數(shù)學(xué)課堂要有“研究”的味道
——“裂項(xiàng)相消法求和”教學(xué)實(shí)錄與反思*

鄭金賓

(天津市東麗區(qū)第一百中學(xué) 300300)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來自天津市示范性高中高二學(xué)生，具有一定的邏輯思維能力、抽象概括能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

1.2 教材分析

“裂項(xiàng)相消法求和”是人教A版選擇性必修第二冊(cè)第四章“數(shù)列”的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)之后，圍繞數(shù)列求和這一特征要素，對(duì)數(shù)列知識(shí)的一次綜合和深化．其思想實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．這個(gè)裂項(xiàng)、相消的過程蘊(yùn)含著化歸與轉(zhuǎn)化、分解與組合、映射與對(duì)應(yīng)、無限到有限、函數(shù)與方程思想，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，有助于形成理性思維并提升研究能力．

教學(xué)目標(biāo) (1)了解裂項(xiàng)相消求和法的基本思路，理解其基本原理，形成一般觀念；(2)會(huì)從數(shù)列原型出發(fā)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行裂項(xiàng)，并能進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣埂⑼茝V；(3)會(huì)利用方程的思想判斷裂項(xiàng)后是否能夠相消，能發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)后相消的規(guī)律，能應(yīng)用裂項(xiàng)相消法的思想，創(chuàng)造性地解決一些數(shù)列求和問題，做到學(xué)以致用．

教學(xué)重點(diǎn) 能正確地對(duì)裂項(xiàng)相消法的模式進(jìn)行識(shí)別，會(huì)用裂項(xiàng)相消法求一些數(shù)列的和．

教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)列求和時(shí)裂項(xiàng)、相消的發(fā)現(xiàn)、歸納過程．

2 教學(xué)過程

2.1 單元復(fù)習(xí) 觀念引領(lǐng)

生1：既不屬于等差數(shù)列求和，也不屬于等比數(shù)列求和，是一種以前沒有遇到的數(shù)列求和，解決起來有困難．

師：在數(shù)列單元中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+…+an作為數(shù)列的一種重要特征元素，對(duì)于描述數(shù)列有著極為重要的作用．問題1對(duì)我們提出了新的挑戰(zhàn)．回憶一下，在以前所學(xué)習(xí)過的數(shù)列求和主題中，我們都接觸了哪些方法？

生2：如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，將Sn=a1+a2+a3+…+an變形為Sn=an+an-1+an-2+…+a1，然后利用a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，將兩式相加得到Sn，用到了倒序相加法．

生3：如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，當(dāng)公比q≠1時(shí)，將Sn=a1+a2+a3+…+an變形為qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq，然后利用a1q=a2,a2q=a3,…,anq=an+1，將兩式相減得到Sn，用到了錯(cuò)位相減法．

師：通過等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，你能從中總結(jié)出一些數(shù)列求和的思路嗎？

生4：可以把數(shù)列中的項(xiàng)進(jìn)行變形，將和的運(yùn)算進(jìn)行下去，把無限項(xiàng)求和轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)和的形式．

師：依據(jù)數(shù)列本身的性質(zhì)，將數(shù)列中的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)變形，通過等量替換、加減消元等方式，將無限項(xiàng)的和轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)和的形式，這就是數(shù)列求和的一般觀念！

2.2 搭建支架 聯(lián)想激活

問題2數(shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1(n≥2)的前n項(xiàng)和Tn如何表示？

生5：因?yàn)樵跀?shù)列求和過程中，a2,a3,…,an-1恰好能夠正負(fù)抵消，所以Tn=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2)，干凈利落！

師：受此啟發(fā)，你能解決問題1嗎？

師：漂亮！你是怎么想到的？

2.3 批判質(zhì)疑 提煉方法

師：生7仿照問題2的解決過程，嘗試對(duì)問題3中的式子進(jìn)行了分解，勇氣可嘉！對(duì)于生7得出的結(jié)論，同學(xué)們都同意嗎？

師：這種將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的形式，利用正負(fù)抵消，將中間的項(xiàng)消去，進(jìn)而得到其和的方法稱為裂項(xiàng)相消法求和，體現(xiàn)了分解與組合、轉(zhuǎn)化與化歸、無限到有限的數(shù)學(xué)思想．裂項(xiàng)是手段，相消是目的．

