立體幾何中空間角的易錯題剖析

■河南省信陽市固始縣信合外國語高級中學 殷武娟

易錯點1.忽略異面直線所成角的范圍

例1(2023 年四川省宜賓市第三中學校高二期中(理))如圖1所示,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=120°,E為BB′的中點,則異面直線CE與C′A所成角的余弦值為( )。

圖1

錯解:選A。如圖2 所示,直三棱柱ABC-A′B′C′向上方補形為直三棱柱ABCA″B″C″,其中A′,B′,C′分別為各棱的中點,取B′B″的中點D′,可知CE∥C′D′,異面直線CE與C′A所成角即為C′D′與C′A所成角。設CB=2,則C′D′=,C′A=2,AD′=,所以cos∠AC′D′=

圖2

易錯點2.混淆線面角和平面的法向量與直線方向向量夾角的關系致錯

例2(2023屆百師聯(lián)盟高三上學期11月份聯(lián)考)如圖3,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為BC的中點,PB=PC=,PD=BC=2AB=2。

圖3

(1)求證:平面PBC⊥平面ABCD。

(2)求直線AD與平面PCD所成角的正弦值。

錯解:(1)證明過程略。

(2)由(1)知,PO⊥平面ABCD,取AD的中點Q,連接OQ,易知OQ,OC,OP兩兩互相垂直。

圖4

易錯點3.忽略兩平面法向量的夾角與二面角平面角的關系致錯

例3(2023 屆吉林省長春市高三上學期11 月份一模)如圖5所示的幾何體是由棱臺ABC-A1B1C1和棱錐DAA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長為2 的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1。求二面角A1-BDC1的余弦值。

圖5

圖6

錯因分析:錯解中誤認為兩平面法向量的夾角就等于二面角的平面角,實際上二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)。

正解:前面同錯解。

由圖可知二面角A1-BD-C1為銳角,故二面角A1-BD-C1的余弦值為

易錯點4.混淆直線與平面的夾角和二面角的平面角致錯

圖7

圖8

錯因分析:錯解中誤認為兩平面法向量的夾角的余弦值等于二面角的平面角的正弦值,混淆線面角和二面角的求法。

正解:(2)前面同錯解。