系到購房者的利益.其中，.

某地區出售A，B兩種商品房：A商品房的銷售面積為120平方米，分攤系數為； B商品房的銷售面積比A住房大，公攤面積也有所增加.

（1） A商品房的公攤面積為_______；

（2）某銷售人員稱“B商品房較A商品房增加的公攤面積僅是增加的套內建筑面積的一半，因此B商品房的分攤系數更小”，試判斷該銷售人員的言論是否可信，并說明理由.

答案：（1）20平方米；

（2）設B商品房較A商品房所增加的公攤面積為a，則增加的套內建筑面積為2a.因為B商品房的分攤系數為，所以B商品房的分攤系數大于A商品房的分攤系數.所以該銷售人員的言論不可信.

【評析】此題主要考查列代數式及不等式的性質.