例談物理中兩個特殊的角度極值問題與

黃 偉

(湖北省漢川一中 431600)

1 重力做功的位移與臨界點重力分解同時出現(xiàn)cosθ所導致的

圖1 圖2

例1 圖1中小球由光滑半球面頂端A靜止釋放，在B處脫離球面.圖2中輕桿連兩球系統(tǒng)靠墻由豎直位置靜止釋放，系統(tǒng)繞墻角O點轉(zhuǎn)動，在B處系統(tǒng)離開墻面.圖3中小球在光滑過山車軌道由H=2R的P點靜止釋放，在B處脫離軌道，求小球在脫離位置B處θ滿足的條件.

圖3

解析設(shè)小球質(zhì)量為m，做圓周運動的半徑為R，圖1、圖3中在脫離位置B處小球與球面及軌道的彈力為0，圖2中小球與桿的彈力為0，均由重力沿圓心的分力提供向心力，則

①

②

2 三角函數(shù)y=(1-cosθ)cos2θ求極值所導致的

下題由重力做功的位移與臨界點速度分解同時出現(xiàn)cosθ而引起的 (1-cosθ)cos2θ.

圖4

例2如圖4所示，質(zhì)量均為m的小球A、B用長為l的輕桿相連，系統(tǒng)靠墻由靜止釋放，A沿墻下滑，B沿水平面向右運動，求系統(tǒng)脫離墻壁位置(不計一切阻力).

解析輕桿對球的彈力先表現(xiàn)為推力后是拉力，即A球離墻時桿的彈力為0，此時B球速度最大，設(shè)此時桿與墻的夾角為θ，A球速度為v1，B球速度為v2則：

①

v1cosθ=v2sinθ

②

聯(lián)立①②式得

③

3 三角函數(shù)y=sinθcos2θ求極值所導致的

3.1 重力做功的位移與臨界點速度分解同時出現(xiàn)sinθ與cosθ而引起的三角函數(shù)sinθcos2θ

例3如圖5所示，質(zhì)量為m的小球通過長為l的輕繩懸于O點，由水平位置靜止時釋放，求重力功率最大時θ滿足的條件.

圖5

①

P=mgvcosθ

②

聯(lián)立①②得

③

由上可知 ，

例4 如圖6所示，ABC為半徑為R的光滑圓弧軌道，A點與圓心O等高，B為最低點，過C點的半徑與水平方向成θ角，一小球由A點靜止釋放，求小球離開C后相對C上升的高度最高時θ滿足的條件.

圖6

解析A至C由動能定理得

①

離開C后：

②

聯(lián)立①②得

h=R·sinθcos2θ

③

3.2 庫侖力中點電荷間距與力或電場強度矢量合成同時出現(xiàn)sinθ與cosθ而引起的三角函數(shù)sinθcos2θ

例5 如圖7所示，A、B兩點分別固定電荷量為Q的等量同種正點電荷，求AB連線的中垂線上場強最大位置.

圖7

解析設(shè)場強最大點為C點，AO間距為l,令∠CAO=θ，則

4 三角函數(shù)求極值所導致的

圖8

解析設(shè)OP與水平方向的夾角為θ，則

x=Rcosθ=vt

①

②

③

④

化簡得

⑤

由上可知 ，