利用導數研究函數的零點問題

許衛國

(利津縣高級中學)

函數零點問題是高考的熱點,此類問題融合了利用導數研究函數的圖像與性質、函數零點的概念、零點存在性定理以及方程的根的分布等知識,這一類問題具有較強的綜合性,能考查學生的數學素養.利用導數研究函數零點通常考查函數零點的個數,求解此類問題一般借助函數的圖像特征求解函數的零點個數,利用導數研究函數的單調性和極值,畫出函數的大致圖像,根據圖像確定零點個數.反向應用體現在已知函數的零點個數,求參數的取值范圍.下面介紹常用的兩種方法.

分離參數法將函數f(x)零點的個數轉化為方程f(x)＝0根的個數,通過變形得a＝g(x),從而轉化為求解直線y＝a與y＝g(x)的圖像的交點個數問題.

構造函數法通常將函數f(x)轉化為兩個常見的函數類型,即f(x)＝g(x)－h(x),將f(x)零點的個數轉化為y＝g(x)與y＝h(x)的圖像的交點個數問題.

解法1分離參數法

f(x)的定義域為(0,＋∞),f′(x)＝lnx＋1＋mx.因為函數f(x)有兩個極值點,所以f′(x)＝0有兩個不同的根.由lnx＋1＋mx＝0,可得

又因為當x→0＋時,g(x)→＋∞;當x→＋∞時,g(x)→0－,則g(x)和y＝m的圖像如圖1所示.

圖1

綜上,－1＜m＜0,故實數m的取值范圍為(－1,0).

解法2構造函數法

f(x)的定義域為(0,＋∞),f′(x)＝lnx＋1＋mx.因為函數f(x)有兩個極值點,所以f′(x)＝0有兩個不同的根.令

g(x)＝lnx(x＞0),y＝－mx－1,

則g(x)＝lnx和y＝－mx－1的圖像有兩個交點.

設直線y＝－mx－1 與g(x)相切于點(x0,lnx0),又因為,所以

圖2

解法1分離參數法

f(x)的定義域為(0,＋∞),函數f(x)零點的個數即方程|lnx|－kx－2＝0 根的個數.由|lnx|－kx－2＝0,得令

即問題轉化為討論g(x)和y＝k的圖像的交點個數.因為

圖3

綜上,當k∈(－∞,－e)時,函數f(x)的零點個數為0;當時,函數f(x)的零點個數為1;當時,函數f(x)的零點個數為2;當時,函數f(x)的零點個數為3.

解法2構造函數法

f(x)的定義域為(0,＋∞),函數f(x)零點的個數即方程|lnx|－kx－2＝0 根的個數,令g(x)＝|lnx|(x＞0),y＝kx＋2,則問題轉化為討論函數g(x)和y＝kx＋2的圖像的交點個數.

當x∈(0,1]時,設直線y＝kx＋2與g(x)相切于點(x1,－lnx1),所以

圖4

綜上,當k∈(－∞,－e)時,函數f(x)的零點個數為0;當時,函數f(x)的零點個數為1;當時,函數f(x)的零點個數為2;當時,函數f(x)的零點個數為3.

本文展示了如何利用導數解決函數零點問題,這類問題考查學生的分類討論意識、邏輯推理能力及數學運算素養.求解過程中均使用了兩種解題方法,體現了一題多解的思路,學生應注重歸納和總結,在解題中選擇最優解法.此外,在繪制函數圖像時,除了要考慮函數的單調性,有時還需注意使用極限,否則圖像容易出錯.

(完)