對(duì)一類(lèi)恒成立問(wèn)題運(yùn)用端點(diǎn)效應(yīng)解答失效的探究

張 強(qiáng) 李小蛟

(四川省成都市樹(shù)德中學(xué))

在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)中,恒成立問(wèn)題一直是一大難點(diǎn)問(wèn)題,思維要求高,運(yùn)算強(qiáng)度大,同時(shí)也是高考中?？汲Ｐ碌念}型.端點(diǎn)效應(yīng)是指對(duì)一類(lèi)函數(shù)的恒成立問(wèn)題,可以通過(guò)取函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)特殊的值或某幾個(gè)特殊的值,先得到一個(gè)必要條件,初步獲得參數(shù)的范圍,再在該范圍內(nèi)討論,或去驗(yàn)證其充分條件,進(jìn)而解決問(wèn)題.用該方法解決恒成立問(wèn)題可以減少分類(lèi)討論的類(lèi)別,常常起到事半功倍的效果.但并不是所有恒成立問(wèn)題均能通過(guò)端點(diǎn)效應(yīng)解答,很多題目初看是端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題,但在運(yùn)用時(shí)卻發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)失效(如2020年新高考卷第21題).本文基于導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題探討端點(diǎn)效應(yīng)為什么會(huì)失效,如何快速識(shí)別會(huì)失效,若失效又將如何處理.

在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中遇到類(lèi)似“當(dāng)?x∈D時(shí),f(x)≥g(x,a),a為參數(shù)”的恒成立問(wèn)題時(shí),將區(qū)間D的端點(diǎn)值代入,當(dāng)不等式兩邊剛好取等(此時(shí)參數(shù)a被消去了,等號(hào)成立),即意味著在很大程度上可采用端點(diǎn)效應(yīng)去處理.但在學(xué)習(xí)中,我們更應(yīng)該從本質(zhì)上厘清恒成立問(wèn)題的解題邏輯:1)構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x,a)(x∈D);2)求導(dǎo),進(jìn)階處理(即多次求導(dǎo)),研究h′(x)的單調(diào)性;3)計(jì)算出h′(0)在端點(diǎn)處的值,對(duì)參數(shù)a的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論,即先必要再充分.

1 問(wèn)題提出

分析本題中將x＝0 代入不等式兩邊是相等的,初步判定符合端點(diǎn)效應(yīng),那么我們就按照端點(diǎn)效應(yīng)的解題邏輯,即先必要后充分,通過(guò)矛盾區(qū)間來(lái)解答問(wèn)題.

解構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex－ax2－x－1(x＞0),首先發(fā)現(xiàn)f(0)＝0,求導(dǎo)得f′(x)＝ex－2ax－1.又有f′(0)＝0,繼續(xù)求導(dǎo),得f″(x)＝ex－2a,此時(shí)f″(0)＝1－2a,則分類(lèi)討論如下.

當(dāng)1－2a＜0,即時(shí),在x∈(0,ln2a)上,f″(x)＜0,f′(x)單調(diào)遞減,所以f′(x)＜f′(0)＝0,函數(shù)f(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減(即矛盾區(qū)間),f(x)＜f(0)＝0,這與f(x)≥0相矛盾,故舍去.

當(dāng)1－2a≥0,即時(shí),在x∈(0,＋∞)上,f″(x)＞f″(0)＝1－2a≥0,所以f′(x)單調(diào)遞增,則f′(x)＞f′(0)＝0,故函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,f(x)＞f(0)＝0恒成立,符合題意.

當(dāng)然,本題還可以分離參數(shù),即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤,然后構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)得,可以證明g′(x)＞0在x＞0上恒成立,所以單調(diào)遞增,,此時(shí)就會(huì)涉及高等數(shù)學(xué)中的“洛必達(dá)法則”.另外,此題還可以移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù),分類(lèi)討論,或先通過(guò)“指數(shù)找朋友”,再構(gòu)造新函數(shù),即轉(zhuǎn)化為(ax2＋x＋1)e－x≤1 恒成立,再構(gòu)造h(x)＝(ax2＋x＋1)e－x,求其最大值即可,這里不再贅述.

