利用向量法求空間角的大小

■陜西省禮泉縣第一中學 魏文宏

立體幾何作為綜合考查同學們的直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養的重要載體,是高考數學必考內容之一。近幾年來,立體幾何試題難度相對穩定,隨著課改的不斷推進,特別強調在“以能力立意”逐漸轉向“以素養立意”為命題原則的背景下,立體幾何試題穩中有變,近幾年從難到易,再由易到難,今后將更加突出考查同學們的空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力,下面我們主要研究空間角的命題。

命題角度一、求異面直線的夾角

例1如圖1所示,圓錐底面半徑為3,OP為圓錐的高,已知圓錐的側面積為15π,D為PA的中點,∠AOC=

圖1

(1)求圓錐的體積;

(2)求異面直線CD與AB所成角。

解析:(1)設圓錐曲線的母線為l,又圓錐的底面半徑為3,所以r=3,所以S側=πrl=3πl=15π,所以l=5,即PA=PB=5,所以圓錐的高h=OP==4,所以圓錐的體積V=×9×4=12π。

(2)方法一:如圖2 所示,取OA的中點E,連接DE,CE,AC。因為DE是△AOP的中位線,所以DE∥OP。因為OP垂直于底面,所以DE垂直于底面,所以DE⊥AB,易知CA=CO,因為E為OA的中點,所以CE⊥OA,即AB⊥CE。因為CE∩DE=E,CE,DE?平面CDE,所以AB⊥平面CDE。又CD?平面CDE,所以AB⊥CD,即異面直線AB與CD所成角為

圖2

圖3

圖4

方法點評:兩條異面直線所成角的求法:(1)平移法:利用平移直線法求解的實質就是將空間兩條直線所成角轉化為平面三角形的內角去求解。(2)向量法有兩種:一是建立空間直角坐標系,利用坐標結合向量數量積的性質求解;二是利用基向量結合向量數量積的性質求解。(3)余弦定理法:關鍵是找到兩條異面直線中的一條在包含另一條直線的平面內的射影。

命題角度二、求線面角

設直線l的方向向量為m,平面α的一個法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則0≤θ≤,sinθ=|cos|=

例2如圖5 所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,∠BAD=90°,PA=AD=4,AB=2BC=2。

圖5

圖6

圖7

方法點評:利用向量求線面角的方法:(1)分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)。(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角。用向量法破解此類線面所成角問題的關鍵:①用定理,利用平行或垂直的判定定理,明確寫出所證明的推理過程,注意推理的嚴謹性;②建系,找出(或作出)兩兩垂直的三條直線,建立適當的空間直角坐標系;③求向量,先分別求出幾何體相關點的坐標,利用“終減起”,求出直線的方向向量,利用賦值法求出平面的法向量等;④用公式,求出兩向量夾角的余弦值;⑤得結論,根據向量夾角與線面角的關系,將向量夾角轉化為所求的空間線面角。用幾何法破解此類線面所成角問題的關鍵是:①會轉化,即把線面所成角問題轉化為求點到面的距離d與斜線段長m的問題;②求距離,常利用等體積、等面積法等,求d;③用公式,線面所成角的正弦值為

命題角度三、求二面角的三角函數值

設向量m為平面α的一個法向量,向量n為平面β的一個法向量,平面α與平面β所成的二面角為θ,則0≤θ≤π,cosθ=cos

例3如圖8 所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點D在邊BC上,E為B1C1的中點。

圖8

(1)如果D為BC的中點,求證:平面BA1E∥平面C1DA;

解析:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因為D,E分別為BC,B1C1的中點,所以EC1■BD,所以四邊形BDC1E為平行四邊形,所 以BE∥DC1。又因為BE?平面C1DA,DC1?平面C1DA,所以BE∥平面C1DA。同理可證A1E∥平面C1DA。又A1E∩BE=E,A1E,BE?平面BA1E,所以平面BA1E∥平面C1DA。

圖9

方法點評:利用向量法確定二面角大小的關鍵是:先分別求出二面角的兩個半平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小。

總之,高考試題源于教材,又高于教材,許多高考題是教材的改編,立體幾何內容的備考復習必須回歸教材,落實基礎知識、基本技能、基本思想方法與基本活動經驗。抓住數學概念的本質,熟悉空間角的概念是解決此類問題的前提,包括涉及的最值范圍問題,也是轉化為我們所熟悉的二次函數性質及基本不等式求解。利用空間向量解決空間角問題時要注意書寫的規范性、計算的準確性,在平時的訓練中,我們可以靈活選擇運用向量法和幾何法從不同角度解決,通過對比體會向量法的優勢。