符號意識的再培養(yǎng)及促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)再提升的研究

陳菲

摘? 要：符號意識是小學(xué)階段十一大核心素養(yǎng)之一，也是核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要表現(xiàn)形式。文章對六年級畢業(yè)班學(xué)生符號意識培養(yǎng)情況進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)在復(fù)習(xí)階段，教師可通過數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號意識。教師可以此為契機(jī)，借助知識梳理，讓學(xué)生體會符號的普遍性和簡潔性，系統(tǒng)感知符號意識;借助習(xí)題特征，讓學(xué)生體會符號的直觀性和獨特性，體驗符號意識的培養(yǎng)過程;借助類比變式，讓學(xué)生感悟符號的構(gòu)建性和拓展性，深化發(fā)展符號意識。讓學(xué)生在溫故知新的同時，形成良好的思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心能力，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展和進(jìn)階。

關(guān)鍵詞：符號意識;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);小學(xué)數(shù)學(xué)

英國著名數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家伯特蘭·羅素曾說：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！彼裕栕鳛橛糜跀?shù)學(xué)表達(dá)、理解和運用的工具，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中顯得尤為重要?！胺栆庾R”一詞的內(nèi)涵在小學(xué)數(shù)學(xué)中一直難以界定，現(xiàn)行《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“課標(biāo)2022年版”）指出：“符號意識主要是指能夠感悟符號的數(shù)學(xué)功能。知道符號表達(dá)的現(xiàn)實意義;能夠初步運用符號表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律;知道用符號表達(dá)的運算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性;初步體會符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。符號意識是形成抽象能力和推理能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)。”從中可以看出，前半句是對符號意識的描述性敘述，明確數(shù)學(xué)符號既具有一般符號的功能，又具有數(shù)學(xué)的特征，后半句指出隨著符號意識發(fā)展，對學(xué)生產(chǎn)生了的積極影響。

“課標(biāo)2022年版”在“核心素養(yǎng)構(gòu)成”中也明確指出，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。從中能看出符號是一種抽象化的語言和能力，學(xué)生的整個核心素養(yǎng)養(yǎng)成具有整體性、一致性和發(fā)展性。具體來說，在小學(xué)階段滲透發(fā)展學(xué)生的符號意識，能為發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯推理能力奠定基礎(chǔ)，并能為初中的抽象能力、推理能力、模型觀念以及高中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的養(yǎng)成提供助力。六年級是小學(xué)階段的最后一年，也是小中銜接的過渡年，在最后的復(fù)習(xí)階段，教師可借助數(shù)學(xué)書總復(fù)習(xí)中的已有習(xí)題，讓學(xué)生復(fù)習(xí)符號的產(chǎn)生、運用與建模的過程，深入促進(jìn)學(xué)生符號意識發(fā)展，使學(xué)生具備主動理解、表達(dá)和運用符號的意識和能力，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

一、借助知識梳理，系統(tǒng)感知符號意識

意識普遍存在但很難通過直接講授傳達(dá)給學(xué)生，只有學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自己感知、領(lǐng)悟與發(fā)展才能逐步形成。六年級學(xué)生在現(xiàn)階段有意識或者無意識中，已經(jīng)學(xué)會了應(yīng)用很多不同的符號，而每一種符號本身所包含的特定含義和它的產(chǎn)生都有一定的聯(lián)系，提高對符號的認(rèn)識和理解，感受不同符號的含義和其所表達(dá)的豐富現(xiàn)實意義，是學(xué)生能正確運用符號的基礎(chǔ)，也是學(xué)生符號意識發(fā)展的基石。