2.4 分析現(xiàn)象 把握本質(zhì)

問題4上面兩個(gè)裂項(xiàng)相消法求和的問題，會(huì)與什么類型的數(shù)列有關(guān)聯(lián)？

生10：我發(fā)現(xiàn)數(shù)列{n},{2n-1}是等差數(shù)列．

師：有眼光！在題目的背后果然隱藏著等差數(shù)列的影子！你能寫出這種數(shù)列求和的一般形式嗎？

師：看來這種數(shù)列求和與等差數(shù)列密切相關(guān)．如何進(jìn)行裂項(xiàng)呢？

師：謝謝你！我們?cè)絹碓侥芸辞暹@種求和形式的本質(zhì)了．從數(shù)列原型——等差數(shù)列出發(fā)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)、相消，等差數(shù)列的介入為我們解決數(shù)列求和問題打開了一扇窗！

2.5 選取原型 改題編題

問題5利用剛才裂項(xiàng)相消法求和的形式，編制一道習(xí)題，并試著完成它．

師：為什么不能相消呢？

生12：(沉思片刻)如果令an=3n-2，bn=3n，因?yàn)榉匠蘟n=bm是無解的，所以裂項(xiàng)以后不可能正負(fù)相消．

師：非常透徹！構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，從方程的角度判斷方程是否有解，體現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)之間的映射與對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了裂項(xiàng)后是否能夠相消的根源所在．

師：請(qǐng)你再闡述一下，裂項(xiàng)后是如何實(shí)現(xiàn)相消的？

生13：如果令an=n+1，bn=n+3，因?yàn)閍n+2=bn，所以裂項(xiàng)以后能夠?qū)崿F(xiàn)正負(fù)相消，只不過需要隔一項(xiàng)才能抵消，最后正負(fù)抵消剩4項(xiàng)．

生14：應(yīng)該可以，只不過正負(fù)抵消后會(huì)剩2k項(xiàng)．

2.6 聯(lián)想拓展 抽象推廣

生16：拓展到分母為四項(xiàng)之積……

師：再想一想：能不能把分母拓展為m項(xiàng)之積這種更一般的形式？

2.7 破解定勢(shì) 形成結(jié)構(gòu)

問題7裂項(xiàng)只有拆成兩項(xiàng)之差的形式嗎？

師：你能舉例說明一下嗎？

師：可這樣無法實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消啊！如何變換題目條件使之符合裂項(xiàng)相消的要求？

師：很聰明！引入(-1)n后使得數(shù)列的各項(xiàng)符合了裂項(xiàng)相消法的要素，后面的裂項(xiàng)相消也就順理成章了．

2.8 應(yīng)用方法 遷移創(chuàng)造

問題8裂項(xiàng)相消法的思想，還能應(yīng)用到哪些數(shù)列求和？

師：非常棒！祝賀同學(xué)們得到這么多驚人的發(fā)現(xiàn)！“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”，只要我們能抓住數(shù)列問題的規(guī)律和本質(zhì)特征，問題就會(huì)迎刃而解，就能揭開數(shù)學(xué)那層薄薄的神秘面紗！

2.9 總結(jié)歸納 提升認(rèn)識(shí)

(1)基本思路：先分解，再組合；(2)基本思想：化歸與轉(zhuǎn)化、分解與組合、映射與對(duì)應(yīng)、無限到有限、函數(shù)與方程；(3)基本套路：裂項(xiàng)是前提，相消是關(guān)鍵．

3 教學(xué)反思

教育從研究中開始，在研究中結(jié)束，研究活動(dòng)要貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的始終．在數(shù)學(xué)課堂上，要淡化對(duì)解題技巧的訓(xùn)練，避免把教學(xué)的重點(diǎn)放在題型的歸納、解題技巧的掌握上，要消除機(jī)械學(xué)習(xí)、淺層學(xué)習(xí)弊端，要引導(dǎo)學(xué)生以研究者的眼光研究數(shù)學(xué)問題，分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)課堂充滿研究的味道，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，促使深度學(xué)習(xí)發(fā)生．

3.1 觀數(shù)學(xué)：培養(yǎng)研究意識(shí)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)一般觀念的引導(dǎo)

