關注課題學習 提升綜合素養
2023-03-15 16:17:02林莉君
數學教學通訊·初中版 2023年2期
林莉君
［摘? 要］ 課題學習有利于拓展學生的知識面，有利于提升學生解決問題的能力，有利于提升學生的綜合應用能力，其在教學中具有重要的現實意義，值得一線教師給予深度關注. 文章以“怎樣選擇較優方案”為例，通過巧設問題引導學生進行探究性學習，培養學生善于發現、樂于思考、敢于探究、勇于創新的良好學習習慣，促進學生數學分析及應用能力的全面提升.
［關鍵詞］ 課題學習；巧設問題；全面提升；探究創新
隨著時代的進步，當前社會越來越需要具有創新精神的研究性人才，數學教師應肩負起培養研究性人才的重任. 為了更好地培養研究性人才，初中數學教材中安排了許多課題學習，其以數學活動為載體，通過讓學生獨立思考、合作探究來培養和發展學生敏銳的觀察力、豐富的想象力、嚴謹的思維力和強大的創造力，進而讓學生具備主動發現問題和解決問題的能力. 不過在實際教學中，因課題學習耗時耗力，且對于提高學生的學習成績沒有顯著的作用，并未引起教師的重視，通常情況下教師以課后作業的形式安排學生對課題學習內容進行課后閱讀. 因為教師的不重視，自然難以引起學生的重視，有些學生會按照教師的要求進行粗略的閱讀，有些學生甚至不予理睬，這樣課題學習的價值難以體現，違背了課題設計者的初衷. 要知道，課題學習可以幫助學生了解數學的發展史、了解更多的奇聞軼事，這樣不僅可以拓展學生的知識面，而且可以提高學生分析和解決問題的能力，并使學生在分析和解決問題的過程中，領悟數學的應用價值，逐漸形成正確的價值觀. 為此，教師應對課題學習給予足夠的重視并進行深入的探討和研究，進而將知識、技能、過程、方法、情感、價值觀更好地結合起來，從而取得更好的教學效果.
下面，筆者結合“怎樣選擇較優方案”教學實錄，談談一些自己對課題學習的認識，以期能夠引起同行對課題學習的重視，若有不足請指正！
教學實錄
1. 借助故事，引入新知
師：田忌賽馬的故事，大家還記得嗎？
生（齊）：記得.
師：這個故事大家應該耳熟能詳，老師在這里就不再重復了，對于這個比賽你有什么感想呢？
生1：在生活中應善于觀察和思考，善于從全局的角度去分析和解決問題，努力尋找一個最優解決方案.
師：說得很好，就在大家都認為這個比賽毫無勝算的情況下，聰明的田忌選擇了一個最優方案，最后贏得了比賽. “怎樣選擇較優方案”就是我們需要研究的課題.
設計意圖 借助學生熟悉的故事讓學生體會“較優方案”在實際生活中的意義，進而激發學生對新知的探究熱情.
2. 借助問題，探尋方法
師：大家有沒有選擇話費套餐的經歷呢？
生（齊）：有.
師：好的，現在我們一起來看下面這個問題. （教師PPT展示問題）
例1 如圖1是甲通信公司推出的兩種話費套餐的通話費用y關于通話時間x的函數圖象. 根據圖象回答下列問題.
（1）A點的坐標是多少？表示什么實際意義？
（2）交點B的坐標是多少？表示什么實際意義？
（3）結合圖象說一說，在何種情況下選擇什么套餐為最優方案？
生2：A點的坐標為（0，50），表示通話0分鐘，通話費用50元.
師：為什么沒有通話還要交付50元的費用呢？
生3：50元是月租費，無論是否消費都需要交付.
師：說得很好，那么第（2）問誰來回答？
生4：交點B的坐標是（250，150），表示當通話時間為250分鐘時，兩種方案所要支付的話費相同，都為150元.
師：說得很好，表述準確. 第（3）問呢？
生5：根據圖象可知，當通話時間x滿足0≤x<250時，應選擇方案一；當通話時間x滿足x>250時，應選擇方案二；當通話時間x=250時，兩種方案任選其一.
師：同學們觀察得非常仔細，說得很好，借助圖象很快找到了最優方案.
設計意圖 將實際生活與函數圖象相結合，在培養學生觀察力的同時，讓學生體會到圖象的直觀性和快捷性，為后面的學習做好鋪墊.
3. 合作探究，挖掘本質
例2 乙通信公司提供了A，B兩種套餐供選擇，收費標準如表1所示.
如果在A，B兩種套餐中任選一種，你會如何選？
問題給出后，為了便于學生理解，便于課堂生成，教師做了如下引導.
師：你認為人們在選擇套餐時，根據的是什么？
生（齊）：省錢.
師：很好，那么在相同服務質量下，價格最低也就是最優方案.
