高考中立體幾何大題考向探究

■江蘇省如皋中學(xué) 陳國建

通過對近幾年高考試卷的研究,不難發(fā)現(xiàn),新高考數(shù)學(xué)對立體幾何模塊的考查以基礎(chǔ)為主,以空間想象能力、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等方面的素養(yǎng)為根本,更加注重相關(guān)數(shù)學(xué)知識的綜合性和在數(shù)學(xué)知識交匯處命題,對考生的能力與素養(yǎng)的要求更高。特別地,以常見的三個“動”——動手、動腦、動態(tài)為根本的立體幾何問題,是新高考數(shù)學(xué)試卷中解答題的一個熱點考向,同學(xué)們要引起重視。

一、動手——空間距離問題

例1如圖1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=1,AC=,E,F分別為線段BB1,AC1的中點。

圖1

(1)證 明:EF⊥平 面A1ACC1;

(2)若直線EA與平面ABC所成的角大小為,求點C到平面AEC1的距離。

解析:(1)取BC的中點M,連接FM,BM,如圖2。在△ACC1中,由F,M分別為AC1,AC的中點,可得FM=CC1,且FM∥CC1。又在直三棱柱ABCA1B1C1中,E是BB1的中點,所以BE=CC1,且BE∥CC1,則有BE=FM,且BE∥FM,所以四邊形BEFM為平行四邊形,可得EF∥BM。在△ABC中,M為AC的中點,且AB=BC=1,AC=,所以BM⊥AC,且BM=。由于CC1⊥平面ABC,BM?平面ABC,所以CC1⊥BM。又CC1∩AC=C,所以BM⊥平面A1ACC1,則有EF⊥平面A1ACC1。

圖2

解題技巧總結(jié):空間距離問題往往以求解點面距離為主,其破解方法有以下常見的三種:(1)作點到面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離;(2)等體積法;(3)向量法。其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的試題中使用較簡便。

二、動腦——探索性問題

例2如圖3,在四棱錐S-ABCD中,底面四邊形ABCD是矩形,△SAD是正三角形,且平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,P為棱AD的中點,四棱錐S-ABCD的體積為

圖3

(1)若E為棱SB的中點,求證:PE∥平面SCD。

(2)在棱SA上是否存在點M,使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為若存在,指出點M的位置并給以證明;若不存在,請說明理由。

解析:(1)取SC的中點F,連接EF,DF。在△SBC中,由于E,F為SB,SC的中點,可得EF∥BC,且EF=BC。由于四邊形ABCD是矩形,P為棱AD的中點,可得PD∥BC,PD=BC。所以EF∥PD,EF=PD,故四邊形PEFD是平行四邊形,所以PE∥FD。又FD?平面SCD,PE?平面SCD,所以PE∥平面SCD。

(2)假設(shè)在棱SA上存在點M滿足題意。

圖4

解題技巧總結(jié):空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題,它無需進行復(fù)雜的作圖、認證、推理,只需通過坐標(biāo)運算進行判斷。(1)對于存在判斷型問題的求解,應(yīng)先假設(shè)存在,把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等;(2)對于位置探究型問題,通常借助向量,引進參數(shù),綜合已知和結(jié)論列出等式,解出參數(shù)。

三、動態(tài)——翻折與展開問題

例3如圖5,在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=3,∠ABC=30°,AE⊥BC,垂足為E。如圖6,以AE為折痕把△ABE折起,使點B到達點P的位置,且平面PAE與平面AECD所成的角為90°。

圖5

圖6

(1)求證:PE⊥CD;

(2)若點F在線段PC上,且二面角F-AD-C的大小為30°,求三棱錐FACD的體積。

解析:(1)由于平面PAE與平面AECD所成的角為90°,可得平面PAE⊥平面AECD。而平面PAE∩平面AECD=AE,PE⊥AE,PE?平面PAE,所以PE⊥平面AECD。又CD?平面AECD,故PE⊥CD。

(2)由(1)知PE⊥平面AECD,所以PE⊥AE,PE⊥CE,而EA⊥EC,所以EA,EC,EP兩兩垂直,以E為坐標(biāo)原點,EA,EC,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz。

圖7

解題技巧總結(jié):破解翻折與展開問題的基本技巧策略為:(1)確定翻折前后變與不變的關(guān)系:一般地,位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變,而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化。對于不變的關(guān)系,可以在平面圖形中處理,對于變化的關(guān)系,則要在立體圖形中處理。(2)確定翻折前后關(guān)鍵點的位置變化:關(guān)鍵點是指翻折過程中運動的點。因為這些點的位置移動,會帶動與其相關(guān)的點、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化,只有分析清楚關(guān)鍵點的準(zhǔn)確位置,才能以此為參照,確定與其相關(guān)的點、線、面的位置,進而進行有關(guān)的證明與計算。

對于解答題中的立體幾何的考查,新高考數(shù)學(xué)試題朝著“重視基礎(chǔ)、鞏固根本、強調(diào)綜合、體現(xiàn)應(yīng)用、著力創(chuàng)新”等特點的命題方向發(fā)展。此部分的命題趨勢與展望大體上是更加注重立體幾何中基本概念的理解與掌握,基本定理的推理與應(yīng)用,空間模型更加精細,空間元素更加清晰,同時注重數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的有機融合與交匯等。