2022年北大暑期學堂數學試題及其詳解

唐浩哲

(北京市十一學校 100039)

北大暑期學堂全稱為“北京大學優秀中學生暑期學堂”，與之并列的還有北大的寒假學堂以及清華的暑期學校、寒假課堂，參加這些營的營員均為各省市重點高中校推薦.營員們除了在輔導員和學長的帶領下進行學科前沿體驗、校園文化巡禮外，還會參加一場綜合各學科的筆試測試，筆試成績優異者將被評定為優秀營員，并影響后續強基A+政策的發放.另一方面，2022年北大暑期學堂因為疫情原因改為線上，數學試題也由以前的解答題改為單項選擇題，題型和題目難度與北大強基數學試題非常類似.因此，此套題對于準備北大暑期學堂、寒假學堂和強基考試的讀者都具有重要的參考價值.

1.一些同學參加暑期學堂考試，每名同學得分均在60至100之間，若這些同學平均分為76分且恰有5人得100分，則參加考試人數的最小值為( ).

A.14 B.15 C.16 D.以上都錯

解析設有n人參加考試，則76n≥100×5+60(n-5)，解得n≥12.5，即n≥13.當n=13時，取5人得100分，1人得68分，7人得60分，平均分恰為76分.

所以參加考試人數最小值為13.

故選D.

2.設a,b,c是三邊長，且滿足2a2+3(b2+c2)=21，則當三角形面積最大時，a+b+c的值為( ).

解析由海倫公式，得

故選B.

3.設a>0，f(x)=a(x2+x)+1，t為一個給定實數，則2023個數f(t)，f(t+1)，f(t+2)，…，f(t+2022)中，正數的個數為( ).

A.最多1010個 B.最多2021個

C.最少2022個 D.以上都錯

所以f(t)，f(t+1)，f(t+2)，…，f(t+2022)中至少有2022個正數.

故選C.

4.凸四邊形ABCD中，E,F分別是其對角線AC和BD的中點，直線EF與AB,CD,分別交于G,H，若△ADH,△BCH,△ABH面積分別為2,4,5，則△CDG的面積為( ).

A.3 B.5.5 C.6 D.以上都錯

圖1

解析如圖1所示，S△CDG=S△CEG+S△CEH+S△DFG+S△DFH.

因為E,F是AC,BD中點，

所以S△CEG=S△AEG，

S△CEH=S△AEH，

S△DFG=S△BFG，

S△DFH=S△BFH.

所以S△CDG=S△AEG+S△AEH+S△BFG+S△BFH

=S△ABH=5.

故選D.

A.1 B.-1 C.-π D.以上都錯

解析依題意，α+β=2p，αβ=-1，α2+β2=(α+β)2-2αβ=4p2+2，可由αn+2+βn+2=(an+1+βn+1)(α+β)-αβ(αn+βn)歸納證明αn+βn均為偶數(n∈N+).

故選C.

解析因為(5x4+4x3+3x2+2x+1)(5x4-4x3+3x2-2x+1)=25x8+14x6+3x4+2x2+1，

所以題目轉化為：

此方程整理為

13z4-62z3+114z2-86z+25=0.

故選A.

所以圓方程應為

乘開后比對系數知

故選B.

8.滿足y2=x4+2x3+x2-11x+11的整數對(x,y)的個數為( ).

A.0 B.2 C.4 D.以上都錯

解析顯然(1,±2),(2,±5)為方程的解，以下證明當x≥3或x≤0時無其它解.

將原方程變形為

x2(x+1)2-y2=11(x-1).

①

即(x2+x+y)(x2+x-y)=11(x-1).

不妨設y≥0，當x≥10時，|x2+x+y|-|11(x-1)|=x2-10x+11+y>0，矛盾；

當x≤-13時，|x2+x+y|-|11(x-1)|=x2+12x-11+y>0，矛盾.

又若x為3的倍數，則y2≡2(mod3)，矛盾；

若x為4的倍數，則y2≡3(mod4)，矛盾.

所以只需再用①檢驗x=-11,-10,-7,-5,-2,-1,0,5,7均不成立.

綜上，方程的解為(1,±2),(2,±5)，共4組.

故選C.

9.滿足n3除以1000余111且不超過2022的正整數n的個數為( ).

A.0 B.1 C.2 D.以上都錯

解析顯然n的個位只能是1.

則n3≡300a+300b2+30b+1(mod1000).

依題意，

300a+300b2+30b+1≡111(mod1000).

①

所以30b+1≡11(mod100)，解得b=7.

再代回①，得300a+911≡111(mod1000)

解得a=4.

所以滿足題意的n為471和1471.

故選C.

10.方程(2x+2)(5-2x)(4x2+8x+11)=10(2x+3)2的所有非實數根的平方和為( ).

解析設y=2x，則原方程整理得

y4+y3-y2-13y-20=0.

由待定系數法分解因式得

(y2-y-4)(y2+2y+5)=0.

顯然y2-y-4=0有兩個實根，設y1,y2為y2+2y+5=0的兩虛根，則所求為

故選A.

11.設ABC-A1B1C1是一個直三棱柱，且A1B=4，BC=5，A1C=6，則四面體C1A1BC體積的最大值為( ).

故選C.

12.設α,β滿足cos(α+β)=cosα+cosβ，則cosα的最大值與最小值的差為( ).

解析由條件整理得

(cosα-1)cosβ-sinαsinβ=cosα.

故選C.

13.設A是一個2022元集合，則滿足S與T的交非空的A的子集對(S,T)的個數為( ).

A.32022B.2022·22022C.22022D.以上都錯

解析先求滿足S與T的交為空的情況數：

所以所求為42022-32022.

故選D.

14.設a,b為實數，直線ax-by=1與雙曲線x2-y2=1的兩支分別交于P,Q兩點，設點A坐標為(a,b)，則△APQ面積的最小值是( ).

因為交于兩支，所以b2>a2.

故選C.

15.有一個盒子裝有5個小球，每次試驗從盒子中隨機取出1個小球，同時投擲硬幣，若硬幣為正面，則取出的小球留在外面，若硬幣為反面，則取出的小球放回盒子，重復試驗至盒子中無小球時停止.設恰經過n次試驗后停止的概率為pn，則pn的最大值是( ).

所以p5p10>….

故選A.

故選B.

A.2022 B.-2022 C.1011 D.以上都錯

解析因為(5-3x)2023+(4x)2023=0，

故選D.

A.1 B.2 C.2nD.以上都錯

解析所給條件的n個式子相乘得

(x1x2…xn)n-2=n!，

結合x2x3…xn=x1，

注意到x1,x2,…,xn-1的符號可任取，但當它們的符號確定后，xn的符號也隨之確定下來，因此滿足條件的(x1,x2,…,xn)的個數為2n-1.

故選D.

19.邊長依次為4,6,7,8,9且有內切圓的五邊形的個數為( ).

A.0 B.1 C.2 D.以上都錯

圖2

解析因為由同一點引圓的兩條切線段長度相等，所以可列方程求得圖中各切線長度.

設內切圓半徑為r，由幾何關系知

故選B.

故選D.