（一）豐富符號語言，增強(qiáng)符號的感知

學(xué)生通過收集、整理和分類不同符號，增強(qiáng)對不同符號的感知，有利于學(xué)生對符號的再認(rèn)識，以及后期運用符號熟練表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律。在六年級下冊總復(fù)習(xí)開始時，教師可以借助整冊書進(jìn)行知識梳理，讓學(xué)生通過整理表述已經(jīng)了解的各種符號，正確認(rèn)識學(xué)過的符號的含義，并把各種數(shù)學(xué)符號進(jìn)行分類與歸納，增強(qiáng)對各類符號的感知，豐富符號語言，建立符號體系。比如，有運算類符號，如“+ - × ÷”等;有結(jié)合類符號，如小括號“（）”、中括號“[]”、大括號“{}”;有關(guān)系類符號，如“>”“<”“=”、比號“∶”等;有性質(zhì)類符號，如百分號“%”、負(fù)號“-”、正號“+”等，教師可以讓學(xué)生通過制作數(shù)學(xué)小報、思維導(dǎo)圖等形式梳理已掌握的符號，適當(dāng)查漏補缺。

（二）感受符號內(nèi)涵，建立符號的表象

學(xué)生在感受不同符號的豐富內(nèi)涵，深入了解符號所代表的意義和象征的含義后，更容易透過符號看到更深層次的數(shù)學(xué)意義，并合理應(yīng)用這些數(shù)學(xué)符號。在學(xué)生整理、歸納的過程中，教師可以有意識地幫助學(xué)生尋找豐富素材作為載體，讓學(xué)生體會同一符號在不同情境下的不同含義，例如：面積和路程符號“S”、速度和體積符號“V”等。

還可在復(fù)習(xí)例題中，讓學(xué)生感受字母符號所表示的不同規(guī)律和意義，有意識地豐富學(xué)生對各種符號的理解和認(rèn)識，感受符號在數(shù)學(xué)和生活中存在應(yīng)用的概括性和普遍性，使學(xué)生建立符號的表象。

（三）學(xué)會符號表達(dá)，增強(qiáng)符號的運用

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)思維和表達(dá)的重要工具，數(shù)學(xué)符號可以幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確、清晰、簡潔地進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)和無障礙的交流。通過總復(fù)習(xí)中的習(xí)題，能讓學(xué)生感受到恰當(dāng)?shù)姆柋磉_(dá)，學(xué)習(xí)讓繁復(fù)的文字和圖像表述更簡潔;能讓具體數(shù)量和變量之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)更清晰;能讓復(fù)雜、深奧的概念、公式等更精確、直觀;能讓學(xué)生體會到符號表達(dá)的簡潔性和科學(xué)性，增強(qiáng)學(xué)生主動運用符號表述和解決數(shù)學(xué)問題的內(nèi)驅(qū)力。

比如在“乘法的分配律”的復(fù)習(xí)中，教師可以讓學(xué)生回憶、整理學(xué)過的運算律，引導(dǎo)學(xué)生遵循“具體事物—個性化的符號表示—數(shù)學(xué)的表示”的符號化表述過程，通過“直觀感受—文字描述—圖形描述—字母描述”的對比，如圖1所示，讓學(xué)生直觀感受符號的簡潔性。

學(xué)生在知識梳理、感知符號的普遍性和簡潔性的過程中，豐富感知了符號表象，并在應(yīng)用中培養(yǎng)了自己的符號意識。

二、借助特征習(xí)題，感悟符號的直觀表達(dá)和作用

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，其只有在實際運用中才能更直觀地表現(xiàn)出它的數(shù)學(xué)價值。在總復(fù)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運用符號進(jìn)行運算與推理，進(jìn)一步體會符號的直觀性和獨特性。

（一）深刻體會符號的直觀表達(dá)

