探析根植于導數應用中的含參數二次問題

孟 永

(北京陳經綸中學)

在基本初等函數中,二次函數是一個非常重要的函數模型,與其相關的問題遍及中、高考試題,以此為載體的問題備受命題者的青睞.尤其是含參數的“二次”問題經常會隱形于函數與導數的綜合問題中,學生在解決問題的過程中往往習慣于將目光聚焦于導數的運用而忽視研究對象的屬性,導致問題的解決不順暢乃至思路受阻.本文以根植于導數應用中的含參數的“二次”典型問題為例,對相應的問題進行分類整理,總結和梳理相關問題的解題思路,以強化“導數為工具,函數為主體”的解題意識.

1 利用求解含參數二次不等式的方法,解決函數的單調性問題

若a＝2,當x＞0時,f′(x)＝2(x－1)lnx≥0恒成立,則函數f(x)在(0,＋∞)上單調遞增.

若0＜a＜2,即時,f′(x)＜0,則函數f(x)在上單調遞減;當0＜或x＞1時,f′(x)＞0,則函數f(x)在和(1,＋∞)上單調遞增.

若a＞2,即.當時,f′(x)＜0,則函數f(x)在上單調遞減;當0＜x＜1或x＞時,f′(x)＞0,則函數f(x)在(0,1)和上單調遞增.

綜上,當a＝2時,函數f(x)在(0,＋∞)上單調遞增;當0＜a＜2時,函數f(x)在和(1,＋∞)上單調遞增,在上單調遞減;當a＞2時,函數f(x)在(0,1)和上單調遞增,在上單調遞減.

2 利用含參數二次方程根的分布情況,解決函數的極值點問題

綜上,實數m的取值范圍是.

3 利用含參數二次函數的零點進行取值,解決函數的隱零點問題

(1)求函數f(x)的單調區間;

令g′(x)＝0,則x1＝a,x2＝1.

由函數的零點存在定理知,函數g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

若a＞1,當0＜x＜1或x＞a時,g′(x)＞0,則g(x)在(0,1)和(a,＋∞)上單調遞增;當1＜x＜a時,g′(x)＜0,g(x)在(1,a)上單調遞減.因為g(1)＝,所以g(a)＜g(1)＜0,則g(x)＜0在(0,a)恒成立,故函數g(x)在(0,a)上無零點.又

g(2a＋2)＝aln(2a＋2)＞0,

由函數的零點存在定理知,函數g(x)在(a,＋∞)上有且只有一個零點,故函數g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

若0＜a＜1,易知g(x)在(0,a)上單調遞增,在(a,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增.此時,所以g(1)＜g(a)＜0,故g(x)＜0在(0,1)恒成立,則函數g(x)在(0,1)上無零點.又g(2a＋2)＝aln(2a＋2)＞0,由函數的零點存在定理知,函數g(x)在(1,＋∞)上有且只有一個零點,故函數g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

綜上,函數g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

4 利用含參數二次方程的根與系數的關系消元,解決多元不等式問題

(1)求實數a的取值范圍;

(2)若a＞3,求證:x1＞1,且

綜上,實數a的取值范圍是.

(2)由題意可知x1,x2是方程2x2－ax＋1＝0的兩個實根,又x1＞x2,則時,,所以.

在利用導數探究函數的綜合問題時,解題者應強化函數意識、重視研究對象的函數屬性.從函數的視角對研究的函數進行歸類分析、局部研究,尤其是對函數代數結構特征進行分析,并輔以函數圖像的幾何特征分析,這樣能夠有效將思維打開.深化對基本初等函數及其運算或復合后的函數的認識和理解,能夠探索出隱形于表象背后的真相,在解決問題的過程中,逐步提升解題思維的靈活度,加深對問題的識別度,增強對本質的感悟深度.

(完)