初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認知地圖的意義理解與構(gòu)造嘗試

劉紅

［摘? 要］ 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，純粹經(jīng)驗性的教學(xué)研究是不夠的，其只能夠讓教師在經(jīng)驗上有所收獲，但是要想形成真正的突破并不容易，原因是只有經(jīng)驗而沒有理論. 站在學(xué)生的角度看，對認知最重要的把握就是建立一個認知地圖，可以說認知地圖越完整、越清晰，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就越順利. 認知地圖是通過地圖的方式來描述學(xué)生的認知過程. 借鑒道路、標志、節(jié)點、區(qū)域和邊界等要素來描述學(xué)生的認知，為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程尋找道路、標志、節(jié)點、區(qū)域和邊界，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中遵循怎樣的路徑、有可能出現(xiàn)哪些重要的標志，同時也能夠判斷出學(xué)生學(xué)習(xí)的重要節(jié)點，還能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)范圍、思維范圍作出一定的界定. 教師掌握了認知地圖這一理論工具，就可以借助其強大的闡釋性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有更為精確的把握；還可以借助其預(yù)見性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進行預(yù)設(shè)，從而提前采取有針對性的教學(xué)措施. 面向未來的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要充分利用好認知地圖這樣的工具，這樣才能讓立德樹人以及核心素養(yǎng)發(fā)展目標的落地變得更加有保障.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；認知地圖；意義理解；構(gòu)造嘗試

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究來提高教學(xué)效率，是很多教師的自然選擇. 在這一選擇之下，通過對比研究可以發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)教師的研究都是經(jīng)驗取向的，也就是總在自己的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進行分析，然后形成相應(yīng)的教學(xué)舉措. 應(yīng)當說這樣的努力是具有一定成效的，對絕大多數(shù)一線教師而言，也是難能可貴的教學(xué)研究取向. 如果注意觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)身邊確實存在著這樣的優(yōu)秀教師，而這樣的專業(yè)發(fā)展路徑，也符合“經(jīng)驗加反思”的基本思路，因此具有一定的理論自洽性. 與此同時，我們應(yīng)當注意到，純粹經(jīng)驗性的教學(xué)研究是不夠的，其只能夠讓教師在經(jīng)驗上有所收獲，但是要想形成真正的突破卻并不容易，原因是只有經(jīng)驗而沒有理論，那么教學(xué)研究只能借助經(jīng)驗的車輪緩慢前進.

那么，這里所說的理論是什么呢？要知道對于一線教師而言，提及理論往往并不是一件很受歡迎的事，二十多年的課程改革讓不少教師厭惡了理論的空轉(zhuǎn)——不能對實際教學(xué)產(chǎn)生直接且有益的指導(dǎo)作用. 應(yīng)當說這也是一個事實，如果反思這一事實就可以發(fā)現(xiàn)，這些理論之所以難接地氣，很大程度上是因為這些理論與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程之間，難以形成直接的匹配關(guān)系，說得直白一點就是解釋性不強，其直接結(jié)果就是指導(dǎo)性不強. 很顯然，一線教師并沒有太多的時間與精力，去建立起這種相對抽象的理論與實際教學(xué)之間的關(guān)系. 那么有沒有一種理論，能夠直接解釋教學(xué)并指導(dǎo)教學(xué)呢？筆者以為還是有的，認知地圖就是屬于這種理論.

