例析復數綜合性問題

徐 華

(湖北省天門實驗高級中學)

復數作為連接數與形的紐帶,已經滲透在高中數學的許多內容中,將復數與其他數學知識融合的試題層出不窮,這類試題不僅能鍛煉學生的思維,培養學生的綜合素養,而且具有一定的欣賞價值.

1 復數與解析幾何的綜合

復數既有代數特征,又有幾何特征,與解析幾何有著“驚人相似的一幕”,將兩者融合,溝通了它們之間的關系,凸顯了復數的幾何意義.

圖1

(1)若直線l經過圓心C,求證:l與m垂直;

(2)設圓心C到直線l的距離為d.

當直線l的斜率不存在時,l的方程為x＝－1,此時,故|PQ|2＝4×(4－1)＝12,則|PQ|＝2 3,滿足題意.

當l的斜率存在且為k時,l的方程為y＝k(x＋1),,所以,解得,此時l的方程為4x－3y＋4＝0.

綜上,直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)當直線l的斜率不存在時,可知A(－1,0),,即t＝－5.

當直線l的斜率存在且為k時,設l的方程為y＝k(x＋1),P(x1,y1),Q(x2,y2),聯立

所以

綜上,t為定值,且t＝－5.

2 復數與三角函數的綜合

復數的表示既有代數形式,又有三角形式.當復數用三角形式表示時,自然與三角函數有著密切的聯系,于是將三角變換與復數的三角表示融合在一起的試題應運而生.

綜上,選A.

3 復數與二項式定理的綜合

二項式定理與復數運算中的棣莫佛定理有著天然的聯系,將兩者融合后編制的試題既能考查定理的基本應用,又能考查定理的靈活運用.

由此可見,復數綜合性問題,大大提高了試題的檔次與難度,對考生的綜合能力和綜合素養提出了更高的要求,應引起大家的重視.

(完)