教師要讓學(xué)生注重理解和掌握數(shù)學(xué)知識的基本原理，深入理解數(shù)學(xué)符號的運用和內(nèi)涵，從而培養(yǎng)其對符號直觀表達(dá)的深刻認(rèn)知。教師可以在復(fù)習(xí)中注重實踐和應(yīng)用，通過大量的練習(xí)和實踐，讓學(xué)生體會符號的意義，例如，通過加、減、乘、除、約分、等列式運算等數(shù)學(xué)符號的使用;通過復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)公式，掌握符號的含義，注重公式的表達(dá)和應(yīng)用;通過恰當(dāng)?shù)姆栠M(jìn)行替換數(shù)學(xué)語言描述，讓內(nèi)在邏輯和規(guī)律更加明顯等例子，讓學(xué)生深刻體會符號的直觀表達(dá)。

比如，在復(fù)習(xí)題中讓學(xué)生體會運用數(shù)學(xué)符號的直觀性可以快速判斷兩個相關(guān)聯(lián)的變量間的關(guān)系——正比例、反比例或是不成比例（“課標(biāo)2022年版”中將反比例內(nèi)容調(diào)整至了初中數(shù)學(xué)教學(xué)）。

學(xué)生通過“語言描述”和“符號描述”兩種不同遞進(jìn)的表達(dá)方式，感悟運用數(shù)學(xué)符號可以直觀、快速判斷兩個相關(guān)聯(lián)變量之間的關(guān)系，且用字母符號運算和推理得到的結(jié)論更具有一般性。

通過對比，教師可以讓學(xué)生整理、歸納出正比例關(guān)系的一般性符號表達(dá)，如x和y兩個相關(guān)聯(lián)的變量，當(dāng)y：x=k（k是常數(shù)，且一定）其中x≠0，則x、y成正比例關(guān)系，清晰表示某兩個量之間長期依存和變化的關(guān)系，為初中函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）普遍感受符號的獨特作用

數(shù)學(xué)符號的獨特性表現(xiàn)為其在情境下的特定意義，它的意義一旦被賦予，就會在特定的意義下被應(yīng)用和演算，不會產(chǎn)生歧義。數(shù)學(xué)符號的獨特作用和不可替代性能進(jìn)行不同意義的表達(dá)以及呈現(xiàn)思考過程。數(shù)學(xué)符號的獨特性在總復(fù)習(xí)的題目里有大量體現(xiàn)，教師可以在練習(xí)中有意識地引導(dǎo)，如例題：546+785-146=（546-146）+785=400+785=1185，應(yīng)用運算律加上括號，便能實現(xiàn)簡便計算。此外，教師還需教會學(xué)生運用字母表示學(xué)過的一些公式和規(guī)律，在看圖列方程，解方程和不等式等習(xí)題中，也需要使用一系列被賦予意義的數(shù)學(xué)符號。學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中充分認(rèn)識到符號應(yīng)用的獨特、嚴(yán)謹(jǐn)和便利，并能逐漸學(xué)會靈活運用各種符號，提高了學(xué)習(xí)和解題的效果。

三、借助類比變式，深化發(fā)展符號意識

布魯納在《教育過程》一書中曾指出，向成長中的兒童提示難題，激勵他向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。教師根據(jù)學(xué)生已經(jīng)掌握的習(xí)題進(jìn)行類比變式，挖掘知識之間的符號勾聯(lián)并進(jìn)行延展，在學(xué)生已有經(jīng)驗和認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，能讓學(xué)生根據(jù)問題解決的需要對符號進(jìn)行演算和變換，感悟符號的構(gòu)建性和拓展性，深化發(fā)展符號意識。

教師在復(fù)習(xí)課中，要注重以“數(shù)學(xué)符號”為載體，溝通數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生把具體數(shù)量符號化，直觀地表現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，便于學(xué)生形成一種整體感知和對應(yīng)分析以及思考問題的方式和方法，并借助類比形成相應(yīng)的思維模式，建構(gòu)對應(yīng)的解題模型，啟發(fā)學(xué)生展開深度思考，形成解題經(jīng)驗。