在闡述認知地圖之前，有必要先強調(diào)一下認知的意義. 具備一定理論知識的初中數(shù)學(xué)教師都知道，認知對于一線教師而言是一個重要的概念，可以認為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是認知發(fā)展的過程. 從專業(yè)的角度來看，認知是指人們獲得知識或應(yīng)用知識的過程，認知心理學(xué)當中最基本的表達之一，就是信息加工理論. 人們認為學(xué)習(xí)的過程就是在感覺知覺的作用之下，通過信息的輸入與加工，進而實現(xiàn)新的信息輸出的過程. 當然除了信息加工理論，認知心理學(xué)當中還有其他一些流派，這些流派無一例外地都強調(diào)對信息的獲取與加工，只不過側(cè)重點有所不同而已. 而站在學(xué)生的角度看，對認知最重要的把握就是建立一個認知地圖，可以說認知地圖越完整越清晰，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就越順利. 數(shù)學(xué)知識是抽象的，我國的初中數(shù)學(xué)教材具有一定的難度，這意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候會遇到更多的挑戰(zhàn). 因此，教師要從經(jīng)驗的角度做出努力，借助認知地圖這樣的工具，讓日常的初中數(shù)學(xué)教學(xué)取得事半功倍的效果.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認知地圖的意義理解

初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師對初中生進行相應(yīng)難度的數(shù)學(xué)知識教學(xué)的過程. 我國的初中數(shù)學(xué)知識之所以具有一定的難度，其實就是因為數(shù)學(xué)概念與規(guī)律之間的聯(lián)系體現(xiàn)得比較充分. 對初中生而言，無論是對概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)還是對它們之間聯(lián)系的建立，都需要付出一定的努力，因此也就有了所謂的難題. 解決這些難題最好的辦法不是重復(fù)訓(xùn)練，而是在把握學(xué)生認知規(guī)律的基礎(chǔ)上，采取有針對性的教學(xué). 顯然，要想準確把握學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的認知規(guī)律，教師首先必須對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程有一個清晰的認識. 由于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是內(nèi)隱的，因此通過直接的觀察難以得出結(jié)論. 這個時候就有了兩個選擇：一是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果進行反推，這實際上就是經(jīng)驗取向；二是對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程建立模型，這實際上就是理論取向. 相比較而言，如果能夠根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)建立起準確的模型，那么教學(xué)效益就會更高. 在筆者看來，認知地圖就是這種模型.

所謂認知地圖，就是通過地圖的方式來描述學(xué)生的認知過程. 地圖實物通常包括道路、標志、節(jié)點、區(qū)域和邊界等要素，借鑒這些要素來描述學(xué)生的認知，為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程尋找道路、標志、節(jié)點、區(qū)域和邊界，就可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中遵循怎樣的路徑、有可能出現(xiàn)哪些重要的標志，同時也能夠判斷出學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要節(jié)點，還能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)范圍、思維范圍作出一定的界定. 顯然，教師借助認知地圖的概念，可以對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進行更為準確的描述.

可能有教師會提出：認知地圖這么抽象的概念，要想運用到實際教學(xué)當中并不容易. 確實從概念的角度來看，認知地圖對于很多初中數(shù)學(xué)教師來說并不熟悉. 但是實際上在教師的經(jīng)驗系統(tǒng)當中，有很多努力與認知地圖實際上是高度重合的，如果能夠?qū)⒔?jīng)驗系統(tǒng)中的相關(guān)認識，用認知地圖的相關(guān)理論來描述，就會發(fā)現(xiàn)認知地圖實際上是一個我們再熟悉不過的概念. 比如對于當下熱門的學(xué)案，就有研究者指出，學(xué)案如能貼合學(xué)生學(xué)習(xí)心理與認知發(fā)展規(guī)律，可引領(lǐng)學(xué)生“按圖索驥”完成學(xué)習(xí)任務(wù)，因而可以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個認知地圖［1］. 從這個角度看，教師只要在日常教學(xué)當中積累了關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)的相關(guān)經(jīng)驗，借助類似于學(xué)案這樣的有形工具來促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，那理解認知地圖就沒有太多的困難.

