聚焦二項(xiàng)式定理的四類常考問(wèn)題

浦紹華

(云南省曲靖市會(huì)澤縣茚旺高級(jí)中學(xué))

辯證唯物主義告訴我們,做任何事情都要抓主要矛盾,只有這樣才能達(dá)到事半功倍的效果,學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理也是如此.二項(xiàng)式定理雖然有著廣泛的應(yīng)用,但在高考題中只有四類問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn),我們必須牢牢把握.那么究竟是哪四類問(wèn)題呢? 本文對(duì)此舉例說(shuō)明.

1 二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題

特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題主要包括求展開式中的第n項(xiàng)、求展開式中的特定項(xiàng)、已知展開式的某項(xiàng)求特定項(xiàng)的系數(shù)等,一般可借助二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式來(lái)求解.

例1已知在的展開式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求:

(1)n的值;

(2)展開式中第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及x5的系數(shù);

(3)展開式中的所有有理項(xiàng).

2 三項(xiàng)式或乘積形式的展開式問(wèn)題

求解有關(guān)三項(xiàng)式或乘積形式的展開式問(wèn)題,關(guān)鍵是弄清展開式的特征,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式進(jìn)行處理,解題時(shí)可以利用乘法原理進(jìn)行求解.

3 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題

抓住二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,解題時(shí)需注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù),在Tr＋1＝是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分,前者只與n和r有關(guān),恒為正,后者還與a,b有關(guān),可正可負(fù),同時(shí),要牢記通項(xiàng)公式Tr＋1＝是展開式的第r＋1項(xiàng),不是第r項(xiàng).

例3已知的展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.

(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);

(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

4 二項(xiàng)式系數(shù)之和問(wèn)題

求解二項(xiàng)式系數(shù)之和問(wèn)題一般都采用賦值法.它主要有以下兩種情形:1)二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法,令a,b等于多少時(shí),應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,－1或0”;2)一般地,若f(x)＝a0＋a1x1＋a2x2＋…＋anxn,則f(x)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為

通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn),求解二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題,主要有三種方法:一是通項(xiàng)法,利用通項(xiàng)將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題;二是轉(zhuǎn)化法,將非二項(xiàng)式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問(wèn)題;三是賦值法,將一般問(wèn)題特殊化.

(完)