立體幾何中探究性問題的歸納與解法探究

■陜西省禮泉第一中學 姜書靜

高考中對立體幾何的考查主要以空間位置關系的判斷,空間角與距離的計算為主,而探究性問題是高考命題的熱點,也是難點,常在解答題的最后一問中出現。本文就立體幾何中的探索性問題進行類型歸納和解法梳理,以期對同學們的復習備考提供幫助。

題型一、平行關系中的探索性問題

例1如圖1,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,在四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4。

圖1

(1)求 證:CD⊥平 面PAC。

(2)在棱PC上是否存在點M(不包括端點),使得BM∥平面PAD? 若存在,求的值;若不存在,說明理由。

解析:(1)因為PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD。在直角梯形ABCD中,AC=CD=,所以AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD。又因為PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以CD⊥平面PAC。

(2)不存在點M,使得BM∥平面PAD。

法一:(反證法)假設在棱PC上存在點M異于點C,P,使得BM∥平面PAD。因為BC∥AD,且BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD。又因為BC∩BM=B,所以平面PBC∥平面PAD。而平面PBC與平面PAD相交,所以假設不成立,故不存在點M,使得BM∥平面PAD。

圖2

方法點睛:對于探索性問題,應先假設其存在,然后在這個假設下進行推理論證,如果通過推理論證得到了合乎情理的結論,就肯定假設;如果得到矛盾,就否定假設。還可借助向量,引進參數,綜合已知和結論列出等式或不等式,解出參數的值或者范圍,看所得范圍或值是否在題意允許的范圍之內,進而給出判斷結果。

例2如圖3,已知正四棱錐S-ABCD的各條棱長都相等,且E,F分別是SD,SB的中點。

圖3

(1)求證:AC⊥SB。

(2)在棱SC上是否存在點M,使得平面MBD∥平面AEF? 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。

解析:(1)如圖4,設AC∩BD=O,則O為底面正方形ABCD的中心,連接SO,因為S-ABCD為正四棱錐,所以SO⊥平面ABCD,所以SO⊥AC。又BD⊥AC,且SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD。因為SB?平面SBD,所以AC⊥SB。

圖4

(2)方法一:存在點M,設SO∩EF=G,連接AG,CG。取CG的中點H,連接OH并延長交SC于點M,因為O是AC的中點,所以OH∥AG,即OM∥AG。又EF∥BD,OM,BD?平面AEF,AG,EF?平面AEF,所以OM∥平面AEF,BD∥平面AEF。又OM∩BD=O,OM,BD?平面MBD,所以平面MBD∥平面AEF。在△SOC中,作GN∥HM交SC于N,則N是SM的中點,M是CN的中點,所以=2。

圖5

方法點睛:(1)異面直線的垂直,應轉化為線面垂直進行證明;(2)任何一對互相平行的平面,和第三個平面相交,則交線互相平行;(3)利用空間向量法,證明兩個平面平行,只需要論證兩個平面的法向量相同,在便于建立坐標系的情況下,應作為解題的首選方法,從而淡化推理,只需落實運算即可。

題型二、垂直關系中的探索性問題

例3如圖6,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的邊長為2,側棱AA1=,D是AC的中點。

圖6

(1)求 證:B1C∥平 面A1BD。

(2)在側棱AA1上是否存在一點E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD? 若存在,求出AE的長;若不存在,請說明理由。

解析:(1)連接AB1,交A1B于點M,連接MD。因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以四邊形BAA1B1是矩形,所以M為AB1的中點。因為D是AC的中點,所以CB1∥DM。又DM?平面A1BD,B1C?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。

圖7

方法點睛:(1)空間位置關系的證明,一般采取逆推的形式,本題中若B1C∥平面A1BD,則由線面平行性質定理可知,經過B1C的平面B1CA與平面A1BD的交線DM與B1C平行,因此只需證明DM與B1C平行,這類似于分析法的執果索因;(2)對于面面垂直的探索類問題,可以建系利用兩個平面的法向量的數量積為0,完成探究。

例4如圖8,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,側面PAD是等腰直角三角形,平面PAD⊥平面

圖8

ABCD,AD=2,AB=AP=,M為棱PC上的動點。

(1)當點M到直線BD的距離最小時,求的值;

(2)在(1)的條件下,過A,D,M作截面交PB于點N,求四棱錐P-ADMN的體積。

圖9

圖10

方法點睛:(1)面面垂直的性質定理說明了垂線一定在垂面內,這是解決垂直的一個核心;(2)點M在棱PC上的位置是由點M到直線BD的距離最小確定的,這里隱藏了一個垂直探究,即BD⊥平面POC,也是確定點M的關鍵;(3)對于體積的求解,我們要有轉化的思想,這也是立體幾何解答題中體積求解問題的一個核心思想。

題型三、空間角中的探索性問題

例5如圖11,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,其中AD∥BC,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=3,點M在棱PD上,N為BC的中點。

圖11

(1)求二面角C-PD-N的正弦值。

(2)在棱PD上是否存在點M,使得NM與平面PCD所成角的正弦值為若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。

圖12

例6如圖13,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=2,BC⊥BA1。

圖13

(1)求證:BC⊥AB。

(2)若E為A1B的中點,三棱錐A-CEA1的體積為,試問:在線段CE上是否存在點P,使得二面角P-ABE的大小為30°? 若存在,求的值;若不存在,請說明理由。

解析:(1)因為三棱柱ABC-A1B1C1為直棱柱,所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥BC。又因為BC⊥BA1,BB1∩BA1=B,BB1?平面ABB1A1,BA1?平面ABB1A1。所以BC⊥平面ABB1A1。因為AB?平面ABB1A1,所以BC⊥AB。

圖14

方法點睛:(1)要熟知綜合法中利用線垂直于面來證明線線垂直這一重要方法;(2)利用好共線向量性質定理中的λ,完成以動點在線上移動這一類背景命題的探究性問題。