師：分析表1，你知道每月所付的話費金額包括哪幾部分嗎？
生6：基本服務費和超出免費通話時間后所需要支付的費用.
師：很好！若設每月的話費為y，通話時間為x，你能將A，B兩種套餐轉化為關于y與x的函數關系式嗎？（教師讓基礎較為薄弱的學生回答）
生7：yＡ=30+0.4（x－120）=0.4x－18；yＢ=50+0.4（x－200）=0.4x－30.
師：你們認同生7的意見嗎？
生8：這樣表示不夠完整，應為：
師：說得很好，我們在建立函數表達式時，一定不能忽視自變量的取值范圍.
設計意圖 通過恰當的引導讓學生建立函數模型，為后面應用函數圖象和函數表達式來尋求最優方案奠定基礎. 同時，在函數建模時滲透了分段函數建模思想，引導學生關注自變量的取值范圍，理解分段函數的本質.
師：關系式找到了，接下來就要根據通話時間選擇最優方案了. 請你給出一個通話時間，并給出對應的最優方案. （教師預留時間讓學生舉例、探究、交流）
生9：如果通話時間為100分鐘，應該選擇A套餐.
師：說說你的理由.
生9：因為當x=100時，yＡ=30，yＢ=50.
師：好的，你們又是怎么選的？
生10：當通話時間為250分鐘時，應選擇B套餐.
師：為什么？
生10：因為當x=250時，yＡ=82，yＢ=70.
師：很好，若通話時間為一個確定時間，我們可以將通話時間直接代入關系式，進而求得準確值進行比較，從而得到最優方案.
師：那么能否如例1那樣，使在某個通話時間內選擇兩種套餐所支付的費用相同呢？
生11：當x=170時，此時yＡ=yＢ，兩種套餐所支付的費用相同.
師：你是如何求解的？
生11：我是通過解方程的方式求解的，因為yＡ=yＢ，所以0.4x－18=50，解得x=170.
師：哦，那為什么不是0.4x－30=30或0.4x－18=0.4x－30呢？
生11：對于yＡ=30（0≤x≤120），yＢ=0.4x－30（x>200），這兩個表達式中的自變量沒有交集，所以方程0.4x－30=30不成立，而方程0.4x－18=0.4x－30無解.
師：分析得很好，理解得很透徹.
設計意圖 通過開放性問題引導學生通過計算函數值來尋找最優方案，體會函數表達式的妙用. 另外通過尋找“相同”，引導學生將方程、函數、不等式相串聯，體會三者密不可分的關系，為后面運用函數圖象尋找最優方案埋下伏筆.
師：方程法是不是唯一的解決方法呢？還有沒有其他辦法？
生12：可以用圖象法嗎？
師：是一個不錯的想法，那么如何在同一直角坐標系中畫出剛才的兩個函數關系式呢？（教師讓學生在草稿紙上獨立完成圖象的繪制，同時巡視）
師：大家畫得都很好，我也畫了一個圖象，你們看一下我們畫的是否一致？（教師用PPT展示圖2）
設計意圖 利用圖象的直觀性進一步幫助學生理解分段函數的本質，讓學生更加輕松、快捷地找到最優方案.
師：從圖象上看，當x>200時，兩個函數圖象好像是平行的？它們是否真的平行呢？
生13：平行的，因為當x>200時，兩個解析式中x的系數k都為0.4.
師：很好，如何結合圖象來理解方程0.4x－18=0.4x－30無解呢？
生14：因為兩條直線互相平行，沒有交點，所以無解.
師：很好. 觀察圖象，當通話時間x符合什么條件時，兩種套餐付費的差額為定值？
生15：當通話時間x≤120時，兩種套餐付費的差額為定值20元；當通話時間x≥200時，兩種套餐付費的差額為定值12元.
師：很好，我們知道當通話時間小于或等于120分鐘時，可以直接用B套餐的基本收費金額減去A套餐的基本收費金額，為此得到差額為20元. 那么當通話時間大于或等于200分鐘時，你的12元是怎么得的呢？
生15：與剛剛的思路相同，yＡ－yＢ=（0.4x－18）－（0.4x－30）=12.
設計意圖 這樣由k值相同推導出兩個函數圖象平行，再由圖象平行理解方程無解和差額為定值，通過數與形的完美結合，培養了學生的觀察能力和分析能力，為后面的拓展應用奠定堅實的基礎.
師：結合圖象判斷當A，B兩種套餐付費金額的差為10元時，對應的通話時間有幾個？
生16：有2個.
師：你能求出對應的通話時間嗎？
生16：當120
設計意圖 借助圖象的直觀性讓學生先對結果進行預判，接下來運用方程思想求得準確值，進一步強化學生的數形結合思想.
