妙用反函數巧解恒成立問題

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學)

1 問題的呈現與解答

題目(2020年新高考山東卷21)已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna.

(1)當a＝e時,求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

下面從不同視角,給出第(2)問的三種解法.

解法1 (隱零點法)由題意可知x∈(0,＋∞),a∈(0,＋∞),aex－1－lnx＋lna≥1恒成立.

令h(x)＝aex－1－lnx＋lna－1,則h′(x)＝,從而h′(x)在(0,＋∞)上單調遞增.

由零點存在定理可知,存在x2∈(x0,x1),使得.此時,當x∈(0,x2)時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減;當x∈(x2,＋∞)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增.因此

將②③代入①,得

由lna＝1－x2－lnx2,可設G(x)＝1－xlnx(x∈(0,1]),則在(0,1]上單調遞減,且G(1)＝0,可得G(x)≥0,所以lna≥0,解得a≥1.

綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).

解法2 (同構法)由題意可知x∈(0,＋∞),a∈(0,＋∞).

由f(x)≥1,得aex－1－lnx＋lna≥1,于是elna＋x－1－lnx＋lna≥1,即

elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.

令g(t)＝et＋t,則g′(t)＝et＋1＞0,所以g(t)在R上單調遞增.

從而g(lna＋x－1)≥g(lnx),則lna＋x－1≥lnx恒成立,即lna≥lnx－x＋1恒成立.令H(x)＝lnx－x＋1(x＞0),則.于是H(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減,所以H(x)≤H(1)＝0,可得lna≥0,解得a≥1.

綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).

解法3 (反函數法)由題意可知x∈(0,＋∞),a∈(0,＋∞).由f(x)≥1,得aex－1－lnx＋lna≥1,即.

因為函數y＝aex－1與函數互為反函數,所以兩個函數的圖像關于直線y＝x對稱.要使恒成立,只需aex－1≥x在(0,＋∞)上恒成立,即在(0,＋∞)上恒成立.

綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).,則

對比三種解法,可知反函數法在解答此類恒成立問題時,既可以減少運算量,又可以避免轉化過程中的難點與易錯點,極大降低難度,解題過程更簡單,是一種“優秀”解法.

2 反函數法的應用舉例

下面舉幾個例子展示反函數法在恒成立問題中的應用.

A.(0,e2] B.(0,e2)

C.[1,e2] D.(1,e2)

綜上,選B.

綜上,a的取值范圍是.

因為函數y＝aex－1與函數互為反函數,所以兩個函數的圖像關于直線y＝x對稱.要使恒成立,只需aex－1≥x在(－1,＋∞)上恒成立,即在(－1,＋∞)上恒成立.

綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).

綜上,t的取值范圍是,故選B.

從以上個例題不難發現,利用反函數法解決恒成立問題能降低思維強度,簡化推理和運算過程,具有直觀、簡捷、明快的特點,解題方法新穎獨到.另外,數學問題的解決,需要學生在平時的學習中善于鉆研,通過一些習題的總結與變式,并重視方法的積累和知識的儲備,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達到事半功倍的效果.

3 反函數法的思路提煉

1)反函數法求解恒成立問題的方法:若F(x)≥G(x)恒成立,且G(x)＝F－1(x),則F(x)≥G(x)?F(x)≥x≥G(x).

2)若不等式中同時含有同底的指數型函數與對數型函數,參數一般在指數型函數的系數位置,在對數型函數的真數位置,可以考慮反函數法.

3)將原不等式整理變形成互為反函數后,用分離參數法,并借助導數求參數的值范圍.

4)常見的互為反函數的兩個函數如表1所示.

表1

鏈接練習

1.若aex＋lna＞2＋ln(x＋2)恒成立,則實數a的取值范圍為_________.

2.已知f(x)＝2ae2x＋lna,若f(x)≥lnx恒成立,則實數a的取值范圍為_________.

3.已知f(x)＝ax(a＞0,a≠1),若f(x)＞logax恒成立,則實數a的取值范圍為_________.

鏈接練習參考答案

(完)