一旦教師掌握了認知地圖這一理論工具，那么就可以借助其強大的闡釋性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有更為精確的把握；同時可以借助認知地圖的預(yù)見性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進行預(yù)設(shè)，從而提前采取有針對性的教學(xué)措施. 如果初中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠進入這樣的狀態(tài)，那么認知地圖的意義就充分體現(xiàn)出來了.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認知地圖的構(gòu)造嘗試

對于初中數(shù)學(xué)教師而言，認識到認知地圖的價值只是運用其指導(dǎo)教學(xué)的第一步，更重要的一步是在日常的教學(xué)當中能夠?qū)⑵渥鳛橐粋€工具. 當然建立一個工具，并且能夠熟練使用也不容易，根據(jù)筆者的經(jīng)驗，如果能夠?qū)φ杖粘５慕虒W(xué)嘗試去構(gòu)造認知地圖這個工具，那么教師就會在這過程中對認知地圖越來越熟悉，應(yīng)用也會越來越熟練，最終做到得心應(yīng)手. 有研究表明，認知地圖的建構(gòu)有兩個重要環(huán)節(jié)：一是教師的教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)，二是具體的教學(xué)實踐環(huán)節(jié). 而且研究表明，只有當學(xué)生具有了認知地圖建構(gòu)能力，他們才能在具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中擁有清晰的學(xué)習(xí)對象，擁有清晰的思維過程，才能有效實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升［2］.

“平面直角坐標系”是初中數(shù)學(xué)知識體系中的一個基本概念，因為其具有基礎(chǔ)性，所以教師在教學(xué)中必須高度重視，要想方設(shè)法幫助學(xué)生建立起關(guān)于平面直角坐標系的清晰表象，還要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中獲得相應(yīng)的方法性認識，以提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 那么從認知地圖構(gòu)造的角度看，平面直角坐標系這一內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)當如何設(shè)計呢？

首先，要充分激活學(xué)生的生活經(jīng)驗.

初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要表象的支撐，絕大多數(shù)情況之下，表象都來自生活經(jīng)驗（有時也來自學(xué)生的想象）. 平面直角坐標系這一概念，對于初中生來說，很難基于字面的意思去完成想象——筆者進行過多次調(diào)查研究，都發(fā)現(xiàn)初中生在面對平面直角坐標系這一概念的時候，最多只能在大腦中出現(xiàn)平面和直角的表象，無法讓兩者之間形成聯(lián)系，更加不知道坐標系是何物. 面對這樣的實際情況，教師就必須激活學(xué)生的生活經(jīng)驗.

最常見的經(jīng)驗就是生活中出現(xiàn)的“第幾排，第幾列”這種確定位置的情況，這個時候教師應(yīng)當讓學(xué)生自己舉例，無論是教室中的座位還是電影院中的座位，例子越多，那么學(xué)生分析的對象就越多，在后一個環(huán)節(jié)完成數(shù)學(xué)抽象的時候，思維加工就越充分，所形成的表象也就越清晰.

其次，要引導(dǎo)學(xué)生進行適度的數(shù)學(xué)抽象.

數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要過程，也是一個重要的數(shù)學(xué)工具. 數(shù)學(xué)抽象的對象是形象的事物，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是用數(shù)與形來描述形象的例子. 剝離生活實例中的非數(shù)學(xué)因素，只留下與數(shù)學(xué)相關(guān)的因素，就是數(shù)學(xué)抽象的過程. 比如在上述例子當中，讓學(xué)生描述自己在教室的哪個位置，學(xué)生通常就會說是“第幾組的第幾個”. 這個時候教師就要引導(dǎo)學(xué)生認識到，“第幾組的第幾個”，實際上就是從“排”與“列”的角度去確定位置，而從數(shù)學(xué)的角度來看，“排”與“列”其實就是相互垂直的兩條線（這個時候有少數(shù)學(xué)生會想到槍械的瞄準儀也是通過相互垂直的兩條線的交點來確定位置的，這一生活經(jīng)驗也可以加以利用）. 事實上，有了這樣的引導(dǎo)，學(xué)生的大腦當中就出現(xiàn)了相互垂直的兩條線的表象，而這正是平面直角坐標系的雛形.

最后，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言來描述抽象結(jié)果.

