聚焦復數的典型題型

張 鋼

(江蘇省無錫市第六高級中學)

近幾年高考對復數的考查,大都集中在第1題或第2題,分值5分,難度較低,主要考查復數的運算、復數的代數形式、共軛復數、復數的模、復數的幾何意義等.

1 復數的基本概念

復數的概念是掌握復數的基礎,要認清復數類型的充要條件,以便于快速準確地解題.

A.a＝1,b＝－2 B.a＝－1,b＝2

C.a＝1,b＝2 D.a＝－1,b＝－2

變式(多選題)已知i為虛數單位,下列命題中正確的是( ).

A.若x,y∈C,則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1

B.(a2＋1)i(a∈R)是純虛數

D.當m＝4 時,復數lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數

綜上,選BD.

2 復數相等的應用

復數問題實數化是解決復數相等問題基本的思想方法,解決的依據是復數相等的充要條件.

A.a＝1,b＝－3 B.a＝－1,b＝3

C.a＝－1,b＝－3 D.a＝1,b＝3

變式(多選題)已知z1,z2為復數,下列命題不正確的是( ).

A.若z1＝z2,則|z1|＝|z2|

B.若|z1|＝|z2|,則z1＝z2

C.若z1＞z2,則|z1|＞|z2|

D.若|z1|＞|z2|,則z1＞z2

3 復數的四則運算

復數的四則運算是復數這一章節的核心內容,復數的加減運算是對應實部、虛部相加減,而乘法類比多項式乘法,除法類比分式的分母有理化.

變式(2022年北京卷2)若復數z滿足i·z＝3－4i,則|z|＝( ).

A.1 B.5 C.7 D.25

方法2由于i·z＝3－4i,故|i·z|＝|3－4i|,則,即|z|＝5,故選B.

4 復數的幾何意義

復數的幾何意義、復數的模以及復數加減法的幾何意義都是數形結合思想的體現,它們可以相互轉化,涉及的主要問題有復數的概念、復數在復平面內對應點的位置、復數運算及模的最值問題等,復數加法、減法的幾何意義可按平面向量加法、減法理解,利用平行四邊形法則或三角形法則解決問題.

變式在復平面中,已知點A(－1,0),B(0,3),復數z1,z2對應的點分別為Z1,Z2,且滿足|z1|＝|z2|＝2,|z1－z2|＝4,則的最大值為_______.

(完)