求復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題解題策略

王遠(yuǎn)征

(廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)南校區(qū))

求復(fù)數(shù)模的最大(小)值是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和強(qiáng)基計(jì)劃中的熱點(diǎn)問(wèn)題,其解題策略是把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化,即將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理,轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi),求模的最大(小)值問(wèn)題來(lái)解決;或發(fā)掘問(wèn)題的幾何意義,利用幾何圖形的直觀性來(lái)解答,把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解答.本文將舉例說(shuō)明.

分析 設(shè)虛數(shù)z＝x＋yi,x,y∈R,y≠0,因?yàn)闈M足為實(shí)數(shù),其揭示出實(shí)數(shù)x,y之間的數(shù)量關(guān)系,所以計(jì)算,用實(shí)數(shù)x,y來(lái)表示目標(biāo)函數(shù)|w－u2|,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的二元條件最值問(wèn)題來(lái)求解.

解設(shè)虛數(shù),則

將x2＋y2＝1代入上式化簡(jiǎn)得,于是

因?yàn)椋?＜w＜2,所以－1＜2x＜2,即0.5＜x＋1＜2,于是

分析設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi,x,y∈R.因?yàn)闉閷?shí)數(shù),則,即

得x＋2y＝2.而

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＋2y＝2 時(shí),求|z＋3|＝的最小值.下面用三種方法求|z＋3|的最小值.

解法1利用柯西不等式求解.

解法2數(shù)形結(jié)合,因數(shù)思形,借助幾何圖形的直觀性求解.

因?yàn)閨z＋3|的幾何意義是點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)A(－3,0)之間的距離,則|z＋3|的最小值表示在平面直角坐標(biāo)系xOy中,定點(diǎn)A(－3,0)到直線x＋2y－2＝0的距離,.

易求得點(diǎn)P(x,y)在過(guò)定點(diǎn)A(－3,0)且垂直于直線x＋2y－2＝0的直線y＝2(x＋3)上,解方程組得所以當(dāng)時(shí),|z＋3|取得最小值.

解法3將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題,借助一元二次函數(shù)來(lái)求解.

因?yàn)閤＋2y＝2,所以x＝2－2y,于是

分析由題設(shè)結(jié)合純虛數(shù)的性質(zhì)知0,即,進(jìn)而利用模與共軛的性質(zhì)以及三角形不等式求解.

解記z＝z1＋z2＋z3,即|z|＝1,由已知得,即,則

由三角形不等式得

分析根據(jù)已知條件將化簡(jiǎn)整理成關(guān)于角度α的函數(shù),再利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題.

則函數(shù)f(u)的圖像如圖1所示.當(dāng)時(shí),有

圖1

分析由|z|＝1,得,代入|z2－z＋1|,將2次降為1次,即

于是有如下兩種求解方法:可以利用復(fù)數(shù)的三角形式表示|z2－z＋1|,借助三角函數(shù)的有界性求最大值;或利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示|z2－z＋1|,然后轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有附加條件的函數(shù)最值問(wèn)題求解.

解法1復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1,故可設(shè)z＝cosα＋isinα,α∈[0,2π),由|z|＝1,得,則

當(dāng)且僅當(dāng)cosα＝－1,即z＝－1時(shí),|z2－z＋1|取得最大值3.

解法2設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋iy(x,y∈R).由|z|＝1,得,當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1,即z＝－1時(shí),|z2－z＋1|取得最大值3.

分析利用復(fù)數(shù)的三角形式表示z1,z2和|z1－z2|,并用三角函數(shù)的有界性求出|z1－z2|的最大值和最小值.

解設(shè)z1－1＝cosα＋isinα,α∈[0,2π),則

解答復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題的關(guān)鍵在于把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理,然后利用實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求最值問(wèn)題的常用方法來(lái)解決,如利用基本不等式、柯西不等式、三角形函數(shù)的有界性、一元二次函數(shù)的性質(zhì)或數(shù)形結(jié)合方法求解.

鏈接練習(xí)

1.(2017年北京大學(xué)自主招生10)已知復(fù)數(shù)z滿足為實(shí)數(shù),則|z＋i|的最小值等于( ).

2.(2017年清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃7,多選題)若z,w都是復(fù)數(shù),|z＋w|＝1,|z2＋w2|＝4,則|zw|( ).

3.(2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試A 卷4)設(shè)a為實(shí)數(shù),若存在實(shí)數(shù)t使得為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則a的取值范圍是_________.

4.已知復(fù)數(shù)z滿足.

(2)當(dāng)w取得最大值時(shí),求對(duì)應(yīng)的z.

5.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足Re(z1)＞0,Re(z2)＞0,且,其中Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部.

(1)求Re(z1z2)最小值;

鏈接練習(xí)參考答案

(完)