共軛復數及其應用

胡琳琳

(山東省鄒城市第二中學)

共軛復數是復數中比較重要且具有獨特性質的一個特殊概念,有其代數內涵:互為共軛復數的兩個復數的實部相等,虛部互為相反數;又有其幾何特征:復平面上互為共軛復數的點關于x軸對稱;同時還有一些重要的基本性質:(其中等.這些都是共軛復數的概念與應用的重要部分.本文結合實例對共軛復數及其應用進行分析和總結.

1 概念問題

A.純虛數z的共軛復數是－z

B.若z1－z2＝0,則

C.若z1＋z2∈R,則z1與z2互為共軛復數

D.若z1－z2＝0,則z1與互為共軛復數

對于選項B,若z1－z2＝0,則z1＝z2,當z1,z2均為實數時,則有,當z1,z2是虛數時,z1≠,所以選項B是假命題,故選項B錯誤.

對于選項C,若z1＋z2∈R,則z1,z2可能均為實數,但不一定相等,或z1與z2的虛部互為相反數,但實部不一定相等,所以選項C 是假命題,故選項C錯誤.

對于選項D,若z1－z2＝0,則z1＝z2,所以z1與互為共軛復數,因而選項D 是真命題,故選項D正確.

綜上,選AD.

2 幾何意義問題

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3 求值問題

整理可得

綜上,z＝－1 或(答案不唯一,只要填其中一個答案即可).

4 最值問題

而由于|z|2＝a2＋b2＝1,可得－1≤b≤1,則當b＝－1時,f(z)＝|2b－3|的最大值是5;當b＝1 時,f(z)＝|2b－3|的最小值是1.

綜上,函數f(z)的取值范圍是[1,5].

5 應用問題

A.等邊三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形

又|AB|2＝(－1－0)2＋(0－1)2＝2,則|Z0A|＝|Z0B|,且|Z0A|2＋|Z0B|2≠|AB|2,所以該圖形為等腰三角形.

綜上,選D.

在解決一些涉及共軛復數的概念、基本性質等相關問題時,關鍵是熟練理解并掌握相關的知識,借助概念或性質對問題進行必要的等價轉化等,融合其他相關的數學基礎知識與數學思想方法,由抽象到具體,由復雜到簡單,從多個層面、多個視角來處理與共軛復數相關的數學問題,實現數學品質與數學能力的全面提升,進而達到事半功倍的效果.

(完)