兩類特殊模型的期望與方差

周 強(qiáng)

(廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué))

引例1將兩封信隨機(jī)投入A,B,C三個(gè)空信箱中,設(shè)A信箱的信件數(shù)為X,求X的期望和方差.

引例2甲、乙兩人對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次,兩人射擊互不影響,甲命中目標(biāo)的概率為,乙命中目標(biāo)的概率為.求命中目標(biāo)的人數(shù)X的期望和方差.

1 投郵模型

預(yù)備知識(shí)1)將n封不同的信投入m個(gè)不同的郵筒中,稱之為投郵模型,其特點(diǎn)是元素不受位置的限制.由乘法計(jì)數(shù)原理可知,將n個(gè)不同元素沒有限制地分配到m個(gè)不同位置上的所有排法種數(shù)為mn種.

2)組合恒等式:

例1將n封不同的信投入A,B,C,…這m個(gè)不同的郵筒中,求A郵筒中信件數(shù)X的期望與方差.

n),即X的分布列如表1所示.

表1

2 射擊模型

例2甲、乙、丙三人對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次.甲射中的概率為p1,乙射中的概率為p2,丙射中的概率為p3,三人射擊互不影響.設(shè)ξ表示甲、乙、丙三人中各射擊一次擊中目標(biāo)的人數(shù),求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差.

猜想設(shè)n個(gè)人對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次,射中目標(biāo)的成功概率分別為p1,p2,…,pn,且每人射擊相互獨(dú)立.設(shè)ξ表示n個(gè)人射擊一次擊中目標(biāo)的人數(shù),則ξ的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

先證明期望.

當(dāng)n＝1時(shí),易知ξ服從兩點(diǎn)分布,則E(ξ)＝p1,即猜想對(duì)n＝1時(shí)成立.

假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N?)時(shí)猜想成立,即

為了區(qū)分,下面分別用P′(ξ＝i),E′(ξ＝i),D′(ξ＝i)表示當(dāng)n＝k＋1時(shí)隨機(jī)變量ξ＝i所對(duì)應(yīng)的概率、期望與方差.依題意有

(完)