主元法在不等式中的應用

鄧啟龍

(廣東省中山紀念中學 528454)

主元法是指在一個多元數學問題中,以其中一個變量為主元,將問題轉化為該主元的函數、方程或不等式等來解決問題.主元若選擇得當,解題思路會變得清晰,問題將迎刃而解.選定主元后,從該主元去分析和研究,溝通問題的條件和結論,可解決許多用常規方法難以解決的問題.

1 選低次元為主元

若問題中含有二次元和三次元等高次元,可以選取低次元為主元,一般選取二次元.

分析在條件式a+4b=a2b3中,變量a,b的次數分別是二次和三次.由于a的次數更低,所以選a為主元,將條件式a+4b=a2b3變形為關于a的一元二次方程b3a2-a-4b=0.

解析選a為主元.

由a+4b=a2b3，得b3a2-a-4b=0.

解法1 選b為主元.

a3-2a2b+2ab2+4b2-4ab=0.

于是2(a+2)b2-2a(a+2)b+a3=0.

由b≠0,b≠a,得

解得-2

當a=2時,b=1.

所以a的最大值是2.

解法2選b為主元.

由均值不等式,得

解得-2

當a=2時,b=1.

所以a的最大值是2.

2 次數相同時任選一元為主元

若問題中所含多個變量的次數相同,可任選一個變量為主元.

例3若不等式a2+8b2≥λb(a+b)對任意a,b∈R恒成立,求實數λ的取值范圍.

分析條件式a2+8b2≥λb(a+b)中,變量a,b的次數都是二次,可選a或b為主元.

解析選a為主元.

由a2+8b2≥λb(a+b)，得

a2-λba+(8-λ)b2≥0.

于是Δ=λ2b2-4(8-λ)b2

=(λ2+4λ-32)b2≤0.

整理，得λ2+4λ-32≤0.

解得-8≤λ≤4.

所以數λ的取值范圍是[-8,4].

解法1選a為主元.

4ba2+(4b2+1)a-b=0.

解法2選b為主元.

例5設a,b,c∈(-1,1),證明:ab+bc+ca+1>0.

證明選c為主元.

令f(c)=(a+b)c+ab+1,c∈(-1,1).

若a+b≥0,則f(c)>f(-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)>0.

若a+b<0,則f(c)>f(1)=ab+a+b+1=(a+1)(b+1)>0.

綜上可得,ab+bc+ca+1>0

證明選a為主元.

3 選易處理的變量為主元

若問題中含有多個變量,選某個變量為主元,形式簡單,結構容易處理和變形,而選其他變量為主元,形式復雜,很難處理,則選該變量為主元.

分析若選a為主元,形式復雜,很難處理,而選b為主元,結構b(a-b)既可以按二次函數來處理,也可以用均值不等式來放縮,所以應選b為主元.

解析選b為主元.

由均值不等式，得

解析選b為主元.

由柯西不等式，得

解析選a為主元.

由均值不等式，得

兩邊平方得6a2-6a+1<0,

4 構造新變量為主元

若問題中含有多個變量,但是選任一變量做主元都不易處理和變形,此時可構造一個新變量,例如和值、比值、差值等,然后以新變量為主元.

解析由均值不等式，得

當且僅當a=3b時取等號.

于是t(17-t)≥16.

即t2-17t+16≤0,解得1≤t≤16.

例11設a,b∈R,且a2-ab+b2=3,求a2+ab+b2的取值范圍.

解析由a2-ab+b2=3，得

由a2-ab+b2=3，得a2(1-t+t2)=3.

若t=0,則f(0)=3.

若t≠0,則

綜上可得,1≤f(t)≤9.

所以a2+ab+b2的取值范圍是[1,9].

解析由a+b=a2+b2，得

令t=a+b>0,由a+b=a2+b2=(a+b)2-2ab，

解得1

當t=2時,a+b=2且ab=1,

解得a=b=1.

當a=b=1時取到.