如用小棒擺正方形的題目，需要擺n個正方形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)擺第1個正方形用4根小棒，擺兩個正方形用7根小棒，每增加一個正方形增加3根小棒，在第一個正方形的基礎(chǔ)上增加了（n-1）個正方形，需要小棒（n-1）×3，得出小棒的總根數(shù)“4+（n-1）×3”。

學(xué)生經(jīng)歷“形象—表象—符號”的思維過程后感悟規(guī)律，通過字母參與運算，4+（n-1）×3=3n+1，啟發(fā)找到另一種解決問題的方式，即把第一個正方形最左邊的一根小棒先拿開，第一個正方形就是“3+1”根小棒，第二個正方形就是“3×2+1”即每增加一個正方形對應(yīng)增加了3根小棒，所以n個正方形一共是需要3n+1根小棒。隨后學(xué)生可以自編題目，將小棒擺正方形問題遷移到擺正三角形、正五邊形等問題上，學(xué)生在自主創(chuàng)造后同構(gòu)，建立一般化模型，得到此類問題的一般思考和符號表達(dá)的一般性規(guī)律，深入發(fā)展了符號意識。

在學(xué)生掌握了基礎(chǔ)的正方形的內(nèi)切圓相關(guān)題目的解題步驟后，教師可以將題目進(jìn)行適當(dāng)拓展，如圖2所示，讓學(xué)生勾聯(lián)圓和外接正方形面積以及內(nèi)接正方形面積之間的關(guān)聯(lián)，并通過推導(dǎo)得出一般結(jié)論S內(nèi)接小正方形=2r2，S圓=3.14r2，S外接小正方形=4r2，通過面積公式符號的推導(dǎo)求解，讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)三個相關(guān)圖形的面積關(guān)系，得到符號的一般性結(jié)論并應(yīng)用，讓符號意識得到延展和持續(xù)地發(fā)展。

如學(xué)生將已經(jīng)學(xué)過的立體圖形體積公式進(jìn)行對比，會發(fā)現(xiàn)“長方體”“正方體”和“圓柱”的體積公式均是“V=Sh”，S表示底面積，h表示高，結(jié)合“圓柱的體積”一課，學(xué)生可以通過“疊硬幣”的方法推導(dǎo)出圓柱的體積公式，類比遷移，進(jìn)一步得到“長方體”“圓柱”等這類立體圖形的體積公式V=Sh，即“底面積×高”來表示，遷移類比得到三棱柱、四棱柱等其他類似立體圖形的體積公式并進(jìn)行應(yīng)用，深入自主發(fā)展了學(xué)生的符號意識和能力。

教師在進(jìn)行小學(xué)六年級總復(fù)習(xí)的教學(xué)時，要在學(xué)生已有經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)上拓展，借助學(xué)生已掌握的習(xí)題進(jìn)行類比變式，挖掘知識之間的符號勾聯(lián)，有針對地發(fā)展學(xué)生的符號意識，讓學(xué)生通過運用符號表達(dá)構(gòu)建關(guān)系，尋找事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過有梯度的練習(xí)加深這種聯(lián)系，幫助學(xué)生真正通過符號意識的培養(yǎng)解決一些遷移、拓展類問題，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力借助復(fù)習(xí)研究有所提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（六年級下冊）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

[3]蹤秀峰. 如何培養(yǎng)學(xué)生的符號意識[J]. 小學(xué)教學(xué)參考，2015（35）：72.

[4]楊珍. 核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識培養(yǎng)的策略[J]. 天津教育，2022（09）：162-164.

[5]周發(fā)芹. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)路徑[J]. 新課程，2021（47）：90.

[6]嵇明星. 小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)大世界：中旬，2021（06）：42-43.

[7]張學(xué)明. 探析小學(xué)高年級學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識培養(yǎng)[J]. 學(xué)周刊，2021（22）：53-54.

[8]郭紅兵，張曉琴，哈建民. 核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識培養(yǎng)的策略[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（27）：84-85.

（責(zé)任編輯：鄭? 暢）