分析本題中將x＝0 代入不等式兩邊都等于1,符合端點(diǎn)效應(yīng)的條件,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex－x2－ax－1(x≥0),則f(0)＝0成立,求導(dǎo)可得f′(x)＝ex－2x－a,f′(0)＝1－a,接下來(lái)按照端點(diǎn)效應(yīng)的解題思路進(jìn)行分類(lèi)討論.

當(dāng)1－a≥0,即a≤1 時(shí),f″(x)＝ex－2,易知,此時(shí)當(dāng)上并不是恒大于0的,即函數(shù)f(x)在x≥0上并不是單調(diào)遞增的,就不能說(shuō)明f(x)≥0恒成立,即此時(shí)的充分性得不到證明,所以端點(diǎn)效應(yīng)失效了,那么為什么會(huì)失效呢?

2 問(wèn)題分析

下面我們先通過(guò)函數(shù)的圖像來(lái)初步感受一下.

維度1遇到“當(dāng)?x∈D時(shí),f(x)≥g(x,a),a為參數(shù)”此種問(wèn)題,我們先把它分離成兩個(gè)函數(shù),一邊含有參數(shù),一邊不含參數(shù),目的在于通過(guò)控制變量,讓一邊的函數(shù)圖像確定下來(lái),那么可將例1分離成:“對(duì)任意x≥0,ex－x－1≥ax2恒成立”,我們把答案中參數(shù)的端點(diǎn),在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)(不等式左右兩部分分別看成兩個(gè)函數(shù))的圖像,如圖1所示.代入,即

圖1

通過(guò)觀察圖像,我們看到函數(shù)y＝ex－x－1 與的公切線就是y＝0,而且公切點(diǎn)剛好在端點(diǎn)x＝0處.

同樣地,將例2分離成:“對(duì)任意x＞0,ex－x2－1≥ax恒成立”,我們依然把答案中參數(shù)的端點(diǎn)a＝e－2代入,即ex－x2－1≥(e－2)x,我們?cè)倏纯磧蓚€(gè)函數(shù)的圖像,如圖2所示.

圖2

通過(guò)觀察圖像,我們又可以看到函數(shù)y＝exx2－1與y＝(e－2)x的公切線就是y＝(e－2)x,而且公切點(diǎn)剛好在點(diǎn)x＝1處,此時(shí)并不是在端點(diǎn)x＝0處.那么這兩個(gè)函數(shù)圖像的公切點(diǎn)還有其他幾何意義嗎?

維度2接下來(lái)我們直接看整個(gè)函數(shù)的圖像分布,例1中,我們構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex－ax2－x－1(x≥0),仍然把代入,即x－1,其圖像如圖3所示.

圖3

通過(guò)觀察圖像,我們看到函數(shù)f(x)＝ex－ax2－x－1(x≥0)是在端點(diǎn)處取得最小值.

同樣地,我們看例2,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex－x2－ax－1(x≥0),仍然把a(bǔ)＝e－2代入,即f(x)＝exx2－(e－2)x－1,其圖像如圖4所示.

圖4

通過(guò)觀察圖像,我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)＝ex－x2－(e－2)x－1(x≥0),不僅在端點(diǎn)x＝0處取得最小值,而且在x＝1處取得最小值,不滿足端點(diǎn)效應(yīng),也即當(dāng)x∈[0,＋∞)時(shí),f(x)并非單調(diào)遞增.

