含邏輯聯結詞問題的求解策略

胡 杰

(安徽省靈璧縣第一中學)

在高中數學中,可以判斷真假的語句叫做命題,“或”“且”“非”這些詞叫做邏輯聯結詞,常見的有兩種命題,即全稱量詞命題p:?x∈M,p(x),存在量詞命題p:?x∈M,p(x).

1 含全稱量詞命題的判斷

①對于任意實數x,都有x2＋sinx＞1;

②對任意的實數a,b,若都有a4＞b4,則a＞b;

④存在一條直線與已知直線不平行.

A.1 B.2 C.3 D.4

2 含存在量詞命題的判斷

①有一些雙曲線的開口方向向左;

②存在整數n,使n能被2022整除;

③有的旋轉體是球體;

④存在一個負數x,使.

A.1 B.2 C.3 D.4

3 全稱量詞命題的否定

4 存在量詞命題的否定

A.任意實數x滿足x2＋2x＋2＜0

B.任意實數x滿足x2＋2x＋2≥0

C.任意實數x滿足x2＋2x＋2≤0

D.存在實數x0滿足

5 含“或”“且”“非”的命題的真假判斷

A.(?p)∨qB.p∧q

C.(?p)∧(?q) D.p∨(?q)

因為f(x)＝ex＋x2,所以f′(x)＝ex＋2x,令h(x)＝ex＋2x,則h′(x)＝ex＋2＞0在R 上恒成立,所以h(x)在R上單調遞增,又因為

6 全稱量詞命題的應用

A.(－∞,5] B.[6,＋∞)

C.(－∞,3] D.[3,＋∞)

易知函數y＝2x＋x在[1,2]上單調遞增,則當x＝1時,y＝2x＋x取最小值,所以a≥2＋1＝3.從而實數a的取值范圍為[3,＋∞),故選D.

7 存在量詞命題的應用

A.m＜1 B.m≤1

C.m＞1 D.m≥1

8 全稱量詞與存在量詞的綜合應用

命題p:?x∈[0,1],ex－a≥0為真命題,等價于a≤ex在x∈[0,1]上恒成立.因為y＝ex在[0,1]上是增函數,所以當x∈[0,1]時,ex≥e0＝1,則a≤(ex)min＝1,所以a≤1.

命題q:為假命題,則?q:為真命題,所以.

又因為p∧(?q)為真命題,所以實數a的取值范圍是,故選D.

(完)