立體幾何中向量方法及其應(yīng)用

邱和保

(福建省連江第一中學(xué) 350500)

立體幾何是高考必考的大題之一，而向量法是解決立體幾何問題的重要方法之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中提到：運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具.運(yùn)用向量法的關(guān)鍵是空間直角坐標(biāo)系的建立，不同的建系對(duì)運(yùn)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生不同程度的影響，因此如何選擇建系的方法是解題的關(guān)鍵，從近三年的全國(guó)高考卷中可以發(fā)現(xiàn)立體幾何問題主要考查二面角的正余弦值、二面角的大小以及線面成角，點(diǎn)面距等，具體考點(diǎn)見表1：

表1

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，以空間幾何體作為載體考查空間角的相關(guān)問題是高考命題的重點(diǎn)，而二面角的求解則成為高考的熱點(diǎn)，對(duì)學(xué)生來說解決這類問題的關(guān)鍵就是建系方法的選擇以及計(jì)算，恰當(dāng)?shù)慕ㄏ祵?duì)于簡(jiǎn)化運(yùn)算有著良好的促進(jìn)作用.

1 向量法的使用前提——建立空間直角坐標(biāo)系

建立空間直角坐標(biāo)系主要有以下幾種類型：

1.1 用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱建系

例1(2020年北京高考第16題第(2)問)如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)．求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值．

圖1 圖2

分析根據(jù)題意，要解決問題可以選擇用向量法，首先要建立空間直角坐標(biāo)系，題目所給出的是正方體，根據(jù)正方體的幾何特征對(duì)正方體進(jìn)行建系，主要是以正方體的其中一個(gè)頂點(diǎn)作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，以此頂點(diǎn)為線段端點(diǎn)的棱所在的直線作為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系，從而解決問題.

因此，具體的建系過程如下：

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

1.2 用線面垂直關(guān)系建系

例2(2019年全國(guó)Ⅰ卷第18題第(2)問)如圖3，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．求二面角A-MA1-N的正弦值．

圖3

思路2 建系的關(guān)鍵是要在底面中找到兩條相互垂直且有交點(diǎn)的線為x軸，y軸，根據(jù)題目的條件可知，底面ABCD為棱形，因此AC⊥BD，設(shè)其交點(diǎn)為O，只需過點(diǎn)O找到一條與側(cè)棱垂直的直線作為z軸即可完成建系，具體過程如下：

設(shè)AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，由直四棱柱性質(zhì)可知：OO1⊥平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，則以O(shè)為原點(diǎn)，可建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系.

圖4 圖5

圖6 圖7

1.3 用面面垂直關(guān)系建系

例4(2019年全國(guó)Ⅲ卷第19題)圖8是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖9所示.

(1)證明：圖9中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求圖9中的二面角B-CG-A的大小.

圖8 圖9

兩種建系方法相比較，明顯思路2的方法簡(jiǎn)化了點(diǎn)E坐標(biāo)的求法，因此，恰當(dāng)?shù)慕ㄏ悼梢院?jiǎn)化點(diǎn)的運(yùn)算，提高解題效率.

圖10 圖11

1.4 用正棱錐，圓錐的高所在的直線建系

圖12 圖13

2 應(yīng)用——典型例題

例6如圖14所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，AB⊥BC,∠B1BC=60°,AB=1，BC=BB1=2.

(1)求A1B與CB1所成角的余弦值；

(2)求A1B與平面ACC1所成角的余弦值；

(3)求二面角B-CC1-A的余弦值.

圖14

問題(3)的命題角度是考查二面角，因此要聯(lián)系到二面角的求法：設(shè)n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，設(shè)θ為二面角α-l-β的平面角，則|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|，θ為向量n1,n2的夾角或其補(bǔ)角.

圖15

所以△BB1C為等邊三角形.

所以設(shè)θ為A1B與CB1所成角，則

設(shè)n=(a,b,c)為平面ACC1的一個(gè)法向量，則

設(shè)α為直線A1B與平面ACC1所成角，則

設(shè)β為二面角B-CC1-A的平面角，則

3 小結(jié)

用空間向量法求解空間角的一般步驟：(1)建系；(2)求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求相關(guān)向量坐標(biāo)；(4)向量運(yùn)算；(5)得出結(jié)論.到目前為止，立體幾何中的向量方法仍舊注重幾何直觀與空間想象的培養(yǎng)，因?yàn)榻⑦m當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵，而這需要空間認(rèn)識(shí)，只不過因向量是自由向量，兼具大小和方向兩個(gè)要素，可以將抽象的空間位置關(guān)系用一個(gè)基底加以轉(zhuǎn)化來研究，故而向量方法的教學(xué)既有助于培養(yǎng)邏輯思維與數(shù)學(xué)運(yùn)算，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想.為培養(yǎng)學(xué)生良好的政治素養(yǎng)、道德品質(zhì)和科學(xué)思想方法起到有效的促進(jìn)作用.