證明與求解并重推理與運算齊飛
——“立體幾何”解答題復習

■陜西省禮泉縣教研室 陳銀會

立體幾何是高考解答題的必考內容,試題主要考查立體幾何的基礎知識、基本方法和基本思想。通過空間直線、平面位置關系的論證,考查空間想象能力和推理論證能力。通過度量問題的計算,考查邏輯推理能力和運算求解能力。近年來,立體幾何在命題設計上不斷創新,本文結合最新的模考試題介紹立體幾何命題趨勢,供同學們復習備考。

考向一、空間幾何體中的位置關系及度量問題

空間點、線、面的位置關系通常以空間幾何體為載體考查平行、垂直關系的證明,一般出現在解答題的第(1)問,解答題的第(2)問常考查求空間角、體積、距離問題。求解時可以用“綜合法”“向量法”,在具體解題時不一定只運用一種方法,可以靈活選用,視情況而定。一般地,對于線面位置關系的“平行”與“垂直”的證明,可以選用“綜合法”直接處理,而對于空間角的有關計算,一般采用“向量法”更為方便與快捷。

例1(2022年咸陽市高三月考)如圖1,平面ABCD⊥平 面DBNM,且菱形ABCD與菱形DBNM全 等,∠MDB=∠DAB,G為MC的中點。

圖1

(1)求證:平面GBD∥平面AMN。

(2)求直線AD與平面AMN所成角的正弦值。

解析:(1)如圖2,連接AC交DB于E,連接GE,在△AMC中,G,E分別是CM,CA的中點,所以GE∥AM。因為GE?平面AMN,AM?平 面AMN,所 以GE∥平 面AMN。在菱形DBNM中,MN∥BE,同理可證BE∥平面AMN。又因為BE∩GE=E,所以平面GBD∥平面AMN。

圖2

(2)連接ME,因為菱形ABCD與菱形DBNM全等且∠MDB=∠DAB,所以AD=AB=BD,DM=BD=MB,所 以ME⊥BD。又平面ABCD⊥平面MNBD且相交于BD,所以ME⊥平面ABCD。

圖3

提醒:平行、垂直關系的證明,需要以空間直線、平面的位置關系為基礎,建立和形成以公理、定義、判定、性質為主線的立體幾何基礎知識體系。“空間向量”的引入,給我們處理立體幾何問題提供了一種新的視角與更加有效的工具。用向量法解題的思路主要是:(1)分析問題中的關鍵要素;(2)用向量表示相關要素;(3)進行向量運算求得向量的結果;(4)將向量結果翻譯成幾何結論。在平常練習中,應多嘗試從不同角度解決立體幾何問題,積累解題經驗,這樣在考試中結合自身優勢靈活選擇解題路徑,提升解題效率。

考向二、平面圖形折疊成空間幾何體的問題

先將平面圖形折疊成空間幾何體,再以其為載體研究其中的線面之間的位置關系,以及與計算有關的幾何量是近幾年高考考查立體幾何的一類重要考向,它很好地將平面圖形拓展成空間圖形,同時也為空間立體圖形向平面圖形轉化提供了具體形象的途徑,是高考考查空間想象能力的主要方向。

例2(2022年南京市高三月考)圖4是由正方形ABCD,Rt△ABE,Rt△CDF組成的一個等腰梯形,其中AB=2。將△ABE,△CDF分別沿AB,CD折起,使得E與F重合,如圖5。

圖4

圖5

(1)設平面ABE∩平面CDE=l,證明:l∥CD;

(2)若二面角A-BE-D的余弦值為,求AE的長。

解析:(1)因為CD∥AB,AB在平面ABE內,CD?平面ABE,所以CD∥平面ABE。又CD?平面ECD,平面ABE∩ 平面ECD=l,所以l∥CD。

(2)因為AB∥CD,CD⊥DE,所以AB⊥DE。又AB⊥AE,DE∩AE=E,AE?平面ADE,DE?平面ADE,所以AB⊥平面ADE。因為AB在平面ABCD內,所以平面ABCD⊥平面AED。過E作EO⊥AD于點O,則O是AD的中點。因為平面ABCD∩平面AED=AD,EO?平面ADE,所以EO⊥平面ABCD。

圖6

提醒:解決與折疊有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量。一般情況下,長度是不變量,而位置關系往往會發生變化,抓住不變量是解決問題的突破口。解決翻折問題的步驟:第一步,確定折疊前后各量之間的關系,搞清折疊前后的變化量和不變量;第二步,在折疊后的圖形中確定線和面的位置關系,明確需要用到的線面;第三步,利用判定定理或性質定理進行證明。

考向三、線、面位置關系中的探索性問題

是否存在某點或某參數,使得某種線、面位置關系成立問題,是近幾年高考命題的熱點,常在解答題的最后一問中出現,解決這類問題的基本思路類似于反證法,即“在假設存在的前提下通過推理論證,如果能找到符合要求的點(或其他的問題),就肯定這個結論;如果在推理論證中出現矛盾,就說明假設不成立,從而否定這個結論”。

例3(2022年湖北省重點中學聯考)如圖7,等邊△ABC的邊長為3,D,E分別是AB,BC上的點,且滿足。如圖8,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得二面角A1-DE-B成直二面角,連接A1B,A1C。

圖7

圖8

(1)求證:A1D⊥平面BCED。

(2)在線段BC上是否存在點P,使得直線PA1與平面A1BD所成的角為60°? 若存在,求出PB的長;若不存在,請說明理由。

解析:(1)在圖7 中,由題得AE=2,AD=1,∠A=60°,在△ADE中,由余弦定理得DE==,故AD2+DE2=AE2,所以AD⊥DE,BD⊥DE。

在圖8 中,A1D⊥DE,BD⊥DE,所 以∠A1DB為二面角A1-DE-B的平面角,又二面角A1-DE-B為直二面角,所以∠A1DB=90°,故A1D⊥DB。因為DE∩DB=D,且DE,DB在平面BCED內,所以A1D⊥平面BCED。

(2)由(1)可知ED⊥DB,A1D⊥平面BCDE。

圖9

提醒:立體幾何中的探究性問題主要有兩類:一類是探究線面的位置關系;另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題。處理原則是:先建立空間直角坐標系,引入參數(有些是題中已給出),設出關鍵點的坐標,然后探究這樣的點是否存在,或參數是否滿足要求,從而作出判斷。

近年來高考數學對立體幾何部分試題命制,仍以考查主干知識和基本方法為主,難度適中。復習備考中,應以扎實掌握基本立體圖形的結構特征為基礎,夯實“平行、垂直”的推理論證能力,提升“空間角、距離”等運算的水平。養成良好的規范書寫習慣,達到精準、高效突破解答題的目的。