綜上,下面我們可以從三個(gè)維度來(lái)解釋端點(diǎn)效應(yīng)是如何失效的.第一,對(duì)于函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x,a)(x∈D),先按照端點(diǎn)效應(yīng)的處理方法,將定義域的端點(diǎn)代入縮小參數(shù)的范圍,證明其充分性時(shí)發(fā)現(xiàn)原函數(shù)并不單調(diào),即此時(shí)的充分性無(wú)法論證.第二,對(duì)比例1和例2,同樣采取分離參數(shù)的方法,發(fā)現(xiàn)例1的函數(shù)是在端點(diǎn)處取得最值,求最值需要用“洛必達(dá)法則”,而例2的函數(shù)并不是在端點(diǎn)處取得最值,而是在定義域中間的某處取得最值.由此發(fā)現(xiàn),導(dǎo)數(shù)恒成立求參數(shù)范圍,通過(guò)分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù)求最值,若此時(shí)函數(shù)的最值點(diǎn)是在定義域的中間某處取得,而不是在端點(diǎn)處取得,則視為端點(diǎn)效應(yīng)失效.第三,從函數(shù)圖像來(lái)看,對(duì)于“?x∈D時(shí),f(x)≥g(x,a),a為參數(shù)”此種問(wèn)題,我們先把它合理拆分為兩個(gè)函數(shù),一邊含有參數(shù),一邊無(wú)參數(shù),在例1中,端點(diǎn)恰好為兩個(gè)函數(shù)圖像的公切點(diǎn),也是整個(gè)函數(shù)的最值點(diǎn),但是在例2中,端點(diǎn)卻不是這兩個(gè)函數(shù)公切線的公切點(diǎn),此時(shí)的公切點(diǎn)是定義域中的某個(gè)值,這說(shuō)明最值點(diǎn)并不是在端點(diǎn)處取得.所以當(dāng)我們判定出定義域的端點(diǎn)并不是公切點(diǎn)或最值點(diǎn)時(shí),即認(rèn)為端點(diǎn)效應(yīng)失效.

3 問(wèn)題解決

通過(guò)以上的問(wèn)題分析,我們已經(jīng)知道了端點(diǎn)效應(yīng)為什么會(huì)失效,那么如何快速識(shí)別出它是失效的呢?我們只需去驗(yàn)證函數(shù)的公切點(diǎn)是否為定義域中的端點(diǎn),或直接找到函數(shù)的最值點(diǎn).要知道恒成立問(wèn)題求參數(shù)取值范圍的本質(zhì)就是函數(shù)的最值,如果我們可以快速找到那個(gè)最值點(diǎn)就可以作出判斷.

下面我們以例2為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.

構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex－x2－ax－1(x＞0),要使f(x)≥0恒成立,只需fmin(x)≥0假定f(x)在x＝x0處取得最小值,則我們可以得到

只需抓住恒成立問(wèn)題的本質(zhì),即可求得答案.

通過(guò)以上分析不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)我們遇到不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題時(shí),只要抓住問(wèn)題的本質(zhì),通過(guò)方程組,找到函數(shù)的最值點(diǎn),即兩個(gè)函數(shù)公切線的公切點(diǎn),那么就可以快速地得到答案,然后證明其充分性,即先必要再充分.接下來(lái)我們?cè)倏匆坏澜?jīng)典的高考題.

分析當(dāng)x＝0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)x＞0時(shí),直接分離參數(shù):,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)得

解得x0＝2或2a＋1,由此斷定最值點(diǎn)不是端點(diǎn),此時(shí)也可以說(shuō)明端點(diǎn)效應(yīng)失效,接下來(lái)需滿足

圖5

分析根據(jù)前面的分析,我們發(fā)現(xiàn)本題也是一個(gè)端點(diǎn)效應(yīng)失效的問(wèn)題(不再詳細(xì)證明),因此根據(jù)本文所探討出的解決方法,先構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－a2ex＋a,由于f(x)的定義域?yàn)?－1,＋∞),不妨設(shè)f(x)的最大值點(diǎn)為x0,則

因此,端點(diǎn)效應(yīng)失效的本質(zhì)為端點(diǎn)處并不是函數(shù)的最值,解決此類(lèi)端點(diǎn)效應(yīng)失效恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)在于找到函數(shù)的最值.根據(jù)上述探究不難發(fā)現(xiàn),恒成立時(shí)的“端點(diǎn)”既是函數(shù)的最值點(diǎn),又是函數(shù)的零點(diǎn).因此,解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí),只需要通過(guò)構(gòu)造函數(shù),聯(lián)立方程求解最值和零點(diǎn).而通過(guò)圖形的實(shí)際刻畫(huà),我們也能十分清楚地發(fā)現(xiàn),此類(lèi)端點(diǎn)效應(yīng)失效問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求直線與曲線交點(diǎn)公切線的切點(diǎn).

鏈接練習(xí)

2.?x∈[0,π]均有ax＋cosx≤sinx＋1,求a的取值范圍.

鏈接練習(xí)參考答案

(完)