數(shù)學(xué)課堂上要基于問題解決的需要，讓學(xué)生經(jīng)歷以“一般觀念”為引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，并通過推理論證證明結(jié)論的過程，培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，提高學(xué)生“觀數(shù)學(xué)”的能力．圍繞“數(shù)列求和”這一核心概念，要加強(qiáng)對(duì)“如何思考”“如何發(fā)現(xiàn)”“如何解決”的啟發(fā)和引導(dǎo)，如數(shù)列求和是如何實(shí)現(xiàn)從無限項(xiàng)和到有限項(xiàng)和的轉(zhuǎn)化的？裂項(xiàng)是如何實(shí)現(xiàn)的？相消是如何實(shí)現(xiàn)的？應(yīng)用裂項(xiàng)相消法能解決具有什么特征的數(shù)列求和？在這些“一般觀念”的引導(dǎo)下，促使學(xué)生主動(dòng)探究、深入研究．

3.2 聯(lián)數(shù)學(xué)：勾聯(lián)研究?jī)?nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)課堂上要基于學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生聯(lián)想、想象、猜想意識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷從單元的視角建立知識(shí)間有效關(guān)聯(lián)的過程，培養(yǎng)學(xué)生“聯(lián)數(shù)學(xué)”的能力．圍繞“裂項(xiàng)相消法”這一核心知識(shí)，建立所研究數(shù)學(xué)問題的承重墻，打通不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的隔離墻，將相關(guān)內(nèi)容從幕后推向前臺(tái)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度勾聯(lián)，提高學(xué)生“聯(lián)數(shù)學(xué)”的能力．從數(shù)列原型出發(fā)，建立所求數(shù)列與數(shù)列原型的聯(lián)系，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)屬性；從分式的加減法運(yùn)算出發(fā)，建立數(shù)列通項(xiàng)公式與分式運(yùn)算的聯(lián)系，有助于裂項(xiàng)相消過程的探求，使得裂項(xiàng)相消的探究成為與已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)相互融合的過程．

3.3 變數(shù)學(xué)：變換研究形式，突出對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)課堂上要基于所研究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行典型的變式，讓學(xué)生經(jīng)歷在變式中尋求不變性，從而深刻揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生“變數(shù)學(xué)”的能力．圍繞裂項(xiàng)相消中“分解與組合”這一本質(zhì)屬性，給予分解與組合豐富的變式樣態(tài)與表征形式.如將數(shù)列的通項(xiàng)公式變式為兩項(xiàng)之差(和)的形式；將分母的兩項(xiàng)之積變式為三項(xiàng)、四項(xiàng)……m項(xiàng)之積；讓學(xué)生在數(shù)列通項(xiàng)公式的變化中深刻領(lǐng)會(huì)如何去裂項(xiàng)、如何進(jìn)行相消，探究最大限度的一般化模式，在更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括與歸納，形成系統(tǒng)性、普適性的思維結(jié)構(gòu)．

3.4 辨數(shù)學(xué)：改變研究角度，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的批判

3.5 用數(shù)學(xué)：應(yīng)用研究成果，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造

數(shù)學(xué)課堂上要基于所研究數(shù)學(xué)問題的價(jià)值與意義，讓學(xué)生經(jīng)歷將獲取的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到新的真實(shí)情境中，在再創(chuàng)造的過程中培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的能力．“裂項(xiàng)相消法”不僅僅給學(xué)生提供了一種解題方法，更重要的是給學(xué)生提供了一種思維方式，即如果能把數(shù)列中的每一項(xiàng)分解，再重新組合時(shí)能夠消去一些項(xiàng)，那么就可以得到數(shù)列之和．教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地應(yīng)用這樣的思維方式，去創(chuàng)造性地構(gòu)造數(shù)列求和，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些以前從未發(fā)現(xiàn)的方法，解決一些以前未能解決的數(shù)學(xué)問題，如3+5+7+…+(2n+1)，12+22+32+…+n2，13+23+33+…+n3……發(fā)散思維，另辟蹊徑，體驗(yàn)成功，將應(yīng)用研究成果的過程變?yōu)閷W(xué)生再創(chuàng)造知識(shí)的過程，將學(xué)數(shù)學(xué)的過程變?yōu)椤巴鏀?shù)學(xué)”的過程，其樂融融，其樂無窮！