立體幾何線面關系的證明易錯題剖析

■河南省信陽市固始縣信合外國語高級中學 胡云兵

易錯點1.證明直線與平面平行時,忽略直線是否在平面內,而造成錯誤

例1(2023 屆四川省廣安市高三階段性測試)如圖1,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,AB=,AD=2,△PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,E,F分別為PC,PB的中點。證明:EF∥平面PAD。

圖1

常見錯解:因為E,F分別為PC,PB的中點,所以EF∥BC。因為AD∥BC,所以EF∥AD,所以EF∥平面PAD。

錯因分析:證明過程中,在說明EF∥AD時,一定要寫明“AD?平面PAD,EF?平面PAD”這兩句話,證明過程才完整。

正解:因為E,F分別為PC,PB的中點,所以EF∥BC。因為四邊形ABCD是矩形,所以AD∥BC,所以EF∥AD。因為AD?平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD。

易錯點2.證明面面平行時缺少線線相交的條件

例2(2023屆華大新聯盟11月高三質檢)如圖2,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,∠CAB=45°,M為線段A1B與AB1的交點,P,Q分別為線段CC1,AB的中點,延長B1B至點D,使得BD=B1B,連接CD,QD,CQ。求 證:平 面CDQ∥平 面A1BP。

圖2

常見錯解:連接MQ,因為BD=CP=C1C=B1B,所以CP=BD。又CP∥BD,所以四邊形BDCP是平行四邊形,則CD∥BP。因為CD?平面ABP,BP?平面ABP,故CD∥平面ABP。同理可證QD∥平面ABP。CD?平面CDQ,QD?平面CDQ,所以平面CDQ∥平面ABP。

錯因分析:證明過程中,缺少“CD∩QD=D”這個條件,有可能面面相交,邏輯證明不嚴謹,導致證明過程不完整。

正解:連接MQ,因為BD=B1B,CPB1B,所以CP=BD。又CP∥BD,所以四邊形BDCP是平行四邊形,則CD∥BP。因為CD?平面ABP,BP?平面ABP,故CD∥平面ABP。同理可證QD∥平面ABP。因為CD∩QD=D,CD?平面CDQ,QD?平面CDQ,所以平面CDQ∥平面ABP。

易錯點3.證明線面垂直時缺少線線相交的條件

例3(2023 屆重慶市西南大學附屬中學11 月期中質檢)如圖3,在四棱錐P-ABCD中,平面PBD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BD⊥PC,AD=AB。證明:BD⊥平面PCD。

圖3

常見錯解:取BC的中點F,連接AF,DF。因為AD∥BC,AD=AB=BC,所以四邊形ABFD為菱形,四邊形AFCD為平行四邊形,所以AF⊥BD,AF∥CD,所以CD⊥BD。又BD⊥PC,所 以BD⊥平 面PCD。

錯因分析:證明過程中,缺少“CD∩PC=C”這個條件,線面有可能相交但不垂直,邏輯證明不嚴謹,導致證明過程不完整。

正解:取BC的中點F,連接AF,DF。因為AD∥BC,AD=AB=BC,所以四邊形ABFD為菱形,四邊形AFCD為平行四邊形,所以AF⊥BD,AF∥CD,所以CD⊥BD。又因為BD⊥PC,CD∩PC=C,所以BD⊥平面PCD。

易錯點4.證明面面垂直時缺少線在平面內的條件

例4(2023屆江西省景德鎮市高三第一次質檢)如圖4,在正三棱錐ABCA1B1C1中,E,F分別是棱AA1,CC1上的點,CM∥平面BEF,且M是AB的中點。證明:平面BEF⊥平面ABB1A1。

圖4

常見錯解:因為M是AB的中點且△ABC為等邊三角形,所以CM⊥AB。因為AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥CM,所以CM⊥平面ABB1A1。因為CM∥平面BEF,所以存在直線l∥CM,所以l⊥平面ABB1A1,所以平面BEF⊥平面ABB1A1。

錯因分析:證明過程中,缺少直線l?平面BEF的條件,證明過程不完整。

正解:因為M是AB的中點且△ABC為等邊三角形,所以CM⊥AB。因為AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥CM,所 以CM⊥平面ABB1A1。因為CM∥平面BEF,所以存在直線l?平面BEF,所以l∥CM,所以l⊥平面ABB1A1。因為直線l?平面BEF,所以平面BEF⊥平面ABB1A1。