有了上述雛形之后，教師的另一個教學(xué)任務(wù)就是完善這個雛形，使之變成平面直角坐標系. 這里可以借助對上述位置的具體分析來完成，限于篇幅，不再贅述.

在這里有必要從認知地圖的角度來解析這樣的教學(xué)設(shè)計，也就是要回答一個問題：為什么說這樣的教學(xué)設(shè)計能夠讓學(xué)生獲得一個清晰的學(xué)習(xí)過程？換一個問法就是：為什么說這樣的教學(xué)設(shè)計能夠讓學(xué)生擁有一個清晰的認知地圖？

上文已經(jīng)提及認知地圖具有道路、標志、節(jié)點、區(qū)域和邊界等要素，上述教學(xué)設(shè)計對這些要素的關(guān)注是清晰的：讓學(xué)生舉出生活中“確定位置”的例子，實際上就規(guī)定了學(xué)生的學(xué)習(xí)范圍，亦即明確了學(xué)生學(xué)習(xí)的邊界；從生活實例的舉出，到對生活實例的分析與綜合，再到對生活實例進行抽象，然后是用數(shù)學(xué)語言來描述數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果——這是一個清晰的學(xué)習(xí)過程，也是從形象思維到抽象思維的學(xué)習(xí)過程. 這樣的過程不僅符合初中生的認知規(guī)律，更重要的是讓學(xué)生體驗了一個通過自身思維加工所輸入或激活的信息，最終得到數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程. 當這一過程被學(xué)生強化之后，就有可能成為數(shù)學(xué)概念建構(gòu)或規(guī)律建立的方法性認識，這對于促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法、提升自身學(xué)習(xí)品質(zhì)有著重要的作用. 因此，教師可以認為通過上述教學(xué)設(shè)計，學(xué)生能夠經(jīng)歷一個合理的學(xué)習(xí)過程——后來的教學(xué)實踐也證明了這一點，這就說明認知地圖是行之有效的.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認知地圖的實踐前景

當前，包括數(shù)學(xué)學(xué)科在內(nèi)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)正經(jīng)歷著不小的變化，立德樹人目標的實現(xiàn)、核心素養(yǎng)概念的提出、新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》的頒布，都意味著初中數(shù)學(xué)教學(xué)必須以新的面貌，來與這些新的情況進行匹配. 這既需要借助教師的教學(xué)經(jīng)驗，又需要相應(yīng)的理論指導(dǎo).

如同上文所指出的那樣，這里所說的理論不是飄在空中的理論，而是接地氣的理論，是能夠具體指導(dǎo)實際教學(xué)的理論. 認知地圖這一理論，與我國師范教育實際上是一脈相承的——我國師范教育中的心理學(xué)主要就是指認知心理學(xué)；同時也是與教師的經(jīng)驗相匹配的，教師經(jīng)驗中的很多收獲與認識，都可以用認知地圖來描述. 因此，認知地圖在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當中有著強大的生命力.

這種生命力體現(xiàn)在新時代背景下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的精確描述，對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能遇到的困難進行準確的判斷. 這樣就可以讓教師提前做好相關(guān)的教學(xué)準備，從而提高課堂教學(xué)的效率. 總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生建構(gòu)認知地圖，無論是從傳統(tǒng)的知識學(xué)習(xí)與運用的角度來看，還是從核心素養(yǎng)培育的角度來看，都有著十分重要的理論意義［2］. 面向未來的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要充分利用好認知地圖，這樣就能讓立德樹人以及核心素養(yǎng)發(fā)展目標的落地變得更加有保障.

參考文獻：

［1］ 章飛，顧繼玲. 指向認知地圖形成的初中數(shù)學(xué)學(xué)案設(shè)計［J］. 教學(xué)與管理， 2019（10）：62-64.

［2］ 丁麗云. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認知地圖的建構(gòu)意義——核心素養(yǎng)培育的視角之下［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（29）：47-48.