關注數學文化與復數的交會

鄧興揚

(貴州省思南縣第八中學)

最近幾年,高考評價體系突出強調以學科素養為導向,而高考數學對學科素養的考查目標之一就是數學文化,具體表現為古今中外的數學文化.基于此,學生應充分關注數學文化與復數知識的交會.處理此類問題時,學生需要認真讀題,在了解有關數學文化的同時,挖掘題設給出的關鍵信息(概念、結論、公式、定理等),而求解具體的數學問題時,需要將題設關鍵信息以及有關復數知識加以靈活、綜合運用,方可順利破解目標問題.

1 關注歐拉公式與復數的交會

A.復數e2i對應的點位于第三象限

綜上,選BCD.

2 關注費馬點與復數的交會

于是,本題即求|QM|＋|QN|＋|QP|的最小值.注意到點M(2,0),N(－2,0),P(0,－2),且易知△PMN是等腰三角形,符合三個內角均小于120°,根據題設可知:滿足∠MQN＝∠NQP＝∠PQM＝120°的點Q,可保證|QM|＋|QN|＋|QP|取得最小值.又由圖1分析易知:當點Q與點重合時,滿足∠MQN＝∠NQP＝∠PQM＝120°.于是,可得

圖1

故|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值為2 3＋2.

3 考查棣莫佛定理與復數的交會

z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].

根據棣莫佛定理,我們可推導獲得復數的乘方公式:

[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*).

若復數ω是6次單位根,則根據題意知ω6＝1,進而知|ω|＝1,于是,可設復數ω＝cosθ＋isinθ,再利用復數的乘方公式可得ω6＝cos6θ＋isin6θ＝1,從而必有cos6θ＝1,且sin6θ＝0,因此,6θ＝2kπ(k∈Z),即又因為ω?R,所以取k＝1,即得到一個滿足條件的

第二空設計較好,屬于“結論開放型”數學問題,答案不唯一,還可以取k＝2得到一個滿足條件的ω＝;取k＝4得到一個滿足條件的;取k＝5得到一個滿足條件的.實際上,進行一般分析可知滿足條件的ω的取值一共有四個,它們分別是

總之,舉例解析可知:關注數學文化與復數的交會,不僅有利于幫助同學們親身體驗試題是如何交會的(往往先敘述一個相對陌生的數學文化知識,再靈活設置相關而又具體的數學問題),而且也有利于幫助同學們理解和掌握常用解題方法.

(完)