隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的一些性質(zhì)

鄧啟龍

(廣東省中山紀(jì)念中學(xué))

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差是高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計的重要內(nèi)容.本文通過探究得到了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的一些性質(zhì).

1 數(shù)學(xué)期望

若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n,其中pi≥0,i＝1,2,…,n且,則X的數(shù)學(xué)期望為

連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x),若,則X的數(shù)學(xué)期望為

注:若離散型隨機(jī)變量X有無窮多個取值,且其概率分布為P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,3,…,其中pi≥0,i＝1,2,3,…,且,則X的數(shù)學(xué)期望為

2 方差和協(xié)方差

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E((XE(X))2)存在,則X的方差為

隨機(jī)變量X,Y的數(shù)學(xué)期望分別為E(X),E(Y),若E((X－E(X))(Y－E(Y)))存在,則X,Y的協(xié)方差為cov(X,Y)＝E((X－E(X))(Y－E(Y))).特別地,cov(X,X)＝D(X).

3 基本性質(zhì)

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和協(xié)方差具有以下性質(zhì).

性質(zhì)1E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y),E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

推論1?ci∈R,i＝1,2,…,n,n∈N?有

性質(zhì)2D(X)＝E(X2)－(E(X))2,D(aX＋b)＝a2D(X).

性質(zhì)3cov(X,Y)＝cov(Y,X),cov(aX＋bY,Z)＝acov(X,Z)＋bcov(Y,Z),a,b∈R.

性質(zhì)4cov(X,Y)＝E(XY)－E(X)E(Y),D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2cov(X,Y).

證明由推論1得

推論2D(X＋Y)＋D(X－Y)＝2(D(X)＋D(Y)),D(X＋Y)－D(X－Y)＝4cov(X,Y).

性質(zhì)5若X,Y相互獨(dú)立,則

證明假設(shè)X,Y都是離散型隨機(jī)變量,X的概率分布為P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n,Y的概率分布為P(Y＝y(tǒng)j)＝qj,j＝1,2,…,m.

由X,Y相互獨(dú)立得

對于其他情形同理可證E(XY)＝E(X)E(Y).

由性質(zhì)4得cov(X,Y)＝0,D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y).

推論3若X1,X2,…,Xn(n∈N?,n≥2)相互獨(dú)立,則?ci∈R,i＝1,2,…,n,有

4 其他性質(zhì)

性質(zhì)6若X≤Y,則E(X)≤E(Y).

推論4|E(X)|≤E|X|,D|X|≤D(X).

證明由－|X|≤X≤|X|和性質(zhì)6得

由性質(zhì)2可得D(X)＝E(X2)－(E(X))2,且

性質(zhì)7(E|XY|)2≤E(X2)E(Y2).

證明由均值不等式得

兩邊取數(shù)學(xué)期望由性質(zhì)6即得.

推論5(E(XY))2≤E(X2)E(Y2).

推論6

性質(zhì)8?c∈R,D(X)≤E((X－c)2),當(dāng)且僅當(dāng)c＝E(X)時取等號.

證明由性質(zhì)2得

當(dāng)且僅當(dāng)c＝E(X)時取等號.

證明由性質(zhì)4和推論6得

對于隨機(jī)變量X,Y,定義X∨Y＝max{X,Y},X∧Y＝min{X,Y}.當(dāng)Y＝c為常數(shù)時,X∨c,X∧c分別是左截斷和右截斷數(shù)據(jù).特別地,定義

X＋,X－分別稱為X的正部和負(fù)部.由定義易得X＋Y＝X∨Y＋X∧Y,|X－Y|＝X∨Y－X∧Y和X＝X＋－X－,|X|＝X＋＋X－.

性質(zhì)10D(X＋Y)＋D|X－Y|＝2(D(X∨Y)＋D(X∧Y)).

推論7已知c∈R是常數(shù).

(1)D(X)＋D|X－c|＝2(D(X∨c)＋D(X∧c)).

(2)D|X－c|≤D(X∨c)＋D(X∧c)≤D(X).

(3)D(X)＋D|X|＝2(D(X＋)＋D(X－)).

(4)D|X|≤D(X＋)＋D(X－)≤D(X).

證明由推論2 得D(X＋Y)＝2(D(X)＋D(Y))－D(X－Y),由性質(zhì)10得

D(X＋Y)＝2(D(X∨Y)＋D(X∧Y))－D|X－Y|,于是2(D(X)＋D(Y))－D(X－Y)＝2(D(X∨Y)＋D(X∧Y))－D|X－Y|,所以

證明由推論4得D|X－Y|≤D(X－Y),故結(jié)合性質(zhì)11得

由性質(zhì)10得

5 典型例題

例1在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1),試驗(yàn)進(jìn)行到事件A首次發(fā)生時停止,用X表示此時所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

注:實(shí)際上,例1中的X服從幾何分布,即

例2流水線上生產(chǎn)的每個產(chǎn)品為不合格品的概率為p,當(dāng)生產(chǎn)出n(n∈N?)個不合格品時,即停工檢修一次.求在兩次檢修之間的產(chǎn)品總數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差.

由X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立和推論3得

(完)