師：若通話時間是確定的，我們可以通過代值法進行比較，那么若在不確定的情況下，你能結合圖象設計一個最優方案嗎？
生17：當0≤x<170時，yＡ
師：說得很好，可見在設計最優方案時，利用圖象法會更加直接、快捷.
設計意圖 讓學生在感受“確定”與“不確定”中體驗不同方法的優缺點，加深學生對不同方法的理解，便于學生在生活中能夠結合實際問題合理設計，以此培養思維的靈活性.
4. 拓展應用，提升能力
師：如表2，若其他條件不變，將A、B兩種套餐中超出后的收費標準由“0.4”分別改為“0.3”和“0.5”，思考并回答如下問題：
（1）寫出每月話費y與每月通話時間x的函數關系式；
（2）在同一直角坐標系中畫出對應的函數圖象；
（3）通話時間x為何值時，A，B兩種套餐的付費金額相同？
（4）通話時間x滿足什么條件時，A，B兩種套餐的付費差額為定值？
（5）當A，B兩種套餐付費金額的差為10元時，對應的通話時間有幾個？
（6）若通話時長不確定，該如何設計一個最優方案？
學生結合剛剛的探究經驗，快速地寫出了函數的關系式，并在同一直角坐標系中繪制出了對應圖象（如圖3）.
A，B兩種套餐對應的函數關系式為：
設計意圖 與例2相比較，此題雖然問題難度略有提升，但基本方法、基本解題思路沒有太大變化，符合學生的認知規律，適合學生發展. 通過這樣問題重現的方式，在幫助學生鞏固所學知識的同時，培養了學生思維的變通性，提高了學生的應變能力.
教學反思
1. 理解教材
本課題內容是在學生學習了一次函數后給出的，是本章內容的一個全面回顧和綜合運用的過程，同時也是對一次函數的拓展與延伸. 若在教學中能夠合理利用課題內容并進行深度探究，則有利于提升學生的思維能力和解決問題的能力. 因此，本課題內容在教學中具有深遠的意義，無論是教師還是學生，都應給予重視.
2. 理解學生
對于初中生，雖然具有一定的分析和解決問題的能力，不過剛剛學習了一次函數就讓他們探究分段函數著實具有一定的挑戰. 為此，教師要知道學生之所“難”，從而通過恰當的引導，幫助學生厘清問題的來龍去脈，順利解決問題. 那么本課題到底難在哪里呢？學生首先要理解“為什么要分段討論”，接著要搞清楚“如何分段討論”“如何表達”“如何畫出函數圖象”“如何詮釋函數的實際意義”……這些問題與之前所學的一次函數具有一定的關聯性，但也有所不同，為此若想解決這些問題，需要師生的共同努力.
3. 理解教學
本節課的教學重點就是引導學生突破難點，教學目標是利用一次函數解決實際生活中“怎樣選擇較優方案”的問題，讓學生的學習能力、思維能力和解決問題的能力能夠有所提升. 為了實現這樣的教學目標，在教學中教師應做好以下幾點：
（1）尊重個性，鼓勵質疑
探究性學習需要一個平等的、開放的學生氛圍，教師要多鼓勵學生表達自己的見解，提出自己的疑問，同時允許學生提出不同的意見，尊重學生個性，促進學生個性化發展，只有這樣才能激發學生的探究熱情，培養學生的創新意識. 另外，在教學過程中，教師要關注學生的思維發展過程，及時給予科學的評價和點撥，從而實現知識的正向遷移.
（2）發動“群眾”，集思廣益
因受個體思維定式的影響，若學習時“閉門造車”，往往容易陷入“死胡同”，不利于學生發展，為此在開展探究性學習活動時，教師應多為學生搭建一些合作探究的平臺，進而讓學生在交流與合作中能夠有所收獲、有所成長. 如在“建立分段函數模型”時，教師并沒有直接給出分段函數模型，而是先讓一個基礎較為薄弱的學生先回答，從而借助學生所暴露出的問題進行探究和完善，不僅建立起了分段函數模型，而且明晰了分段函數的本質，體會到了自變量取值范圍在分段函數中的重要意義.
（3）巧設問題，化難為簡
問題是探究的起點，為此在開展探究性學習時，需要結合學生現有的知識，貼合學生的最近發展區，設計一些由淺入深、逐層遞進的問題，引導學生積極思考、主動探究，從而突破學習難點. 從本課題教學來看，整個教學過程以“問題”為主線，通過“問題”解決，逐步化解學習難點. 如“結合圖象尋找最優方案”時，利用k值相同來理解函數圖象互相平行的概念，再利用平行線的概念理解方程無解以及等距，進而利用等距理解差額的定值. 通過這些相互聯系、逐層遞進的問題鏈，誘發學生深度思考，突破學習難點.
總之，課題學習是寶貴的教學資源，值得教師和學生去深度探究和挖掘，從而充分發揮課題學習在提升學習能力、發展數學思維等方面的優勢，促進學生全面發展.
