導(dǎo)數(shù)中雙變量問題的處理策略

程春民

(江西省永豐中學(xué))

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題是高考的熱點(diǎn),這類問題綜合性比較強(qiáng),常常出現(xiàn)在試卷的壓軸位置.掌握這類問題的基本思想和基本策略是解決雙變量問題的關(guān)鍵.其實(shí)處理雙變量問題的基本思想就是把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,本文以例題來說明處理雙變量問題的各種常見策略.

1 利用根與系數(shù)的關(guān)系消元

如果兩個(gè)變量是一個(gè)一元二次方程的根,則可以通過根與系數(shù)的關(guān)系來消元.

分析,因?yàn)閒(x)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1≠x2),所以2x2＋(a＋4)x＋2＝0的兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系可知.而

故可得f(x1)＋f(x2)＝a,所以

至此,我們就把雙變量問題轉(zhuǎn)化成了單變量問題,以下略.

2 利用比值換元

當(dāng)兩個(gè)變量所組成的是齊次式時(shí),往往可以用比值來換元.

分析根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解問題.由

2x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0,

得

分析由題意可知x1,x2是方程f′(x)＝lnxax＝0的兩個(gè)根,即

不妨假設(shè)0＜x1＜x2,兩式相減得a(x2－x1),即;兩式相加得lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2).待證不等式x1x2＞e2?lnx1＋lnx2＞2?a(x1＋x2)＞2,再把代入上式整理得,即,令,待證不等式x1x2＞e2轉(zhuǎn)化為證lnt－).以下略.

3 利用差值換元

分析由題意可知x1,x2是方程f′(x)＝ex－2x－a＝0的兩個(gè)根,即

因?yàn)?＜x1＜x2,且兩式相減得,所以待證不等式轉(zhuǎn)化為

令t＝x2－x1(t＞0),則待證不等式為,變形整理得,以下略.

4 利用構(gòu)造和或差函數(shù)進(jìn)行消元

分析f′(x)＝(x－1)(ex＋2a),因?yàn)閍＞0,所以易知f(x)在(－∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.不妨設(shè)x1＜1＜x2,則2－x1＞1,要證明x1＋x2＜2,即證明x2＜2－x1,又因?yàn)閤2,2－x1均在f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(1,＋∞)上,所以x2＜2－x1?f(x2)＜f(2－x1),又因?yàn)閒(x1)＝f(x2),則f(x1)＜f(2－x1),從而待證不等式x1＋x2＜2轉(zhuǎn)化為證明F(x)＝f(x)－f(2－x)＜0(x＜1)恒成立,以下略.

分析顯然f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,且f(1)＝2,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1)＋f(x2)＝4,所以x1,x2中至少有一個(gè)要小于或等于1,不妨設(shè)x1≤1,則2－x1≥1,要證x1＋x2≥2,即證x2≥2－x1,又因?yàn)閒(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,且2－x1＞0,所以只需證明f(x2)≥f(2－x1),又因?yàn)閒(x1)＋f(x2)＝4,消去f(x2)得4－f(x1)≥f(2－x1),從而轉(zhuǎn)化為證明F(x)＝4－f(x)－f(2－x)≥0(0＜x≤1)恒成立,以下略.

5 利用整體換元

分析設(shè)a＝ex1＝lnx2,則x1＝lna,x2＝ea,t＝x2－x1＝ea－lna,令h(x)＝ex－lnx,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)的最小值所屬區(qū)間問題,以下略.答案選C.

分析由分段函數(shù)的解析式不難得到函數(shù)f(x)的圖像,如圖1所示.設(shè)f(x1)＝f(x2)＝t,由題可知1≤t≤4e,由f(x1)＝t,得x1＋4e＝t,即x1＝t－4e,則x1f(x2)＝t(t－4e)＝(t－2e)2－4e2,因?yàn)?≤t≤4e,所以當(dāng)t＝2e時(shí),x1f(x2)取得最小值－4e2.

圖1

6 利用同構(gòu)轉(zhuǎn)化

分析變形得,構(gòu)造函數(shù),則f(x1)＜f(x2),即f(x)在定義域(0,a)上單調(diào)遞增,即轉(zhuǎn)化為在(0,a)上恒成立,以下略.答案選C.

分析對(duì)4lnx＋2ln(2y)≥x2＋8y－4變形得

構(gòu)造f(x)＝lnx－x＋1,上式等價(jià)于f(4y)≥0.由,得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)≤f(1)＝0,即f(x)≤0.要使成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才滿足,即,所以.故選A.

分析因?yàn)閎lna－alnb＝a－b,變形得

由于f(x1)＝f(x2),即x1－x1lnx1＝x2－x2lnx2,則x2－x1＝x2lnx2－x1lnx1,于是待證不等式轉(zhuǎn)化為

構(gòu)造函數(shù)h(x)＝x2－2xlnx,則h(x2)＞h(x1).易證h′(x)＝2x－2(lnx＋1)≥0,所以h(x)單調(diào)遞增,又因?yàn)閤2＞x1,所以h(x2)＞h(x1),則上式顯然成立,于是x1＋x2＞2得證.

分析由f(x1)＝f(x2),可知lnx1－ax1＝lnx2－ax2＝0,即且

x2lnx1＝x1lnx2.

待證不等式為

7 多種策略組合的綜合問題

分析,易得t≥e.因?yàn)閥＝t＋lnt在[e,＋∞)上是單調(diào)函數(shù),所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2等價(jià)于y＝t＋lnt在t≥e上有一個(gè)零點(diǎn)t0,即,變形得,兩邊取對(duì)數(shù)得x2－x1＝lnx2－lnx1,即.于是待證不等式

處理雙變量問題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為單變量問題,我們應(yīng)該掌握常見的基本策略:根與系數(shù)的關(guān)系消元、比值換元、差值換元、構(gòu)造和或差函數(shù)、同構(gòu)轉(zhuǎn)化等.

(完)